彈性損傷材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系與損傷演化方程

1、JOURNAL OF CHANGSHACOMMUNICATIONS UNIVERSITY 1999年 第15卷 第4期 Vol.15 No.4 1999彈性損傷材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系與損傷演化方程唐雪松蔣持平鄭健龍摘要：經(jīng)典連續(xù)損傷理論中，通常是由有效應(yīng)力概念和應(yīng)變等效假設(shè)來(lái)建立損傷材料的本構(gòu)方程。已經(jīng)發(fā)現(xiàn)有效應(yīng)力概念與應(yīng)變等效假設(shè)存在較大缺陷，基于應(yīng)變等效假設(shè)的損傷本構(gòu)方程不能正確反映實(shí)際材料的損傷行為。為克服經(jīng)典連續(xù)損傷理論存在的缺陷，在嚴(yán)格的不可逆熱力學(xué)理論基礎(chǔ)上，提出了建立損傷本構(gòu)方程的本構(gòu)泛函展開(kāi)法，推導(dǎo)出彈性各向同性損傷材料本構(gòu)方程的一般形式。研究表明，彈性各向同性損傷可由定義在細(xì)觀

2、尺度下的一個(gè)標(biāo)量損傷變量來(lái)描述，在小應(yīng)變情況下材料的本構(gòu)方程中有兩個(gè)獨(dú)立的“損傷效應(yīng)函數(shù)”，來(lái)表征損傷對(duì)材料宏觀力學(xué)性能的影響。損傷效應(yīng)函數(shù)的具體形式可由細(xì)觀力學(xué)解答確定，從而使連續(xù)損傷力學(xué)與細(xì)觀損傷力學(xué)有機(jī)結(jié)合在一起。在廣義標(biāo)準(zhǔn)材料理論框架下，利用本構(gòu)泛函展開(kāi)法，推導(dǎo)出彈性各向同性損傷演化方程的一般形式。關(guān)鍵詞：連續(xù)損傷力學(xué)；不可逆熱力學(xué)；損傷本構(gòu)方程；本構(gòu)泛函展開(kāi)法；損傷流動(dòng)勢(shì)；損傷演化方程中圖分類號(hào)：O346.5文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：AStress-Strain Constitutive Relation and Damage EvolutionEquation for Elastic Damag

3、ed MaterialsTANG Xue-song1, JIANG Chi-ping1, ZHENG Jian-long2（1. Division 508, Dept. of Flight Vehicle Design and Applied Mechanics, Beijing Universityof Aeronauticsand Astronautics, Beijing 100083, China; 2.Changsha Comm. Univ., Changsha 410076,China ）Abstract ： In classical continuum damage theori

4、es, the constitutive equations for damaged materials are usually set up by using the concept of effective stress and the strain equivalence principle (or hypothesis, and some limitations of this principle have been found. Because the constitutive equations based on the strain equivalence principle f

5、or damaged materials do not reflect the damage behaviour of real materials, the constitutive functional expansion method(CFEM is developed on the strict theoretical basis of irreversible thermodynamics, and byusing the CFEM the constitutive equations for isotropic elastic damaged materials are deriv

6、ed. It is found that two independent “damage effect functions” are related to a single-scalardamage variable in the constitutive equations under infinitesimal strain conditions. The detailedexpressions of the damage effect functions are investigated by micromechanics, which enables us to relate the

7、continuum damage mechanics with the microscopic damage mechanics. Thus,in the framework of generalized standard materials, the damage evolution equation for isotropic elastic damaged materials has been derived.Key words： continuum damage mechanics; irreversible thermodynamics; damage constitutive eq

8、uation; constitutive functional expansion method; damage flow potential; damage evolution equation1958年，Kachanov1首次提出用連續(xù)性因子來(lái)描述材料的損傷狀態(tài)。隨后，Rabotnoy 2,3進(jìn)一步提出連續(xù)損傷變量D與有效應(yīng)力的概念。Lemaitre與Chaboche4，5在此基礎(chǔ)上，提出著名的應(yīng)變等效假設(shè)。自從這些開(kāi)創(chuàng)性的工作以后，損傷力學(xué)近二三十年來(lái)逐步發(fā)展為固體力學(xué)的一個(gè)新分支，成為目前一個(gè)十分活躍的研究領(lǐng)域610。 材料損傷本構(gòu)關(guān)系的描述，是連續(xù)損傷力學(xué)的基本問(wèn)題。以往均采用應(yīng)變等

