線性代數(shù)總結(jié)

1、線性代數(shù)總結(jié) 轉(zhuǎn)貼 2008-05-04 13:04:49    字號(hào)：大 中 小    線性代數(shù)總結(jié) 一、課程特點(diǎn)     特點(diǎn)一：知識(shí)點(diǎn)比較細(xì)碎。如矩陣部分涉及到了各種類(lèi)型的性質(zhì)和關(guān)系，記憶量大而且容易混淆的地方較多。特點(diǎn)二：知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系性很強(qiáng)。這種聯(lián)系不僅僅是指在后面幾章中用到前兩章行列式和矩陣的相關(guān)知識(shí)，更重要的是在于不同章節(jié)中各種性質(zhì)、定理、判定法則之間有著相互推導(dǎo)和前后印證的關(guān)系。復(fù)習(xí)線代時(shí)，要做到“融會(huì)貫通”。“融會(huì)”設(shè)法找到不同知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在相通之處；“貫通”掌握前后知識(shí)點(diǎn)之間的順承關(guān)

2、系。 二、行列式與矩陣 第一章行列式、第二章矩陣是線性代數(shù)中的基礎(chǔ)章節(jié)，有必要熟練掌握。行列式的核心內(nèi)容是求行列式，包括具體行列式的計(jì)算和抽象行列式的計(jì)算，其中具體行列式的計(jì)算又有低階和 階兩種類(lèi)型；主要方法是應(yīng)用行列式的性質(zhì)及按行列展開(kāi)定理化為上下三角行列式求解。對(duì)于抽象行列式的求值，考點(diǎn)不在求行列式，而在于 、 、 等的相關(guān)性質(zhì)，及性質(zhì) （其中 為矩陣 的特征值）。矩陣部分出題很靈活，頻繁出現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)包括矩陣運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)律、 、 、 的性質(zhì)、矩陣可逆的判定及求逆、矩陣的秩的性質(zhì)、初等矩陣的性質(zhì)等。 三、向量與線性方程組 向量與線性方程組是整個(gè)線性代數(shù)

3、部分的核心內(nèi)容。相比之下，行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問(wèn)題而做鋪墊的基礎(chǔ)性章節(jié)；后兩章特征值、特征向量、二次型的內(nèi)容則相對(duì)獨(dú)立，可以看作是對(duì)核心內(nèi)容的擴(kuò)展。向量與線性方程組的內(nèi)容聯(lián)系很密切，很多知識(shí)點(diǎn)相互之間都有或明或暗的相關(guān)性。復(fù)習(xí)這兩部分內(nèi)容最有效的方法就是徹底理順諸多知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，因?yàn)檫@樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時(shí)也是熟練掌握和靈活運(yùn)用的前提。解線性方程組可以看作是出發(fā)點(diǎn)和目標(biāo)。線性方程組（一般式）還具有兩種形式：（）矩陣形式 ，其中， ， （）向量形式 ，其中,  向量就這樣被引入了。1）齊次線性方程組與線性相關(guān)、無(wú)關(guān)的聯(lián)系齊次線性

4、方程組 可以直接看出一定有解，因?yàn)楫?dāng) 時(shí)等式一定成立；印證了向量部分的一條性質(zhì)“零向量可由任何向量線性表示”。齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：有唯一零解；有非零解。當(dāng)齊次線性方程組有唯一零解時(shí)，是指等式 中的 只能全為0才能使等式成立，而當(dāng)齊次線性方程組有非零解時(shí)，存在不全為0的 使上式成立；但向量部分中判斷向量組 是否線性相關(guān)無(wú)關(guān)的定義也正是由這個(gè)等式出發(fā)的。故向量與線性方程組在此又產(chǎn)生了聯(lián)系：齊次線性方程組 是否有非零解對(duì)應(yīng)于系數(shù)矩陣 的列向量組是否線性相關(guān)。可以設(shè)想線性相關(guān)無(wú)關(guān)的概念就是為了更好地討論線性方程組問(wèn)題而提出的。2）齊次線性方程組的解與秩和極大無(wú)關(guān)組的聯(lián)系同樣可以認(rèn)

5、為秩是為了更好地討論線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)而引入的。秩的定義是“極大線性無(wú)關(guān)組中的向量個(gè)數(shù)”，向量組 組成的矩陣 有 說(shuō)明向量組的極大線性無(wú)關(guān)組中有 個(gè)向量，即 線性無(wú)關(guān)，也即等式 只有零解。所以，經(jīng)過(guò)“秩 線性相關(guān)無(wú)關(guān) 線性方程組解的判定” 的邏輯鏈條，由 就可以判定齊次方程組 只有零解。當(dāng) 時(shí)， 的列向量組 線性相關(guān)，此時(shí)齊次線性方程組 有非零解，且齊次線性方程組 的解向量可以通過(guò) 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量（基礎(chǔ)解系）線性表示。3）非齊次線性方程組與線性表示的聯(lián)系非齊次線性方程組 是否有解對(duì)應(yīng)于向量 是否可由 的列向量組 線性表示，即使等式 成立的一組數(shù) 就是非齊次線性方程組 的解。當(dāng)非齊次線性方程

