《平行線與相交線》全章復(fù)習(xí)與鞏固(基礎(chǔ))知識

1、平行線與相交線全章復(fù)習(xí)與鞏固(基礎(chǔ)知識講解撰稿:孫景艷 責(zé)編:趙煒【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 熟練掌握對頂角,鄰補(bǔ)角及垂線的概念及性質(zhì),了解點(diǎn)到直線的距離與兩平行線間的距 離的概念;2. 區(qū)別平行線的判定與性質(zhì),并能靈活運(yùn)用;3. 了解命題的概念及構(gòu)成,并能通過證明或舉反例判定命題的真假;4. 了解平移的概念及性質(zhì) .【高清課堂:相交線與平行線單元復(fù)習(xí) 403105知識結(jié)構(gòu) 】【知識網(wǎng)絡(luò)】 【要點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一、相交線1. 對頂角、鄰補(bǔ)角兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系,它們的概念及性質(zhì)如下表: 要點(diǎn)詮釋:對頂角是成對出現(xiàn)的,對頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角 . 對頂角的特征 :有公共頂點(diǎn), 角

2、的兩邊互為反向延長線 .如果 與 是對頂角, 那么一定有 = ; 反之如果 = , 那么 與 不一定是對頂角 .如果 與 互為鄰補(bǔ)角, 則一定有 + =180; 反之如果 + =180, 則 與 不一定是鄰補(bǔ)角 . 鄰補(bǔ)角的特征 :有公共頂點(diǎn), 有一條公共邊, 另一邊互為反向延 長線.兩直線相交形成的四個(gè)角中,每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè),而對頂角只有一個(gè) . 2. 垂線及性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離 (1垂線的定義:當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中, 有一個(gè)角是直角時(shí), 就說這兩條直線互相垂直, 其中 的一條直線叫做另一條直線的垂線, 它們的交點(diǎn)叫做垂足 . 如圖 1所示, 符號語言記作: AB CD ,垂足

3、為 O. 要點(diǎn)詮釋:要判斷兩條直線是否垂直, 只需看它們相交所成的四個(gè)角中, 是否有一個(gè)角是直角, 兩 條線段垂直,是指這兩條線段所在的直線垂直 . (2垂線的性質(zhì):垂線性質(zhì) 1:過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 (與平行公理相比較記 . 垂線性質(zhì) 2:連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短 . 簡稱:垂線段 最短 .(3點(diǎn)到直線的距離:直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度,叫做點(diǎn)到直線的距離,如圖 2:PO AB ,點(diǎn) P 到直線 AB 的距離是垂線段 PO 的長 .要點(diǎn)詮釋:垂線段 PO 是點(diǎn) P 到直線 AB 所有線段中最短的一條 .知識點(diǎn)二、平行線1.平行線的判定判定方法

4、 1:同位角相等,兩直線平行.判定方法 2:內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行.判定方法 3:同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行.要點(diǎn)詮釋:根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論,平行線的判定方法還有:(1平行線的定義:在同一平面內(nèi),如果兩條直線沒有交點(diǎn)(不相交,那么兩直線平行 .(2如果兩條直線都平行于第三條直線,那么這兩條直線平行(平行線的傳遞性 .(3在同一平面內(nèi),垂直于同一直線的兩條直線平行 .(4平行公理:經(jīng)過直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與這條直線平行 .2.平行線的性質(zhì)性質(zhì) 1:兩直線平行,同位角相等;性質(zhì) 2:兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;性質(zhì) 3:兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ) .要點(diǎn)詮釋:根據(jù)平行線的定義和平行公理

5、的推論,平行線的性質(zhì)還有:(1若兩條直線平行,則這兩條直線在同一平面內(nèi),且沒有公共點(diǎn).(2如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直,那么它必與另一條直線垂直.3.兩條平行線間的距離 如圖 3,直線 AB CD , EF AB 于 E , EF CD 于 F ,則稱線段 EF 的長度為兩平行線 AB 與 CD 間的距離 .要點(diǎn)詮釋:(1直線 AB CD ,在直線 AB 上任取一點(diǎn) G ,過點(diǎn) G 作 CD 的垂線段 GH ,則垂線段 GH 的長 度就是直線 AB 與 CD 間的距離 .(2初中階級學(xué)習(xí)了三種距離 , 分別是兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線距離、平行線間的距離 . 這三種距離的共同點(diǎn)在于都是

6、線段的長度 , 它們的區(qū)別是兩點(diǎn)間的距離是連接這兩點(diǎn)的線段 的長度 , 點(diǎn)到直線距離是直線外一點(diǎn)引已知直線的垂線段的長度 , 平行線間的距離是一條直 線上的一點(diǎn)到與之平行的另一直線的距離 .(3如何理解 “垂線段”與 “距離”的關(guān)系:垂線段是一個(gè)圖形,距離是線段的長度, 是一個(gè)量,它們之間不能等同 .知識點(diǎn)三、命題及平移1. 命題:判斷一件事情的語句,叫做命題.每個(gè)命題都由題設(shè)、結(jié)論兩部分組成 . 題設(shè)是已 知事項(xiàng);結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng) .2. 平移:在平面內(nèi),將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動一定的距離,圖形的這種移動叫做平移. 要點(diǎn)詮釋:平移的性質(zhì):(1平移后,對應(yīng)線段平行(或共線且相等;(2

