非特殊角的三角函數(shù)式求值的解法

1、非特殊角的三角函數(shù)式求值的解法 摘 要：三角函數(shù)的求值問題是三角變換中的一個(gè)重要內(nèi)容，也是歷年高考和高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽考查的重點(diǎn)內(nèi)容，其中非特殊角的三角函數(shù)式的求值更是屢見不鮮，除了靈活運(yùn)用三角函數(shù)公式進(jìn)行變換外，還需要了解一些常用的解法和技巧，從而提高解題的效果。 關(guān)鍵詞：三角函數(shù)式 非特殊角 解法 中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-9082（2014）06-0214-01 三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，其中三角函數(shù)的求值問題是三角變換中的一個(gè)重要內(nèi)容，主要有三種類型，即非特殊角的三角函數(shù)式求值、未知角的三角函數(shù)式求值、解三角形求值，解決這類問題，需要熟練掌握三角函數(shù)的

2、公式及其變形，同時(shí)還需要運(yùn)用一定的方法和技巧，才能迅速、準(zhǔn)確的化簡(jiǎn)求值。本文主要例析幾道題的解法，來體會(huì)非特殊角的三角函數(shù)式求值的常用策略。 一、消 如果三角函數(shù)式為整式，通過認(rèn)真分析題設(shè)條件，利用三角函數(shù)公式進(jìn)行變換，盡量減少角的種類，往往可“消”去非特殊角的三角函數(shù)。 例1.（2006江蘇） _ 解析：原式 二、約 如果三角函數(shù)式為分式，或者通過“切割化弦”化為分式，通過分析題設(shè)條件，挖掘非特殊角和某特殊角的聯(lián)系，向特殊角轉(zhuǎn)化，然后通過三角函數(shù)公式進(jìn)行變換后，分式上下可以“約”去公因式。 例2.（2013重慶理） （ ） A. B. C. D. 解析：原式 三、配 如果三角函數(shù)式的外形和三

3、角函數(shù)公式比較“相似”，則可以通過分析式子的結(jié)構(gòu)，將部分非特殊角的三角函數(shù)式“配”成公式，再進(jìn)行化簡(jiǎn)。對(duì)所學(xué)的三角函數(shù)公式，我們不僅要會(huì)正用，還要會(huì)逆用和變形使用。 例3.求 的值。 解析： ， 原式 四、降次 如果遇到高次的非特殊角的三角函數(shù)式的求值問題，先認(rèn)真分析式子的結(jié)構(gòu)，再用： ， ， ， 等降次公式進(jìn)行化簡(jiǎn)。 例4.求 的值。 解析：原式 五、構(gòu)造互余對(duì)偶式 在非特殊角的三角函數(shù)式的求值中，若能運(yùn)用對(duì)偶的數(shù)學(xué)思想，恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造出互余對(duì)偶式，并將其與原式進(jìn)行和、差或積的運(yùn)算，往往能巧妙地化簡(jiǎn)。這樣不僅能提高解題速度，開闊學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還能從中感受到數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美。

4、 例5.求 的值。 解析：設(shè) ，構(gòu)造互余對(duì)偶式 所以 又因?yàn)?，故 ， 。 即 。 六、構(gòu)造三角形 數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，“數(shù)”與“形”以及它們的聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)研究永恒的主題。數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的思想方法之一，它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個(gè)方面。著名數(shù)學(xué)大師華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”，這句話也足以說明其絕妙之處。通過構(gòu)造三角形，從“數(shù)”與“形”兩方面對(duì)三角函數(shù)問題進(jìn)行研究，既充分發(fā)揮形的直觀性，又充分體現(xiàn)數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性，是優(yōu)化解題過程的重要途徑之一。 例6.（2013重慶理） （ ） A. B. C. D. 解析：如圖1，構(gòu)造直角三角形ABC，使 ， ， ， ，則 。 在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，使 ，則 ， ， 。在三角形 中，由正弦定理得： 非特殊角的三角函數(shù)式的求值，需要熟悉三角函數(shù)同角的基本關(guān)系式、倍角公式、兩角和、差公式、輔助角公式等基本公式的基礎(chǔ)上，巧妙地利用轉(zhuǎn)化、對(duì)偶、數(shù)形結(jié)合等常用的數(shù)學(xué)思想，加上一些適當(dāng)?shù)慕忸}技巧