高中數(shù)學(xué)2010年天津高考數(shù)學(xué)名師詳解(文理)

1、2010年天津高考數(shù)學(xué)卷（理科詳解）第卷一選擇題：本卷共小題，每小題分，共分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合要求的1是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（）【解】故選2函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（）【解】解法1因?yàn)椋院瘮?shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是故選解法2可化為畫出函數(shù)和的圖象，可觀察出選項(xiàng)，不正確，且，由此可排除，故選3命題“若是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)”的否命題是（）若偶函數(shù)，則是偶函數(shù)若不是奇函數(shù)，則不是奇函數(shù)若是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)若不是奇函數(shù)，則不是奇函數(shù)【解】由四種命題的定義，故選4閱讀右邊的程序框圖，若輸出的值為，則判斷框內(nèi)可填寫（）【解】由框圖，第一步為，第二步為，第三步為，由于輸出的值為，則需否

2、，因此判斷框內(nèi)為故選5已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（）【解】解法1由題設(shè)可得雙曲線方程滿足，即于是又拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則，于是所以雙曲線的方程故選解法2因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則由此排除，又雙曲線的一條漸近線方程是，則，由此又排除，故選6已知是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，是的前項(xiàng)和，且則的前項(xiàng)和為（）或或【解】設(shè)數(shù)列的公比為，由可知于是又，于是，即，因?yàn)?，則數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則前項(xiàng)和故選7在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，則（）BCD【解】由及正弦定理得，代入得，即，又，由余弦定理，所

3、以故選8設(shè)函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）【解】若，則，即，所以，若則，即，所以，。所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或，即故選C9設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)必滿足（）【解】集合化為，集合化為若，則滿足或，因此有或，即故選10如圖，用四種不同的顏色給圖中的六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色則不同的涂色方法共有（）種種種種【解】解法1首先考慮除外，相鄰兩端點(diǎn)不同色的情形：此時(shí)有種涂法，與相鄰的點(diǎn)有種涂法，有種涂法，有種涂法，此時(shí)，有種涂法，有種涂法，因此共有（種）但是，這是有可能同色，且當(dāng)同色，不同色時(shí)，同色此時(shí)的涂法有同色的有種，對于點(diǎn)，點(diǎn)共有種，由對稱性只有種涂法所以共有（種）因

4、此，符合題目要求的涂法有（種）故選解法2分兩種情形討論：點(diǎn)同色和點(diǎn)不同色，涂法數(shù)如下表：合計(jì)點(diǎn)同色點(diǎn)不同色因此，符合題目要求的涂法有（種）故選解法3先對涂色，有（種）固定其中一種涂法，設(shè)四種不同的顏色為顏色，且設(shè)涂顏色，涂顏色，涂顏色則根據(jù)題意的涂法可用下表枚舉：以上共種，因此符合題目要求的涂法有（種）故選解法4分兩種情形討論：（1）全部使用四種不同的顏色第一步：對涂色，只能用三種顏色，有（種），第二步：從三點(diǎn)中選一點(diǎn)涂第四種顏色，有種，再對另兩點(diǎn)涂色有種涂法，共有種涂法，所以全部使用四種不同的顏色的涂法有（種）；(2) 只使用三種顏色第一步：對涂色，有（種），第二步：對三點(diǎn)涂色，由于只用三種

5、顏色，則點(diǎn)有種涂法，此時(shí)和只有種涂法所以只使用三種顏色的涂法有（種）由（1），(2) 符合題目要求的涂法有種）故選解法5為研究問題方便,不妨把平面圖形變換成三棱柱,如右圖所示, 染色規(guī)則: 在三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)中,相同顏色的頂點(diǎn)可連接同一顏色的線段,依題意,三棱柱的九條棱都不能染色. 下面分情況進(jìn)行討論: (1) 當(dāng)六個(gè)頂點(diǎn)只用三種顏色涂色時(shí),相同顏色頂點(diǎn)的連線為三棱柱側(cè)面上的對角線,如圖(甲)或(乙),圖中字母的角碼表示顏色編號,則不同的涂色方法共有:(種)； (2) 當(dāng)六個(gè)頂點(diǎn)用四種顏色涂色時(shí),又可分為 在(1)的條件下,用第四種顏色替換掉六個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)或兩個(gè):用第四種顏色替換掉六個(gè)頂點(diǎn)中