9、效假設(shè)來(lái)建立損傷材料的本構(gòu)方程。根據(jù)應(yīng)變等效假設(shè)，用有效應(yīng)力取代材料無(wú)損時(shí)本構(gòu)方程中的Cauchy應(yīng)力，就得到了受損材料的應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)方程。如各向同性彈性損傷材料的本構(gòu)關(guān)系式為(1式中：ij 與ij 為Cauchy應(yīng)力與應(yīng)變張量；與為材料的Lame彈性常數(shù)；D是各向同性標(biāo)量損傷變量；ij 是Kronecker記號(hào)。有效應(yīng)力概念與應(yīng)變等效假設(shè)，曾大大促進(jìn)了連續(xù)損傷力學(xué)的理論發(fā)展及其實(shí)際應(yīng)用。但隨著進(jìn)一步的研究，也逐漸暴露出其理論缺陷與局限性。由(1式知，按應(yīng)變等效 假設(shè)，在材料損傷過(guò)程中，有效彈性常數(shù)=(1-D與=(1-D將按相同的規(guī)律(1-D變化，而泊松比=將保持不變。這與大多數(shù)材料的損傷實(shí)

10、驗(yàn)結(jié)果不符，也與大量的細(xì)觀損傷力學(xué)研究結(jié)果11，12相矛盾。作為改進(jìn)，Ladeveze與高蘊(yùn)昕、鄭泉水、余壽文13等人提出了雙標(biāo)量損傷變量描述的損傷模型。但從細(xì)觀力學(xué)角度，材料各向同性的損傷態(tài)完全可用一個(gè)標(biāo)量損傷變量來(lái)描述13，10。因此，克服以往理論存在的局限性，在更嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)上，探索研究損傷本構(gòu)關(guān)系的新途徑，對(duì)損傷力學(xué)的理論發(fā)展及應(yīng)用具有十分重要的意義。本文從不可逆熱力學(xué)基本理論出發(fā)，提出了本構(gòu)泛函展開(kāi)法。以Helmholtz自由能作為受損材料的本構(gòu)泛函，將其對(duì)ij 與D作Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)，導(dǎo)出了彈性各向同性損傷材料的應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)方程與損傷對(duì)偶力本構(gòu)方程；在廣義標(biāo)準(zhǔn)材料理論框架下

11、14，由內(nèi)變量正交法則，通過(guò)將損傷流動(dòng)勢(shì)作Taylor展開(kāi)的方法，導(dǎo)出了彈性各向同性損傷演化方程的一般形式。1不可逆熱力學(xué)基本理論對(duì)于無(wú)窮小應(yīng)變和等溫的熱力學(xué)過(guò)程，局部熵產(chǎn)生不等式(即Clausius-Duhem不等式為(2其中，為單位體積的Helmholtz自由能，(為物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。假定材料是彈性各向同性的，且發(fā)生各向同性損傷，則有=(ij ，D(3(4 將式(4代入式(2中，有(5由ij 之任意性，有.(6定義(7則式(5成為Y0(Y為材料的損傷耗散功率，表明熱力學(xué)第二定律限定材料的損傷耗散功率恒為非負(fù)。一般情況下?lián)p傷不可逆，恒有D0，0，Y0，即損傷對(duì)偶力Y恒為非負(fù)。材料的損傷過(guò)程是一種不可

12、逆耗散過(guò)程。由(6、(7式知，可將看作是一種耗散勢(shì)。對(duì)(3式作Legendre變換，有*=*(ij ,Y(8*是的余函數(shù)，即Gibbs自由焓，可看作是材料的耗散余勢(shì)。在廣義標(biāo)準(zhǔn)材料理論框架導(dǎo)出。下14，依內(nèi)變量正交法則，材料的損傷演化方程可由2本構(gòu)泛函展開(kāi)法與彈性損傷本構(gòu)方程的一般形式本節(jié)中將利用本構(gòu)泛函展開(kāi)法推導(dǎo)彈性各向同性損傷材料的本構(gòu)方程。設(shè)初始狀態(tài)ij =ij =0,Y=D=0; 將Helmholtz自由能(ij ，D在初始狀態(tài)附近作Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)，只保留含有應(yīng)變二次及二次以下的各項(xiàng)(因?yàn)閕j 1；材料的損傷度是一個(gè)有限量，0D1，含有D的高階項(xiàng)保留到N階。則彈性各向同性損傷下，