7、平移后,對應(yīng)角相等;(3平移后,對應(yīng)點(diǎn)所連線段平行且相等;(4平移后,新圖形與原圖形是一對全等圖形 .【典型例題】類型一、相交線 1. 如圖,直線 AB 、 CD 、 EF 相交于點(diǎn) O ,那么互為對頂角(平角除外的角共有 對, 它們分別是 ,共有 對鄰補(bǔ)角 . 【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)鄰補(bǔ)角定義和對頂角定義, 每一個(gè)頂點(diǎn)處有四個(gè)角, 可以組成四對鄰補(bǔ)角 和兩對對頂角,而本題圖形中,三個(gè)頂點(diǎn)重疊在一起,所以再乘以 3即可.【答案】 6, AOC 與 BOD , AOF 與 BOE , COF 與 DOE, BOC 與 AOD , BOF 與 AOE, DOF 與 COE ,12【解析】 找對頂角或鄰

8、補(bǔ)角,先從某一個(gè)角開始,順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),這樣做,既不漏也 不重 .【總結(jié)升華】 兩條直線相交得到的四個(gè)角中,共有 2對對頂角, 4對鄰補(bǔ)角 . 舉一反三:【變式】如圖所示,已知AOD=BOC,請?jiān)趫D中找出BOC 的補(bǔ)角 , 鄰補(bǔ)角及對頂角. 【答案】解 : 因?yàn)锽O C +AOC=180(平角定義 , 所以AOC 是BOC 的補(bǔ)角 .因?yàn)锳OD+BOD=180(平角定義 , AOD=BOC(已知 , 所以BOC+BOD=180.所以BOD 是BOC 的補(bǔ)角.所以BOC 的補(bǔ)角有兩個(gè):BOD 和AOC .而BOC 的鄰補(bǔ)角只有一個(gè)AOC,且BOC 沒有對頂角.2. 已知:如圖,直線 a 、

9、b 、 c 兩兩相交,且 a b , 1=2 3,求 4的度數(shù). 【答案與解析】 解：ab, 2190. 又123，9023，345, 又3 與4 互為鄰補(bǔ)角， 所以3+4180即 45+4180. 所以4135. 【總結(jié)升華】涉及到角的運(yùn)算時(shí)，充分利用已知條件和隱含條件（平角、余角、補(bǔ)角、對頂 角等）是解題的關(guān)鍵 類型二、平行線的性質(zhì)與判定 3.如圖，已知ADE = B，1 =2，那么 CDFG 嗎？并說明理由. 【答案與解析】 解：平行，理由如下： 因?yàn)锳DE=B，所以 DEBC（同位角相等，兩直線平行）， 所以1=BCD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）. 又因?yàn)?=2（已知）， 所以BCD=2

10、. 所以 CDFG（同位角相等，兩直線平行）. 【總結(jié)升華】反復(fù)應(yīng)用平行線的判定與性質(zhì)，見到角相等或互補(bǔ)，就應(yīng)該想到判斷直線是否 平行，見到直線平行就應(yīng)先想到角相等或角互補(bǔ). 【高清課堂：相交線與平行線單元復(fù)習(xí) 403105 經(jīng)典例題 3】 舉一反三： - 6 - 【變式】如圖，已知1+2=180，3=B，試判斷AED 與ACB 的大小關(guān)系，并說明 理由 【答案】AED=ACB，理由如下： 12180，又14180, 24. ABEF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）. 53. 又3=B, 5B. DEBC（同位角相等，兩直線平行）. AED=ACB(兩直線平行,同位角相等. 類型三、命題及平移 4.

11、(佳木斯中考如圖所示，請你填寫一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：_，使 ADBC 【思路點(diǎn)撥】欲證 ADBC，結(jié)合圖形，故可按同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等和同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩 直線平行來補(bǔ)充條件 【答案】FADFBC，或ADBCBD，或ABC+BAD180. 【解析】 解：本題答案不唯一，如：利用“同位角相等，兩直線平行”，可添加條件FADFBC； - 7 - 利用“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”，可添加條件ADBCBD；利用“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直 線平行”，可添加條件ABC+BAD180 【總結(jié)升華】這是一道開放性試題，分清題設(shè)和結(jié)論：結(jié)論： ADBC，題設(shè)可根據(jù)平行線 的判定方法，逐一尋找即可. 舉一反三： 【變式】下列命題

12、真命題是( A互補(bǔ)的兩個(gè)角不相等 C有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角是對頂角 【答案】D 5.如圖(1，線段 AB 經(jīng)過平移有一端點(diǎn)到達(dá)點(diǎn) C，畫出線段 AB 平移后的線段 CD B相等的兩個(gè)角是對頂角 D同角或等角的補(bǔ)角相等 【思路點(diǎn)撥】連接 AC 或 BC 便得平移的方向和距離 【答案與解析】 解：如圖(2，線段 CD 有兩種情況：(1當(dāng)點(diǎn) A 平移到點(diǎn) C 時(shí)，則點(diǎn) D 在點(diǎn) C 的下方，因此 下邊線段 CD 即為所求；(2當(dāng)點(diǎn) B 平移到點(diǎn) C 時(shí)，則點(diǎn) D 在點(diǎn) C 的上方，上邊線段 CD 即為 所求 【總結(jié)升華】平移是由平移的方向和距離決定的本題中未指明哪一端點(diǎn)(A 還是 B移動到 點(diǎn) C，故應(yīng)有兩種情況：即點(diǎn) A 平移到點(diǎn) C 或點(diǎn) B 平移到點(diǎn) C 舉一反三： 【變式】下列說法錯(cuò)誤的是（ A平移不改變圖形的形狀和大小 B平移中圖形上每個(gè)點(diǎn)移動的距離可以不同 C經(jīng)過平移，圖形的對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別