6、組 滿足 時(shí)，它有唯一解。這一點(diǎn)也正好印證了一個(gè)重要定理：“若 線性無(wú)關(guān)，而 線性相關(guān)，則向量 可由向量組 線性表示，且表示方法唯一”。性質(zhì)1.對(duì)于方陣 有：    方陣 可逆ó ó 的行列向量組均線性無(wú)關(guān)ó ó 可由克萊姆法則判斷有唯一解，而 僅有零解對(duì)于一般矩陣 則有：ó 的列向量組線性無(wú)關(guān)         ó 僅有零解， 有唯一解（如果有解）性質(zhì)2齊次線性方程組 是否有非零解對(duì)應(yīng)于系數(shù)矩陣 的列向量組是否線性相關(guān)，而非齊

7、次線性方程組 是否有解對(duì)應(yīng)于 是否可以由 的列向量組線性表出。以上兩條性質(zhì)可視為是將線性相關(guān)、行列式、秩、線性方程組幾部分知識(shí)聯(lián)系在一起的橋梁。    應(yīng)記住的一些性質(zhì)與結(jié)論1向量組線性相關(guān)的有關(guān)結(jié)論：1）向量組 線性相關(guān)ó向量組中至少存在一個(gè)向量可由其余 個(gè)向量線性表出。2）向量組線性無(wú)關(guān)ó向量組中沒(méi)有一個(gè)向量可由其余的向量線性表出。   3）若 線性無(wú)關(guān)，而 線性相關(guān)，則向量 可由向量組 線性表示，且表示法唯一。2向量組線性表示與等價(jià)的有關(guān)結(jié)論：1） 一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組不可能由一個(gè)所含向量個(gè)數(shù)比它少的向量組線性表示。2

8、） 如果向量組 可由向量組 線性表示，則有3） 等價(jià)的向量組具有相同的秩，但不一定有相同個(gè)數(shù)的向量；4） 任何一個(gè)向量組都與它的極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)。3常見(jiàn)的線性無(wú)關(guān)組：1） 齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；2） 、 、 這樣的單位向量組；3） 不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。4關(guān)于秩的一些結(jié)論：1） ；2） ；3） ；4） ；5）若有 、 滿足 ，則 ；6）若 是可逆矩陣則有 ；7）若 可逆則有 ；8） 。4線性方程組的解：1） 非齊次線性方程組 有唯一解則對(duì)應(yīng)齊次方程組 僅有零解；2）若 有無(wú)窮多解則 有非零解；3）若 有兩個(gè)不同的解則 有非零解；4）若 是 矩陣而 則 一定有解，而且當(dāng) 時(shí)有唯一解

9、，當(dāng) 時(shí)有無(wú)窮多解；5）若 則 沒(méi)有解或有唯一解。 四、特征值與特征向量 相對(duì)于前兩章來(lái)說(shuō)，本章不是線性代數(shù)這門(mén)課的理論重點(diǎn)，但卻是一個(gè)考試重點(diǎn)。其原因是解決相關(guān)題目要用到線代中的大量?jī)?nèi)容既有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關(guān)，“牽一發(fā)而動(dòng)全身”。本章知識(shí)要點(diǎn)如下：1特征值和特征向量的定義及計(jì)算方法就是記牢一系列公式如 、 、 和 。常用到下列性質(zhì)：若 階矩陣 有 個(gè)特征值 ，則有 ；若矩陣 有特征值 ，則 、 、 、 、 、 分別有特征值 、 、 、 、 、 ，且對(duì)應(yīng)特征向量等于 所對(duì)應(yīng)的特征向量；2相似矩陣及其性質(zhì)定義式為 ，此時(shí)滿足 、 、 ，并且 、 有相同的特征

10、值。需要區(qū)分矩陣的相似、等價(jià)與合同：矩陣 與矩陣 等價(jià)（ ）的定義式是 ，其中 、 為可逆矩陣，此時(shí)矩陣 可通過(guò)初等變換化為矩陣 ，并有 ；當(dāng) 中的 、 互逆時(shí)就變成了矩陣相似（ ）的定義式，即有 ；矩陣合同的定義是 ，其中 為可逆矩陣。由以上定義可看出等價(jià)、合同、相似三者之間的關(guān)系：若 與 合同或相似則 與 必等價(jià)，反之不成立；合同與等價(jià)之間沒(méi)有必然聯(lián)系。3矩陣可相似對(duì)角化的條件包括兩個(gè)充要條件和兩個(gè)充分條件。充要條件1是 階矩陣 有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；充要條件2是 的任意 重特征根對(duì)應(yīng)有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；充分條件1是 有 個(gè)互不相同的特征值；充分條件2是 為實(shí)對(duì)稱矩陣。4實(shí)對(duì)稱矩