13、有(9其中：0為初始狀態(tài)下的值，可令其為零；C(n為標(biāo)量系數(shù)；張量，下標(biāo)按求和約定。 將(9式代入(6、(7式中，有為系數(shù)(10(11令D=0，(10式就退化為熟知的線彈性應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)方程。由于損傷不可逆，在任意損傷狀態(tài)下卸載至零時(shí)，ij =ij =0, Y=0, 此時(shí)D0，則由(10、(11式可知，必有B (0ij =0,B(nij =0，C(n=0n=1,2,，N(12由ij 的對(duì)稱性，知系數(shù)張量應(yīng)滿足如下對(duì)稱性要求：(13另外，由與Y的非負(fù)性知，cijkl 必為非負(fù)張量，而A(nijkl (n=1,2,N必為非正張量。(9(11式可簡(jiǎn)化為 (14(15(16若材料有初始損傷，亦可導(dǎo)出與

14、上相類似的結(jié)果。彈性各向同性損傷下，cijkl 與A(nijkl 成為對(duì)稱各向同性張量，可分別表示成c ijkl =ij kl +(ik jl +il jk (17A (nijkl =-(nij kl -(n(ik jl +il jk n=1,2,N(18其中：、為L(zhǎng)amc彈性常數(shù)；(n、(n為無(wú)因次非負(fù)實(shí)數(shù)，(n0，(n0。 (14(16式成為 (19 (20(21式(19、(20、(21即分別為彈性各向同性損傷材料的自由能表達(dá)式、應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)方 程、損傷對(duì)偶力本構(gòu)方程。記 并定義(22 則(20式成為(23其中(D與(D分別為材料受損后的有效彈性常數(shù)，與材料的損傷程度有關(guān)。3分析討論由(

15、23式可知，受損材料的應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)方程與無(wú)損時(shí)的形式相同，只是其中的彈性常數(shù)為材料損傷后的有效值所取代，而不是應(yīng)變等效假設(shè)的那樣用有效應(yīng)力來(lái)代換Cauchy應(yīng)力。(23式表明，損傷對(duì)兩個(gè)彈性常數(shù)與有著不同的影響，它們分別按照各自的規(guī)律M(D與M(D隨損傷變量D演變。這一結(jié)論與現(xiàn)有的大量細(xì)觀損傷力學(xué)研究結(jié)果11，12相一致。由此可知，M(D與M(D分別是描述損傷對(duì)材料兩個(gè)獨(dú)立彈性常數(shù)影響的函數(shù)，可稱為損傷效應(yīng)函數(shù)。而(n與(n則為描述材料損傷效應(yīng)的材料參數(shù)。M(D、M(D或(n、(n與材料損傷的細(xì)觀特征有關(guān)，可由細(xì)觀損傷力學(xué)的解答或?qū)嶒?yàn)確定。對(duì)于有限變形問(wèn)題，本構(gòu)泛函的級(jí)數(shù)展開(kāi)式中應(yīng)當(dāng)取到應(yīng)變

16、二次以上的高階項(xiàng)，此時(shí)在損傷本構(gòu)方程中將包含兩個(gè)以上的損傷效應(yīng)函數(shù)。取N=1，(20式的一階近似形式為ij =2ij (1-(1D+kk ij (1-(1D(24若進(jìn)一步取(1=(1=1 (i.e. A(1ijkl =-cijkl ，則(24式即與應(yīng)變等效假設(shè)的結(jié)果(1式相同。這表明基于應(yīng)變等效假設(shè)的經(jīng)典連續(xù)損傷本構(gòu)方程，只是本文方程的一個(gè)近似簡(jiǎn)化形式。這種簡(jiǎn)化處理的誤差，將在下面通過(guò)連續(xù)損傷力學(xué)與細(xì)觀力學(xué)的結(jié)合來(lái)加以比較。 若從唯象學(xué)角度定義雙標(biāo)量損傷變量(25即可由此導(dǎo)出雙標(biāo)量描述的損傷模型。本文利用本構(gòu)泛函展開(kāi)法導(dǎo)出的由一個(gè)標(biāo)量損傷變量描述的損傷本構(gòu)方程，可以正確反映損傷材料的力學(xué)行為，