6、的一個(gè), 如圖(丙),此時(shí)相當(dāng)于在(1)的條件下,去掉 一條側(cè)面上的對角線,有種方法,因此, 不同的涂色方法共有:(種)； 用第四種顏色替換掉六個(gè)頂點(diǎn)中兩個(gè),顯然被替換掉的兩個(gè)頂點(diǎn)的顏色編號不能相同,否則與(1)重復(fù),被替換掉的兩個(gè)頂點(diǎn)也不能在同一底面上或同一側(cè)棱上,因此被替換掉的兩個(gè)頂點(diǎn)與被保留的兩個(gè)同顏色頂點(diǎn)在同一側(cè)面上,如圖(丁), 此時(shí)相當(dāng)于在(1)的條件下,保留一個(gè)側(cè)面上的對角線,考慮到重復(fù)情況,不同的涂色方法共有:(種). 綜上所述,不同的涂色方法共有: (種).故選B.第卷二本大題共小題，每小題分，共分把答案填在題中橫線上11甲、乙兩人在天中每天加工的零件的個(gè)數(shù)用莖葉圖表示如下圖

7、中間一列的數(shù)字表示零件個(gè)數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字零件個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)，則這天中甲、乙兩人日加工零件的平均數(shù)分別為和【解】，設(shè)甲的平均數(shù)為，乙的平均數(shù)為，則則這天中甲、乙兩人日加工零件的平均數(shù)分別為和12一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為【解】幾何體是由一個(gè)正四棱錐和一個(gè)長方體組合而成設(shè)幾何體的體積為，正四棱錐的體積為，長方體的體積為則13已知圓的圓心是直線（為參數(shù)）與軸的交點(diǎn)，且圓與直線相切，則圓的方程為【解】把直線（為參數(shù)）化為普通方程為，與軸的交點(diǎn)為于是圓心的坐標(biāo)為；因?yàn)閳A與直線相切，所以圓心到直線的距離即為半徑，因此所以圓的方程為14如圖，四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，延長和相交于點(diǎn)若

8、，則的值為【解】因?yàn)樗倪呅问菆A的內(nèi)接四邊形，所以，又，所以于是因?yàn)椋裕瑥亩?，于是?5如圖，在中，則【解】設(shè)，則，又，則解法1因?yàn)椋砸驗(yàn)槭侵苯侨切?，所以于是解?解法3設(shè),則.在中，由正弦定理得,即,所以，解法4根據(jù)題意,建立如圖的直角坐標(biāo)系.則設(shè),于是，為此，只需求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)作軸于由，則，于是，于是即點(diǎn)的橫坐標(biāo)所以16設(shè)函數(shù)對任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【解】解法不等式化為，即，整理得，因?yàn)椋?，設(shè)，于是題目化為，對任意恒成立的問題為此需求，的最大值設(shè)，則函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，因而在處取得最大值，所以，整理得，即，所以，解得或，因此實(shí)數(shù)的取值范圍是解法2同解法1,題目化為，

9、對任意恒成立的問題為此需求，的最大值設(shè)，則因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值從而有最大值所以，整理得，即，所以，解得或，因此實(shí)數(shù)的取值范圍是解法3不等式化為，即，整理得，令由于，則其判別式，因此的最小值不可能在函數(shù)圖象的頂點(diǎn)得到，所以為使對任意恒成立，必須使為最小值，即實(shí)數(shù)應(yīng)滿足解得，因此實(shí)數(shù)的取值范圍是解法4(針對填空題或選擇題)由題設(shè)，因?yàn)閷θ我?，恒成立，則對，不等式也成立，把代入上式得，即 ，因?yàn)?，上式兩邊同乘以，并整理得，即，所以，解得或，因此?shí)數(shù)的取值范圍是 三解答題：本大題共小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17（本小題滿分分）已知函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期及