11、陣及其相似對(duì)角化階實(shí)對(duì)稱矩陣 必可正交相似于對(duì)角陣 ，即有正交矩陣 使得 ，而且正交矩陣 由 對(duì)應(yīng)的 個(gè)正交的單位特征向量組成?？梢哉J(rèn)為討論矩陣的相似對(duì)角化是為了方便求矩陣的冪：直接相乘來(lái)求 比較困難；但如果有矩陣 使得 滿足 （對(duì)角矩陣）的話就簡(jiǎn)單多了，因?yàn)榇藭r(shí)而對(duì)角陣 的冪 就等于 ，代入上式即得 。引入特征值和特征向量的概念是為了方便討論矩陣的相似對(duì)角化。因?yàn)?，不但判斷矩陣的相似?duì)角化時(shí)要用到特征值和特征向量，而且 中的 、 也分別是由 的特征向量和特征值決定的。 五、二次型 本章所講的內(nèi)容從根本上講是第五章特征值和特征向量的一個(gè)延伸，因?yàn)榛涡蜑闃?biāo)準(zhǔn)型的核心知識(shí)為

12、“對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣 存在正交矩陣 使得 可以相似對(duì)角化”，其過(guò)程就是上一章相似對(duì)角化在 為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí)的應(yīng)用。本章知識(shí)要點(diǎn)如下：1二次型及其矩陣表示。2用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。3正負(fù)定二次型的判斷與證明。標(biāo)簽: 線性代數(shù)總結(jié)   .  學(xué)習(xí)線性代數(shù)總結(jié)2009年06月14日 星期日 上午 11:12學(xué)習(xí)線性代數(shù)總結(jié)                    &

13、#160;                                       線性代數(shù)與數(shù)理統(tǒng)計(jì)已經(jīng)學(xué)完了，但我認(rèn)為我們的學(xué)習(xí)并沒(méi)有因此而結(jié)束。我們應(yīng)該總結(jié)一下這門(mén)課程的學(xué)習(xí)的方法，并能為我們以后的學(xué)習(xí)和工作提

14、供方法。這門(mén)課程的學(xué)習(xí)目標(biāo)：線性代數(shù)是物理系等專業(yè)的一門(mén)重要的基礎(chǔ)課，其主要任務(wù)是使學(xué)生獲得線性代數(shù)的基本思想方法和行列式、線性方程組、矩陣論、二次型、線性空間、線性變換等方面 的系統(tǒng)知識(shí)，它一方面為后繼課程（如離散數(shù)學(xué)、計(jì)算方法、等課程）提供一些所需的基礎(chǔ)理論和知識(shí)；另一方面還對(duì)提高學(xué)生的思維能力，開(kāi)發(fā)學(xué)生智能、加強(qiáng)“三基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本理論、基本理論）及培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造型能力，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力等重要作用。同時(shí)隨著計(jì)算機(jī)及其應(yīng)用技術(shù)的飛速發(fā)展，很多實(shí)際問(wèn)題得以離散化而得到定量的解決。作為離散化和數(shù)值計(jì)算理論基礎(chǔ)的線性代數(shù)，為解決實(shí)際問(wèn)題提供了強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。 我總結(jié)了線性代數(shù)

15、的一些學(xué)習(xí)方法，可能有的同學(xué)會(huì)認(rèn)為這已經(jīng)為時(shí)過(guò)晚，但我不這么認(rèn)為。從這門(mén)課程中，我們學(xué)會(huì)的不僅僅是線性代數(shù)的一些相關(guān)知識(shí)（行列式、線性方程組、矩陣論、二次型、線性空間、線性變換等方面的系統(tǒng)知識(shí)），更重要的是，從這門(mén)課程中我們應(yīng)該掌握一種很重要的思想學(xué)習(xí)如何去使用工具的方法。這個(gè)工具狹隘的講是線性代數(shù)這門(mén)數(shù)學(xué)知識(shí)，但從廣義地說(shuō)：這個(gè)工具應(yīng)該是生活中的一切工具（如電腦軟件的學(xué)習(xí)方法、機(jī)器的操作方法、科學(xué)調(diào)查方法等）。在這門(mén)課程給我的感觸就是：這門(mén)課告訴我們?nèi)绾稳W(xué)知識(shí)的方法。 我認(rèn)為：學(xué)習(xí)任何一門(mén)知識(shí)的方法是： 一、       

16、;      明確我們要學(xué)習(xí)什么知識(shí)或者要掌握哪些方面的技能。 只能我們明白我們自己要學(xué)習(xí)什么之后，我們才會(huì)有動(dòng)力去學(xué)習(xí)，在我們的大學(xué)里，有些同學(xué)不明白學(xué)習(xí)課本知識(shí)有何作用，認(rèn)為學(xué)習(xí)與不學(xué)習(xí)沒(méi)有什么區(qū)別，或者認(rèn)為學(xué)習(xí)課本知識(shí)沒(méi)有多大的作用，就干脆不學(xué)（當(dāng)然我在這里沒(méi)有貶低任何人的意思）。不過(guò)我認(rèn)為學(xué)習(xí)好自己的專業(yè)的知識(shí)，掌握專業(yè)技能是每個(gè)大學(xué)生的天職。 二、             知道知識(shí)是什么，了解相關(guān)知識(shí)的概念和定義。

