圓的概念及確定 人教版

1、圓的概念及確定一. 本周教學內(nèi)容： 圓的概念及確定教學目標 1. 了解圓的定義，點與圓的位置關(guān)系；理解等圓、等弧的概念和與圓有關(guān)的概念。 2. 了解軌跡的意義，掌握五個基本軌跡。 3. 圓的定義 圓是到定點的距離等于定長的點的集合。定點稱為圓心，定長稱為半徑。 4. 圓外部分、圓內(nèi)部分 5. 點和圓的位置關(guān)系 點和圓的位置關(guān)系有：點在圓內(nèi)、圓上，圓外三種，設(shè)O的半徑為r，點P和圓心O的距離為d，則有： 點在圓內(nèi)； 點在圓上； 點在圓外。 6. 理解定理，不在一直線上的三點確定一個圓，并掌握不在同一條直線上三點作圓的方法。 7. 會用尺規(guī)作經(jīng)過不在同一直線上三點的圓。 8. 了解三角形外心的概念

2、。 9. 過三點的圓 確定一個圓有兩個基本條件：圓心（定點），確定圓的位置；半徑（定長），確定圓的大小。只有當圓心和半徑都確定時，圓才能確定。 此外，下列條件都可以確定圓心和半徑，因而都能確定圓：（1）經(jīng)過不在一直線上的三點的圓；（2）已知圓心和圓上一點的圓；（3）以已知線段為直徑的圓。 特別要注意的是，過任意三點不一定能作圓，如果三點在同一直線上，則不能作圓。 10. 反證法 從命題結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明命題成立，這樣的證明方法叫反證法。二. 重點、難點： 圓的概念及三點確定一個圓的方法。【典型例題】 例1. 如圖所示，已知矩形ABCD的邊。 （1）以點A為圓心，4cm為半徑作A

3、，則點B、C、D與A的位置關(guān)系如何？ （2）若以點A為圓心作A，使B、C、D三點中至少有一點在圓內(nèi)，且至少有一點在圓外，則A的半徑r的取值范圍是什么？ 點悟：要判定B、C、D與A的位置，只須比較AB、AC、AD的長度與半徑4cm的大小。 解：（1）AB3cm4cm 點B在A內(nèi) AD4cm 點D在A上 點C在A外 （2）AB3cm，AD4cm，AC5cm 也就是說，B點到圓心A的距離3cm是最短距離，C點到圓心A的距離5cm是最長距離。 使B、C、D三點中至少有一點在圓內(nèi)，且至少有一點在圓外，A的半徑r的取值范圍是3cmr5cm。 點撥：要判定平面上一點與圓的位置關(guān)系，只須比較該點到圓心的距離與

4、半徑的大小。 例2. 畫圖說明滿足下列條件的點的軌跡。 （1）經(jīng)過點A，且半徑等于2cm的圓的圓心軌跡； （2）邊，面積為的ABC的頂點A的軌跡。 點悟：（1）圓心是動點，且圓要經(jīng)過點A，故圓心必須到定點A的距離等于2cm，屬軌跡1。 （2）因為ABC的面積為，底BC1cm，故BC邊上的高為1cm，動點A必須到直線BC的距離等于1，屬軌跡4。 解：（1）經(jīng)過點A，且半徑等于2cm的圓的圓心軌跡，是以A為圓心，2cm為半徑的圓。如圖所示（甲）： （2）邊，面積為的ABC的頂點A的軌跡，是平行于邊BC，且到邊BC的距離等于1cm的兩條平行線。如圖所示（乙）： 點撥：根據(jù)給定的條件，探求并確定符合條