10、在區(qū)間上的最大值和最小值（）若，求的值【解】（）由得所以函數(shù)的最小正周期為因?yàn)椋运?，即時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，而在時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，所以為最大值，為最小值（）由（）知，又由已知，則因?yàn)?，則，因此，所以，于是，18（本小題滿分分）某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是，且各次射擊的結(jié)果互不影響（）假設(shè)這名射手射擊次，求恰有次擊中的概率（）假設(shè)這名射手射擊次，求有次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外次未擊中目標(biāo)的概率（）假設(shè)這名射手射擊次，每次射擊，擊中目標(biāo)得分，未擊中目標(biāo)得分，在次射擊中，若有次連續(xù)擊中，而另外次未擊中，則額外加分；若次全擊中，則額外加分記為射手射擊次后的總得分?jǐn)?shù)，求的分布列【解】（）設(shè)為射手在次射擊中

11、擊中目標(biāo)的次數(shù)，則在次射擊中恰有次擊中的概率為（）設(shè)“第次擊中目標(biāo)”為事件，“射手在次射擊中有次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外次未擊中目標(biāo)”為事件則（）由題意，的所有可能取值為三次均未中）；僅擊中次）；擊中次但未連續(xù)擊中）；有次連續(xù)擊中）；次連續(xù)擊中）或所以的分布列為19（本小題滿分分）如圖，在長方體中，分別是棱，上的點(diǎn)，（）求異面直線與所成的角的余弦值；（）證明：；（）求二面角的正弦值【解】解法1如圖所示，建立空間坐標(biāo)系，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)，由，知，于是，（），于是由于異面直線所成的角的范圍是，所以異面直線與所成的角的余弦值為（），則，于是，又，所以（）設(shè)平面的法向量，則即取，則，由（）可知，為平面的一個(gè)法

12、向量，又所以，從而所以二面角的正弦值為解法2設(shè)，由，知，（）連接，設(shè)與交于點(diǎn)，易知由，所以所以是異面直線與所成的角因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ碛兴援惷嬷本€與所成的角的余弦值為（）連接，設(shè)與交于點(diǎn)因?yàn)椋詮亩钟捎?，所以因此又因?yàn)椋?，所以從而連接，同理可證，從而，所以因?yàn)?，所以（）連接由（）可知又，所以因此為二面角的平面角易知，則，又，所以在中，在中，。連接，在中，。在中，所以。所以二面角的正弦值為20（本小題滿分分）已知橢圓的離心率連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為（）求橢圓的方程；（）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且求的值【解】（）由得，再由得因?yàn)檫B接橢

13、圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為，所以，則，解方程組得所以橢圓的方程（）解法1由（）得.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為。于是兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組由方程組消去并整理得 ，因?yàn)槭欠匠痰囊粋€(gè)根，則由韋達(dá)定理有 ，所以，從而。設(shè)線段的中點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為下面分情況討論：(1) 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線為軸于是，由得(2) 當(dāng)時(shí)，線段的垂直平分線方程為令得由，整理得所以綜上，或解法2若軸，則,;若直線的中垂線斜率存在,設(shè)，則直線中垂線方程： 令，則，因?yàn)樵跈E圓上，則，因此整理得，解得，（舍），所以于是綜上，或21（本小題滿分分）已知函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值

14、；（）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱證明當(dāng)時(shí)，（）如果，且，證明【解】（）令，則當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：增極大值減所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)函數(shù)在處取得極大值且（）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，于是記，則，當(dāng)時(shí)，從而，又，所以，于是函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，因此（）(1) 若，由（）及,得,與矛盾；(2) 若，由由（）及,得,與矛盾；根據(jù)(1)，(2)可得不妨設(shè)由（）可知，所以因?yàn)?，所以，又，由（），在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，所以，即22（本小題滿分分）在數(shù)列中，且對任意，成等差數(shù)列，其公差為（）若，證明成等比數(shù)列；（）若對任意，成等比數(shù)列，其公比為