17、這是學(xué)習(xí)的一切學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，只有把握這個(gè)環(huán)節(jié)，我們的學(xué)習(xí)實(shí)踐活動(dòng)才能得以開(kāi)展，知識(shí)是人類(lèi)高度概括、總結(jié)的經(jīng)驗(yàn)，不可能像平常說(shuō)話那么通俗易懂。所以我們要想把知識(shí)學(xué)好，就得在概念上下功夫。例線性代數(shù)這門(mén)課程中的實(shí)二次型，那我們首先得非常清楚的知到，什么叫做實(shí)二次型。否則這一塊的知識(shí)沒(méi)有辦法開(kāi)展。 三、             要知到我們學(xué)的知識(shí)可以用到何處，或者能幫我們解決什么問(wèn)題。 其實(shí)這一點(diǎn)和第一點(diǎn)有點(diǎn)重復(fù)。但是對(duì)于我們的課本知識(shí)非常得有用，因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在所學(xué)的課本知識(shí)。說(shuō)句實(shí)在

18、話，我們確實(shí)不知到能為我們生活中能解決什么問(wèn)題，但如果我們知到它能用到何處，相信將來(lái)一定會(huì)有用。有一句話說(shuō)得好，書(shū)到用時(shí)方恨少，說(shuō)得是這個(gè)道理?？傊覀儸F(xiàn)在要為以后遇到問(wèn)題而積累解決問(wèn)題的方法，我們現(xiàn)在是在為以后的人生在打基礎(chǔ)。 四、             學(xué)習(xí)相關(guān)概念后，要學(xué)會(huì)如何去操作。 像線性代數(shù)這門(mén)課程，在這一點(diǎn)就體現(xiàn)得很突出。如在我們學(xué)習(xí)正交矩陣這個(gè)概念后，我們得要學(xué)會(huì)如何去求正交矩陣；再如，當(dāng)我們認(rèn)識(shí)了矩陣的對(duì)角化定義之后，我們得掌握如何去將一個(gè)矩陣對(duì)角化。其

19、實(shí)，就是學(xué)會(huì)如何去操作，這是我們掌握數(shù)學(xué)工具的使用方法的重要途徑，所以這部分的工作是我們的學(xué)習(xí)中心和重點(diǎn)。只有掌握了這部分，我們才能在以后學(xué)習(xí)或者生活中遇到相似的問(wèn)題，就有了這個(gè)工具去為我們解決實(shí)際的問(wèn)題。 五、             將所學(xué)習(xí)的知識(shí)反作用于生活（即將所學(xué)的知識(shí)用到實(shí)處）。 這才是我們學(xué)習(xí)的真正目的所在。一個(gè)人的解決問(wèn)題的能力應(yīng)該和他所掌握的知識(shí)成正比。學(xué)之所用才叫學(xué)到實(shí)處，才能發(fā)揮真正學(xué)習(xí)的作用。記得這個(gè)給我印象最深的是：在我們學(xué)C+編程時(shí)，有一道題是講的

20、是用一百元錢(qián)去買(mǎi)母雞、公雞、小雞。母雞5元錢(qián)一只，公雞3元錢(qián)一只，小雞3只一元，并且母雞、公雞、小雞的總數(shù)為一百只，求有多少種可能。 這其實(shí)就是一道最簡(jiǎn)單的線性代數(shù)題了，設(shè)x代表小雞，y代表公雞，z代表母雞：則根據(jù)題意有線性方程組 x3+3y+5z=100 x+y+z=100 解此線性方程組得 x=3z/4+75 y=-7z/4+25 z=z 用z作為循環(huán)變量控制，這個(gè)程序不到十行就可以編出來(lái)。這就說(shuō)明學(xué)習(xí)知識(shí)總會(huì)有用的，只要我們?nèi)シe累，只要我們現(xiàn)在把基礎(chǔ)打牢，我相信以后解決問(wèn)題的方法多了，大腦用活了，我們的競(jìng)爭(zhēng)力就強(qiáng)了，自然在社會(huì)上有一席之地。 總之：我個(gè)人覺(jué)得學(xué)習(xí)知識(shí)很有用處。雖然就業(yè)壓力

21、在壓著大家，大家為就業(yè)而奔波，但至少現(xiàn)在找工作不是我們的重點(diǎn)。把我們手頭上的事做好才是最關(guān)鍵，我還是喜歡軍訓(xùn)中我的那個(gè)“胖胖”所說(shuō)的話：“一個(gè)蘿卜，一個(gè)坑”，一步一個(gè)腳印，腳踏實(shí)地。相信我們80年后或90年后的一代能夠擔(dān)任起國(guó)家建設(shè)的重任和使命。 樓主 大 中 小 發(fā)表于 2008-10-10 23:50 只看該作者 線性代數(shù)超強(qiáng)總結(jié).- 關(guān)于 ：稱為 的標(biāo)準(zhǔn)基， 中的自然基，單位坐標(biāo)向量； 線性無(wú)關(guān)； ； ；任意一個(gè) 維向量都可以用 線性表示. 行列式的計(jì)算：      若 都是方陣（不必同階）,則      上