5、件的軌跡圖形，通常是轉(zhuǎn)化為五個基本軌跡。 例3. 下圖中的五個半圓，鄰近的兩半圓相切，兩只小蟲同時出發(fā)，以相同的速度從A點到B點。甲蟲沿路線爬行，乙蟲沿路線爬行，則下列結(jié)論正確的是（ ） A. 甲先到B點B. 乙先到B點 C. 甲、乙同時到B點D. 無法確定（2002年吉林） 解：設(shè)大圓的半徑為R，小圓的半徑分別為，則 故大圓的半周長與四個小圓的半周長相等。 因此，甲、乙兩蟲同時到達B點。 故選C。 例4. O半徑為2.5，動點P到定點O的距離為2，動點Q到P點距離為1，問P點、Q點和O是什么位置關(guān)系？為什么？ 點悟：這是一個很有趣的問題。打一個比方，若把O點看作太陽，則P點好比是地球，Q點好

6、比是月亮。P點到O點距離是2，P點運動時，帶著Q也運動，則PQ始終是1。 解：PO2.5 P點在O內(nèi)部 Q點和O點的距離較復雜，當Q點在OP延長線上時，Q點和O點距離最大，最大距離是3；當Q點在OP上時，Q點和O點的距離最小，最小距離是1；當Q點處在點和點時，。如圖所示： Q點既可能在O上，也可能在O外，O內(nèi)。 例5. 求證：菱形四條邊中點在以對角線的交點為圓心的同一圓上。 已知：如圖所示，菱形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點。 求證：E、F、G、H四個點在以O(shè)為圓心的同一圓上。 點撥：判定E、F、G、H四個點在同一圓上，根據(jù)圓的定義，它們

7、應(yīng)到定點距離都等于定長。因為E、F、G、H是菱形各邊的中點，根據(jù)菱形的對角線互相垂直，以及直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，得出E、F、G、H到O點距離都等于定長，因此命題得證。 證明：連結(jié)OE、OF、OG、OH 四邊形ABCD為菱形 ABBCCDDA，且BDAC E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點 E、F、G、H四點在以O(shè)為圓心的圓上 點撥：本題為文字敘述題，所以應(yīng)先寫出已知和求證并畫出圖形；證點共圓，只須證這些點與定點的距離相等即可。 例6. 如圖所示，A、B、C、D、E相互外離，它們的半徑都是1，順次連結(jié)五個圓心得到五邊形ABCDE，則圖中五個扇形（陰影部分）的面積之和是（

8、 ） A. B. C. D. 解： 故選B 常見錯誤：誤以為五邊形內(nèi)角和為360°，而錯選A；或誤以為五邊形內(nèi)角和為720°，而錯選C。 例7. 如圖所示，是一塊圓形砂輪破碎后的部分殘片，試找出它的圓心。 點悟：若求出所在的圓的圓心和半徑問題則解決了。又知道不在同一直線上的三點確定一個圓。故應(yīng)在弧AB上找三個點，即可通過作弦的垂直平分線方法找到圓心。 作法：（1）在上任取一點C。 （2）連結(jié)AC、BC。 （3）分別作AC、BC的垂直平分線a、b，a與b相交于點O。 則點O即為所求的圓心。 點撥：此題是已知三點作圓的運用，它是已知圓找圓心。 例8. 如圖所示，在ABC中，D、

9、E分別在AC、AB上，BD、CE相交于點O，證明BD和CE不可能互相平分。 點悟：結(jié)論帶否定詞“不”的問題適合于用反證法證明，我們不妨一試。 證明：假定BD和CE互相平分，則四邊形EBCD是平行四邊形。 BECD，這與已知BE和CD相交于A相矛盾 BD和CE不可能互相平分 點撥：應(yīng)用反證法時，敘述要科學規(guī)范。 例9. 用反證法證明：三角形中，至少有一個內(nèi)角大于或等于60°。 證明：假設(shè)三角形的三個內(nèi)角都小于60°，則這個三角形的內(nèi)角和小于180°，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾。 所以，三角形中，至少有一個內(nèi)角大于或等于60°。 例10. 如圖所示，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，且OAOB，OCOD。 證明：四邊形ABCD一定有外接圓。 點悟：如果能證明四邊形的三條邊的垂直平分線相交于一點就是了，由題設(shè)可以證明AB、CD有公共的垂直平分