15、() 設(shè),證明是等差數(shù)列;() 若,證明.【解】（）解法1由題設(shè)可得，所以因?yàn)?，所以從而由成等差?shù)列，其公差為得于是因此，所以，于是當(dāng)時(shí)，對任意， 成等比數(shù)列解法2用數(shù)學(xué)歸納法(1) 當(dāng)時(shí)，因?yàn)槌晒顬榈牡炔顢?shù)列，及，則當(dāng)時(shí)，因?yàn)槌晒顬榈牡炔顢?shù)列，及，則由，所以成等比數(shù)列所以當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立；(2) 假設(shè)對于結(jié)論成立，即成公差為等差數(shù)列，成等比數(shù)列，設(shè)，則，又由題設(shè)成公差為等差數(shù)列，則，因此，解得于是，再由題設(shè)成公差為等差數(shù)列，及，則因?yàn)?，所以，于是成等比?shù)列于是對結(jié)論成立，由(1)，(2)，對對任意,結(jié)論成立（）()證法1由成等差數(shù)列，成等比數(shù)列,則 ,即因?yàn)?可知,從而，即，所以是等差數(shù)列

16、，且公差為證法2由題設(shè),所以.因?yàn)?可知,于是所以是等差數(shù)列，且公差為() 證法1由（）得解法1和解法2均可得從而，因此，(1) 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)若，則，滿足；若，則所以，所以，(2) 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)所以，所以，由(1)，(2)可知，對任意，證法2由（）得解法1和解法2均可得從而所以，由，可得于是由（）知，以下同證法2010年天津高考數(shù)學(xué)卷（文科詳解）第卷一選擇題：本卷共小題，每小題分，共分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合要求的1是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（）【解】故選2設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）【解】畫出可行域如圖，直線經(jīng)過時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，所以故選3閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)

17、行相應(yīng)的程序，則輸出的值為（）【解】第一步得，；第二步得，；第三步得，；第四步得，；到第四步，不是大于，因此輸出，所以輸出的故選4函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（）【解】因?yàn)?，所以函?shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是故選5下列命題中，真命題是（） ，使函數(shù)是偶函數(shù)，使函數(shù)是奇函數(shù)，使函數(shù)都是偶函數(shù)，使函數(shù)都都是奇函數(shù)【解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，故選此外，函數(shù)都都不是奇函數(shù)，因此排除，若，則函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)因此排除6設(shè)，則（） 【解】因?yàn)?，所以，所以，故選7設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）BCD 【解】集合化為，又因?yàn)?，則或，即或故選8右圖是函數(shù)在區(qū)間上的圖象，為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象，只要將的圖象

18、上的所有的點(diǎn)（ ）向左平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變向左平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)不變向左平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變向左平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)不變【解】解法1如圖，平移需滿足，解得因此首先將的圖象上的所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，又因?yàn)樵摵瘮?shù)的周期為，于是再需把的圖象上的所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍故選解法2由已知圖象得解得，又，所以圖中函數(shù)的解析式是，因此該函數(shù)的圖象是將的圖象上的所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變得到的

19、故選9如圖，在中，則（）【解】設(shè)，則，又，則 解法1因?yàn)?，所以因?yàn)槭侵苯侨切?，所以于是故選解法2故選解法3設(shè),則.在中，由正弦定理得,即,所以，故選解法4根據(jù)題意,建立如圖的直角坐標(biāo)系.則設(shè),于是，為此，只需求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)作軸于由，則，于是，于是即點(diǎn)的橫坐標(biāo)所以故選10設(shè)函數(shù)，則的值域是（）， 【解】解得，則或因此的解為于是當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，又當(dāng)和時(shí)，所以由以上，可得或，因此的值域是故選第卷二本大題共小題，每小題分，共分把答案填在題中橫線上11如圖，四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，延長和相交于點(diǎn)若，則的值為【解】因?yàn)樗倪呅问菆A的內(nèi)接四邊形，所以，又，所以于是因?yàn)?，所以?2一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示