22、三角、下三角行列式等于主對(duì)角線上元素的乘積.     關(guān)于副對(duì)角線： 逆矩陣的求法:                                   方陣的冪的性質(zhì)：       設(shè) ，對(duì) 階矩陣 規(guī)定： 為 的一個(gè)多項(xiàng)式. 設(shè)  的列向量為 , 的列向量

23、為 ， 的列向量為 , 用對(duì)角矩陣 左乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用 的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的行向量；用對(duì)角矩陣 右乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用 的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量. 兩個(gè)同階對(duì)角矩陣相乘只用把對(duì)角線上的對(duì)應(yīng)元素相乘,與分塊對(duì)角陣相乘類(lèi)似,即：   矩陣方程的解法：設(shè)法化成                    當(dāng) 時(shí),               

24、;                           和 同解（ 列向量個(gè)數(shù)相同）,則： 它們的極大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng),從而秩相等；    它們對(duì)應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性；    它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系. 判斷 是 的基礎(chǔ)解系的條件：             

25、0;  線性無(wú)關(guān)；                是 的解；  .        零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實(shí)向量正交.        單個(gè)零向量線性相關(guān)；單個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān).        部分相關(guān),整體必相關(guān)；整體無(wú)關(guān),部分必?zé)o關(guān).        原向量組

26、無(wú)關(guān),接長(zhǎng)向量組無(wú)關(guān)；接長(zhǎng)向量組相關(guān),原向量組相關(guān).        兩個(gè)向量線性相關(guān) 對(duì)應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無(wú)關(guān).        向量組 中任一向量   都是此向量組的線性組合.        向量組 線性相關(guān) 向量組中至少有一個(gè)向量可由其余 個(gè)向量線性表示.向量組 線性無(wú)關(guān) 向量組中每一個(gè)向量 都不能由其余 個(gè)向量線性表示.         維列向量組 線性相關(guān) ； 

27、   維列向量組 線性無(wú)關(guān) .         .        若 線性無(wú)關(guān)，而 線性相關(guān),則 可由 線性表示,且表示法惟一.?        矩陣的行向量組的秩等于列向量組的秩.階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù).?        矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關(guān)系.   矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行向量間的線性關(guān)系.向量組等價(jià) 

28、60;和 可以相互線性表示.  記作： 矩陣等價(jià)  經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為 .  記作： ?        矩陣 與 等價(jià)  作為向量組等價(jià),即：秩相等的向量組不一定等價(jià).矩陣 與 作為向量組等價(jià)    矩陣 與 等價(jià).?        向量組 可由向量組 線性表示    .?        向量組 可由向量組 線性表示,且 ，則 線性相關(guān).向量組 線性無(wú)關(guān)

29、,且可由 線性表示,則 .?        向量組 可由向量組 線性表示,且  ,則兩向量組等價(jià)；?        任一向量組和它的極大無(wú)關(guān)組等價(jià).?        向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià),且這兩個(gè)組所含向量的個(gè)數(shù)相等.?        若兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組等價(jià),則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等.?        若 是 矩陣,則 ,若 ， 的行向量線性無(wú)關(guān)；  &

30、#160;                                 若 ， 的列向量線性無(wú)關(guān),即：線性無(wú)關(guān).線性方程組的矩陣式                            

31、   向量式                               矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：         矩陣可逆的性質(zhì)：         伴隨矩陣的性質(zhì)：         線性方程組解的性質(zhì)： 設(shè) 為 矩陣

32、,若 ,則 ,從而 一定有解.           當(dāng) 時(shí),一定不是唯一解. ,則該向量組線性相關(guān).            是 的上限. 矩陣的秩的性質(zhì)：                              

33、60;                                                               

34、60;          且 在矩陣乘法中有左消去律:                                標(biāo)準(zhǔn)正交基  個(gè) 維線性無(wú)關(guān)的向量,兩兩正交,每個(gè)向量長(zhǎng)度為1.   .是單位向量  . 內(nèi)積的性質(zhì)： 

35、0; 正定性：                   對(duì)稱性： 雙線性：                                   施密特   線性無(wú)關(guān),      

36、60;                                              單位化：           正交矩陣   .  是正交矩陣的充要條件：

37、 的 個(gè)行（列）向量構(gòu)成 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基. 正交矩陣的性質(zhì)：  ；  ；  是正交陣,則 （或 ）也是正交陣； 兩個(gè)正交陣之積仍是正交陣； 正交陣的行列式等于1或-1.的特征矩陣   .的特征多項(xiàng)式   .的特征方程   .            上三角陣、下三角陣、對(duì)角陣的特征值就是主對(duì)角線上的 各元素. 若 ,則 為 的特征值,且 的基礎(chǔ)解系即為屬于 的線性無(wú)關(guān)的特征向量.  &#