17、且使得對(duì)材料各向同性損傷狀態(tài)的描述與損傷的經(jīng)典定義13保持一致。(25式揭示了雙標(biāo)量損傷變量的物理含義，雙標(biāo)量損傷變量是對(duì)損傷材料彈性行為的唯象學(xué)描述，而并非是對(duì)材料損傷本身細(xì)觀特征的描述。4連續(xù)損傷力學(xué)與細(xì)觀損傷力學(xué)的結(jié)合本構(gòu)方程中的損傷效應(yīng)函數(shù)M(D與M(D，或無(wú)因次材料系數(shù)(n與(n，均是與材料細(xì)觀損傷特征相聯(lián)系的，可利用細(xì)觀損傷力學(xué)的研究結(jié)果加以確定。 對(duì)于二維隨機(jī)分布的微圓孔損傷，文獻(xiàn)15用Mori-Tanaka方法得出解答為(26式中：E、分別為材料的楊氏模量與泊松比；與為受損后的有效楊氏模量與泊松比；為材料的孔隙率，其定義為單元截面上微圓孔面積與單元截面積之比。 定義D=，將(2

18、6式代入(22式，利用、與E、之間的關(guān)系，可得 (27(28對(duì)于二維隨機(jī)分布的微裂紋損傷，文獻(xiàn)17利用Mori-Tanaka方法得出的細(xì)觀力學(xué)解答為(29式中*為材料的微裂紋密度參數(shù)，其定義為*=ml2(m為單位面積上的微裂紋數(shù)目，l為微裂紋的平均半長(zhǎng)。定義D=*，按相同的方式可得 (30(31由上可知，本構(gòu)方程中的損傷效應(yīng)函數(shù)，可由細(xì)觀損傷力學(xué)方法確定。對(duì)于給定的材料，損傷效應(yīng)函數(shù)僅與材料的細(xì)觀損傷特征有關(guān)。實(shí)際材料的細(xì)觀損傷機(jī)理可能要復(fù)雜得多，此時(shí)可由實(shí)驗(yàn)或細(xì)觀損傷力學(xué)的數(shù)值解答，確定出本構(gòu)方程(20、(21式中的無(wú)因次材料系數(shù)(n與(n。泊松比=1/3的材料，其損傷效應(yīng)函數(shù)變化曲線見(jiàn)圖1

19、。由圖知：損傷效應(yīng)函數(shù)的具體形式明顯依賴于材料的細(xì)觀損傷幾何特征，而應(yīng)變等效假設(shè)的結(jié)果與材料的細(xì)觀損傷特征無(wú)關(guān)；微圓孔損傷下，與按相同的規(guī)律隨D演變，但變化規(guī)律并不是應(yīng)變等效假設(shè)的1-D；微裂紋損傷下，與的變化規(guī)律明顯不同；與隨D的變化呈明顯的非線性，而應(yīng)變等效假設(shè)的結(jié)果是線性的，具有較大的偏差。 圖1損傷效應(yīng)函數(shù)曲線圖(=1/35損傷演化方程損傷演化方程的建立通常有兩種途徑：其一是按照損傷類型(如脆性、延性、疲勞、蠕變損傷等，依據(jù)經(jīng)驗(yàn)(實(shí)驗(yàn)分別建立損傷演化方程；其二是在廣義標(biāo)準(zhǔn)材料的理論框架下15，依內(nèi)變量正交流動(dòng)法則建立內(nèi)變量(損傷變量的演變律。在Lemaitre-Chaboche4，5，

20、10的損傷理論與Rousselier的損傷理論17中，研究了塑性流動(dòng)與損傷演化相耦合的流動(dòng)勢(shì)，由經(jīng)驗(yàn)或假設(shè)構(gòu)造出了流動(dòng)勢(shì)的函數(shù)形式，進(jìn)而得出損傷演化方程。本文通過(guò)將流動(dòng)勢(shì)展開(kāi)的方法來(lái)直接導(dǎo)出損傷演化方程的一般形式，從而擺脫了對(duì)經(jīng)驗(yàn)假設(shè)的依賴。由1小節(jié)知，彈性損傷下，Gibbs自由焓*可作為材料的損傷流動(dòng)勢(shì)。由(8式，將*在初始狀態(tài)附近Taylor展開(kāi)至二階，得(32 故有(33當(dāng)ij =0,Y=0時(shí)，應(yīng)有=0，故有a0=0。另外，任意ij 下，0，則必有bij =0，a0。(33式簡(jiǎn)化為=aY，代入(21式，有(34該式即為以應(yīng)變作為損傷演化控制量的損傷演化方程，a為表征材料損傷演化特征的材料