20、，則這個(gè)幾何體的體積為【解】設(shè)幾何體的體積為，則 13已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，則雙曲線的方程為【解】由題設(shè)可得雙曲線方程滿足，即于是又拋物線的焦點(diǎn)為，則與，于是所以雙曲線的方程 14已知圓的圓心是直線與軸的交點(diǎn)，且圓與直線相切，則圓的方程為【解】直線與軸的交點(diǎn)為于是圓心的坐標(biāo)為；因?yàn)閳A與直線相切，所以圓心到直線的距離即為半徑，因此所以圓的方程為15設(shè)是等比數(shù)列，公比，為的前項(xiàng)和記，設(shè)為數(shù)列的最大項(xiàng)，則【解】設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)，取得最小值，所以在時(shí)取得最大值此時(shí)，解得即為數(shù)列的最大項(xiàng)，則16設(shè)函數(shù)對任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【解】解法1顯然，由于函數(shù)

21、對是增函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，不恒成立，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)在 是減函數(shù)，因此當(dāng)時(shí)，取得最大值，于是恒成立等價(jià)于的最大值，即，解得于是實(shí)數(shù)的取值范圍是解法2然，由于函數(shù)對是增函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，不成立，因此，因?yàn)?，則，設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，于是時(shí)，取得最小值解得于是實(shí)數(shù)的取值范圍是解法3因?yàn)閷θ我?，恒成立，所以對，不等式也成立，于是，即，解得于是?shí)數(shù)的取值范圍是三解答題：本大題共小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17（本小題滿分分）在中，（）證明：（）若求的值【解】（）在中，由及正弦定理得，于是，即，因?yàn)椋瑒t，因此，所以（）由和（）得，所以，又由知，所以所以18（本小題滿分分）有編號為的個(gè)零件，測量

22、其直徑（單位：），得到下面數(shù)據(jù)：編號直徑其中直徑在區(qū)間內(nèi)的零件為一等品（）從上述個(gè)零件中，隨機(jī)抽取一個(gè)，求這個(gè)零件為一等品的概率（）從一等品零件中，隨機(jī)抽取個(gè)()用零件的編號列出所有可能的抽取結(jié)果；()求這個(gè)零件直徑相等的概率【解】（）由所給的數(shù)據(jù)可知，一等品的零件共有個(gè)設(shè)“從個(gè)零件中，隨機(jī)抽取一個(gè)為一等品”為事件，則所以從個(gè)零件中，隨機(jī)抽取一個(gè)零件為一等品的概率為（）()一等品零件的編號為從這個(gè)一等品零件種隨機(jī)抽取個(gè)，所有可能的抽取結(jié)果有，共種() 記“從一等品零件中，隨機(jī)抽取個(gè)直徑相等”為事件，則事件的所有可能結(jié)果有，共種所以因此從一等品零件中，隨機(jī)抽取個(gè)直徑相等的概率為19（本小題滿分分）如圖，在五面體中，四邊形是正方形，（）求異面直線與所成的角的余弦值；（）證明：；（）求二面角的正切值【解】（）因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以故為異面直線與所成的角因?yàn)?，所以故在中，所以因此所以異面直線與所成的角的余弦值為（）過點(diǎn)作，交于，則，又，所以從而又，且所以（）由（）及已知，可得，即為的中點(diǎn)取的中點(diǎn)，連接則因?yàn)?，所以過點(diǎn)作，交于則為二面角的平面角連接，可得所以，從而由已知可得由，可得在中，所以二面角的正切值為20（本小題滿分分）已知函數(shù)，其中（）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）若在區(qū)間上，恒成立，求的取值范圍【解】（）當(dāng)時(shí)，所