38、160;         若 ,則 一定可分解為 = 、 ,從而 的特征值為： ,     . 若 的全部特征值 ， 是多項(xiàng)式,則:  的全部特征值為 ； 當(dāng) 可逆時(shí), 的全部特征值為 ,               的全部特征值為 .    與 相似      （ 為可逆陣）  

39、0; 記為：   相似于對(duì)角陣的充要條件： 恰有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量. 這時(shí), 為 的特征向量拼成的矩陣， 為對(duì)角陣,主對(duì)角線上的元素為 的特征值.  可對(duì)角化的充要條件：       為 的重?cái)?shù). 若 階矩陣 有 個(gè)互異的特征值,則 與對(duì)角陣相似.與 正交相似      （ 為正交矩陣） 相似矩陣的性質(zhì)：     若 均可逆        （ 為整數(shù)）  

40、;,從而 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即: 是 關(guān)于 的特征向量, 是 關(guān)于 的特征向量.       從而 同時(shí)可逆或不可逆     數(shù)量矩陣只與自己相似. 對(duì)稱矩陣的性質(zhì)：                特征值全是實(shí)數(shù),特征向量是實(shí)向量；                與對(duì)角矩陣合同； 不同特征值的特征向

41、量必定正交；  重特征值必定有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量； 必可用正交矩陣相似對(duì)角化（一定有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量, 可能有重的特征值,重?cái)?shù)= ）.可以相似對(duì)角化   與對(duì)角陣 相似.  記為：   （稱 是 的相似標(biāo)準(zhǔn)型） 若 為可對(duì)角化矩陣,則其非零特征值的個(gè)數(shù)（重?cái)?shù)重復(fù)計(jì)算） . 設(shè) 為對(duì)應(yīng)于 的線性無(wú)關(guān)的特征向量,則有：. 若 ,  ,則： . 若 ,則 , .二次型        為對(duì)稱矩陣    &

42、#160;與 合同   .     記作：   （ ） 兩個(gè)矩陣合同的充分必要條件是：它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù). 兩個(gè)矩陣合同的充分條件是： 兩個(gè)矩陣合同的必要條件是：   經(jīng)過(guò)  化為 標(biāo)準(zhǔn)型. 二次型的標(biāo)準(zhǔn)型不是惟一的,與所作的正交變換有關(guān),但系數(shù)不為零的個(gè)數(shù)是由  惟一確定的. 當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù) 為1，-1或0時(shí),則為規(guī)范形 . 實(shí)對(duì)稱矩陣的正（負(fù)）慣性指數(shù)等于它的正（負(fù)）特征值的個(gè)數(shù). 任一實(shí)對(duì)稱矩陣 與惟一對(duì)角陣 合同. 用正交變換法化二次型為標(biāo)

43、準(zhǔn)形:        求出 的特征值、特征向量；        對(duì) 個(gè)特征向量單位化、正交化；        構(gòu)造 （正交矩陣）, ；        作變換 ,新的二次型為 , 的主對(duì)角上的元素 即為 的特征值.正定二次型   不全為零， .正定矩陣  正定二次型對(duì)應(yīng)的矩陣. 合同變換不改變二次型的正定性. 成為正定矩陣的充要條件（之一成立）：       

44、 正慣性指數(shù)為 ；         的特征值全大于 ；         的所有順序主子式全大于 ；         合同于 ，即存在可逆矩陣 使 ；        存在可逆矩陣 ，使      （從而 ）；        存在正交矩陣，使     （ 大于 ）

45、. 成為正定矩陣的必要條件：   ；  . bb s.k ao      y a n . c om內(nèi)容相互縱橫交錯(cuò) 線性代數(shù)復(fù)習(xí)小結(jié)概念多、定理多、符號(hào)多、運(yùn)算規(guī)律多、內(nèi)容相互縱橫交錯(cuò)，知識(shí)前后緊密聯(lián)系是線性代數(shù)課程的特點(diǎn)，故考生應(yīng)充分理解概念，掌握定理的條件、結(jié)論、應(yīng)用，熟悉符號(hào)意義，掌握各種運(yùn)算規(guī)律、計(jì)算方法，并及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，抓聯(lián)系，使學(xué)知識(shí)能融會(huì)貫通，舉一反三，根據(jù)考試大綱的要求，這里再具體指出如下： 行列式的重點(diǎn)是計(jì)算，利用性質(zhì)熟練準(zhǔn)確的計(jì)算出行列式的值。 矩陣中除可

46、逆陣、伴隨陣、分塊陣、初等陣等重要概念外，主要也是運(yùn)算，其運(yùn)算分兩個(gè)層次，一是矩陣的符號(hào)運(yùn)算，二是具體矩陣的數(shù)值運(yùn)算。例如在解矩陣方程中，首先進(jìn)行矩陣的符號(hào)運(yùn)算，將矩陣方程化簡(jiǎn)，然后再代入數(shù)值，算出具體的結(jié)果，矩陣的求逆（包括簡(jiǎn)單的分塊陣）（或抽象的，或具體的，或用定義，或是用公式 A -1= 1 A*，或 A用初等行變換），A和A*的關(guān)系，矩陣乘積的行列式，方陣的冪等也是?？嫉膬?nèi)容之一。 關(guān)于向量，證明（或判別）向量組的線性相關(guān)（無(wú)關(guān)），線性表出等問(wèn)題的關(guān)鍵在于深刻理解線性相關(guān)（無(wú)關(guān)）的概念及幾個(gè)相關(guān)定理的掌握，并要注意推證過(guò)程中邏輯的正確性及反證法的使用。 向量組的極大無(wú)關(guān)組，等價(jià)向量組，