21、參數(shù)，可由實(shí)驗(yàn)或細(xì)觀力學(xué)方法加以確定。引入等效應(yīng)ij 可分解為球應(yīng)變ij =m ij +eij 與偏應(yīng)變張量變，則(34式成為(35下面考慮損傷演化的門檻效應(yīng)。設(shè)c eq 為損傷演化的等效應(yīng)變門檻值，定義單位階躍函 數(shù)則有(36該式即為彈性各向同性損傷下?lián)p傷演化方程的一般形式。(36式表明，材料的損傷演化為等效應(yīng)變大小所控制，比值m /eq 對(duì)損傷演化起著重要作用，且當(dāng)前的損傷程度對(duì)損傷速率有著復(fù)雜的影響。這些結(jié)論與以往的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果是一致的，如文獻(xiàn)10中曾從以往經(jīng)驗(yàn)型的損傷演化方程中歸納出與上相類似的結(jié)論。至此，給出了彈性各向同性損傷材料的全部本構(gòu)方程，它們是應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)方程(20，損傷對(duì)

22、偶力本構(gòu)方程(21與損傷演化方程(36。6結(jié)論a.從不可逆熱力學(xué)理論出發(fā)，提出了建立損傷本構(gòu)方程的本構(gòu)泛函展開(kāi)法，克服了經(jīng)典連續(xù)損傷理論的缺陷。本構(gòu)泛函展開(kāi)法可以推廣應(yīng)用于各向異性與非彈性材料的損傷問(wèn)題。 b. 由本構(gòu)泛函展開(kāi)法，導(dǎo)出了彈性各向同性損傷下的應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)方程與損傷對(duì)偶力本構(gòu)方程，并在廣義標(biāo)準(zhǔn)材料理論框架下，利用本構(gòu)泛函展開(kāi)法，推導(dǎo)出損傷演化方程的一般形式。c. 研究表明，損傷過(guò)程中兩個(gè)獨(dú)立損傷效應(yīng)函數(shù)曲線的變化規(guī)律明顯不同，且呈明顯的非線性，它們的具體形式取決于材料的細(xì)觀損傷幾何特征。而基于應(yīng)變等效假設(shè)的經(jīng)典損傷本構(gòu)方程，是本文方程的一種近似簡(jiǎn)化形式。d. 小應(yīng)變情況下，損傷本

23、構(gòu)方程中含有兩個(gè)獨(dú)立的損傷效應(yīng)函數(shù)。對(duì)于有限變形問(wèn)題，在本構(gòu)泛函展開(kāi)時(shí)應(yīng)保留關(guān)于應(yīng)變的高階項(xiàng)，此時(shí)損傷本構(gòu)方程中將含有兩個(gè)以上的損傷效應(yīng)函數(shù)?；痦?xiàng)目：交通部重點(diǎn)科技項(xiàng)目資助作者簡(jiǎn)介：唐雪松（1964），男，長(zhǎng)沙交通學(xué)院副教授，北京航空航天大學(xué)在讀博士。作者單位：唐雪松蔣持平北京航空航天大學(xué) 飛行器設(shè)計(jì)與應(yīng)用力學(xué)系，北京100083；鄭健龍長(zhǎng)沙交通學(xué)院，長(zhǎng)沙410076參考文獻(xiàn)1Kachanov L M. Time of the rupture process under creep conditions. Izv Akad Nauk USSR, Otd. Techn.Nauk,1958(8:

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25、etherlands,1986.8Chaboche J L.Continuum damage mechanics:Part -general concepts. J.of Appl.Mech.,1988,55(1:5964.9Chaboche J L. Continuum damage mechanies:Pat -damage growth, crack initiation and crack growth. J. of Appl. Mech., 1988,55(1:6572.10Lemaitre J. A Course on Damage Mechanics. Springer-Verlag, Berlin,