47、向量組及矩陣的秩的概念，以及它們相互關(guān)系也是重點(diǎn)內(nèi)容之一。用初等行變換是求向量組的極大無(wú)關(guān)組及向量組和矩陣秩的有效方法。 在 Rn中，基、坐標(biāo)、基變換公式，坐標(biāo)變換公式，過(guò)渡矩陣，線性無(wú)關(guān)向量組的標(biāo)準(zhǔn)正交化公式，應(yīng)該概念清楚，計(jì)算熟練，當(dāng)然在計(jì)算中列出關(guān)系式后，應(yīng)先化簡(jiǎn)，后代入具體的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算。 行列式、矩陣、向量、方程組是線性代數(shù)的基本內(nèi)容，它們不是孤立隔裂的，而是相互滲透，緊密聯(lián)系的，例如 ?OA?O0=A是可逆陣=r（A）=n(滿秩陣)=A的列（行）向量組線性無(wú)關(guān)=AX=0唯一零解=AX=b對(duì)任何b均有（唯一）解=A=P1 P2 PN，其中PI(I=1,2,，N)是初等陣=r(AB)=

48、r(B)<=>A初等行變換 I=A的列（行）向量組是Rn的一個(gè)基=A可以是某兩個(gè)基之間的過(guò)渡矩陣等等。這種相互之間的聯(lián)系綜合命題創(chuàng)造了條件，故對(duì)考生而言，應(yīng)該認(rèn)真總結(jié)，開(kāi)拓思路，善于分析，富于聯(lián)想使得對(duì)綜合的，有較多彎道的試題也能順利地到達(dá)彼岸。 關(guān)于特征值、特征向量。一是要會(huì)求特征值、特征向量，對(duì)具體給定的數(shù)值矩陣，一般用特征方程 ?OE-A?O=0及（E-A）=0即可，抽象的由給定矩陣的特征值求其相關(guān)矩陣的特征值（的取值范圍），可用定義A=，同時(shí)還應(yīng)注意特征值和特征向量的性質(zhì)及其應(yīng)用，二是有關(guān)相似矩陣和相似對(duì)角化的問(wèn)題，一般矩陣相似對(duì)角化的條件。實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化及正交變換

49、相似于對(duì)角陣，反過(guò)來(lái)，可由A 的特征值，特征向量來(lái)確不定期A的參數(shù)或確定A，如果A是實(shí)對(duì)稱陣，利用不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交，有時(shí)還可以由已知1的特征向量確定出2（21）對(duì)應(yīng)的特征向量，從而確定出A。三是相似對(duì)角化以后的應(yīng)用，在線性代數(shù)中至少可用來(lái)計(jì)算行列式及An.將二次型表示成矩陣形式，用矩陣的方法研究二次型的問(wèn)題主要有兩個(gè)：一是化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，這主要是正交變換法（這和實(shí)對(duì)稱陣正交相似對(duì)角陣是一個(gè)問(wèn)題的兩種提法），在沒(méi)有其他要求的情況下，用配方法得到標(biāo)準(zhǔn)形可能更方便些；二是二次型的正定性問(wèn)題，對(duì)具體的數(shù)值二次型，一般可用順序主子式是否全部大于零來(lái)判別，而抽象的由給定矩陣的正定性，證明

50、相關(guān)矩陣的正定性時(shí)，可利用標(biāo)準(zhǔn)形，規(guī)范形，特征值等到證明，這時(shí)應(yīng)熟悉二次型正定有關(guān)的充分條件和必要條件。一、注重對(duì)基本概念的理解與把握，正確熟練運(yùn)用基本方法及基本運(yùn)算。 線性代數(shù)的概念很多，重要的有： 代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩(矩陣、向量組、二次型)，等價(jià)(矩陣、向量組)，線性組合與線性表出，線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)，極大線性無(wú)關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，解的結(jié)構(gòu)與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對(duì)角化，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形，正定，合同變換與合同矩陣。 往年常有考生沒(méi)有準(zhǔn)確把握住概念的內(nèi)涵，也沒(méi)有注意相關(guān)概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，導(dǎo)致做題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。 例如

51、，矩陣A(1，2，m)與B(1，2，m)等價(jià)，意味著經(jīng)過(guò)初等變換可由A得到B，要做到這一點(diǎn)，關(guān)鍵是看秩r(A)與r(B)是否相等，而向量組1，2，m與1，2，m等價(jià)，說(shuō)明這兩個(gè)向量組可以互相線性表出，因而它們有相同的秩，但是向量組有相同的秩時(shí)，并不能保證它們必能互相線性表現(xiàn)，也就得不出向量組等價(jià)的信息，因此，由向量組1，2，m與1，2，m等價(jià)，可知矩陣A(1，2，m)與B(1，2，m)等價(jià)，但矩陣A與B等價(jià)并不能保證這兩個(gè)向量組等價(jià)。 又如，實(shí)對(duì)稱矩陣A與B合同，即存在可逆矩陣C使CTACB，要實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，關(guān)鍵是二次型xTAx與xTBx的正、負(fù)慣性指數(shù)是否相同，而A與B相似是指有可逆矩陣P使P

52、-1APB成立，進(jìn)而知A與B有相同的特征值，如果特征值相同可知正、負(fù)慣性指數(shù)相同，但正負(fù)慣性指數(shù)相同時(shí)，并不能保證特征值相同，因此，實(shí)對(duì)稱矩陣ABAB，即相似是合同的充分條件。 線性代數(shù)中運(yùn)算法則多，應(yīng)整理清楚不要混淆，基本運(yùn)算與基本方法要過(guò)關(guān)，重要的有： 行列式(數(shù)字型、字母型)的計(jì)算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無(wú)關(guān)組，線性相關(guān)的判定或求參數(shù)，求基礎(chǔ)解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量(定義法，特征多項(xiàng)式基礎(chǔ)解系法)，判斷與求相似對(duì)角矩陣，用正交變換化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角矩陣(亦即用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形)。 二、注重知識(shí)點(diǎn)的銜接與轉(zhuǎn)換，知識(shí)要成網(wǎng)，

53、努力提高綜合分析能力。 線性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯(cuò)，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)當(dāng)常問(wèn)自己做得對(duì)不對(duì)？再問(wèn)做得好不好？只有不斷地歸納總結(jié)，努力搞清內(nèi)在聯(lián)系，使所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，接口與切入點(diǎn)多了，熟悉了，思路自然就開(kāi)闊了。 例如：設(shè)A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，且AB0，那么用分塊矩陣可知B的列向量都是齊次方程組Ax0的解，再根據(jù)基礎(chǔ)解系的理論以及矩陣的秩與向量組秩的關(guān)系，可以有 r(B)n-r(A)即r(A)r(B)n 進(jìn)而可求矩陣A或B中的一些參數(shù) 再如，若A是n階矩陣可以相似對(duì)角化，那么，用分塊矩陣處理P-1AP可知A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)

54、的特征向量，P就是由A的線性無(wú)關(guān)的特征向量所構(gòu)成，再由特征向量與基礎(chǔ)解系間的聯(lián)系可知此時(shí)若i是ni重特征值，則齊次方程組(iE-A)x0的基礎(chǔ)解系由ni個(gè)解向量組成，進(jìn)而可知秩r(iE-A)n-ni，那么，如果A不能相似對(duì)角化，則A的特征值必有重根且有特征值i使秩r(iE-A)n-ni，若A是實(shí)對(duì)稱矩陣，則因A必能相似對(duì)角化而知對(duì)每個(gè)特征值i必有r(iE-A)n-ni，此時(shí)還可以利用正交性通過(guò)正交矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)相似對(duì)角化。 又比如，對(duì)于n階行列式我們知道： 若A0，則Ax0必有非零解，而Axb沒(méi)有惟一解(可能有無(wú)窮多解，也可能無(wú)解)，而當(dāng)A0時(shí)，可用克萊姆法則求Axb的惟一解； 可用A證明矩陣A是

55、否可逆，并在可逆時(shí)通過(guò)伴隨矩陣來(lái)求A-1； 對(duì)于n個(gè)n維向量1，2，n可以利用行列式A12n是否為零來(lái)判斷向量組的線性相關(guān)性； 矩陣A的秩r(A)是用A中非零子式的最高階數(shù)來(lái)定義的，若r(A)r，則A中r階子式全為0； 求矩陣A的特征值，可以通過(guò)計(jì)算行列式E-A，若0是A的特征值，則行列式0E-A0； 判斷二次型xTAx的正定性，可以用順序主子式全大于零。 凡此種種，正是因?yàn)榫€性代數(shù)各知識(shí)點(diǎn)之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，代數(shù)題的綜合性與靈活性就較大，同學(xué)們整理時(shí)要注重串聯(lián)、銜接與轉(zhuǎn)換。 三、注重邏輯性與敘述表述 線性代數(shù)對(duì)于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過(guò)證明題可以了解考生對(duì)數(shù)學(xué)主要原理、定理的理解與掌握程度，考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力。大家復(fù)習(xí)整理時(shí)，應(yīng)當(dāng)搞清公式、定理成立的條件，不能張冠李戴，同時(shí)還應(yīng)注意語(yǔ)言的敘述表達(dá)應(yīng)準(zhǔn)確、簡(jiǎn)明。 線性代數(shù)中常見(jiàn)的證明題型有： 證A0；證向量組1，2，t的線性相關(guān)性，亦可引伸為證1，2，t是齊次方程組Ax0的基礎(chǔ)解系；證秩的