利用多變量動態(tài)馬爾科夫轉(zhuǎn)移因子模型對我國經(jīng)濟周期波動的經(jīng)驗研究(研究中心)

1、 利用多變量動態(tài)馬爾科夫轉(zhuǎn)移因子模型對我國經(jīng)濟周期波動的經(jīng)驗研究石柱鮮劉俊生吉林大學(xué)數(shù)量經(jīng)濟研究中心吉林大學(xué)商學(xué)院應(yīng)用經(jīng)濟研究所2005年5月16日利用多變量動態(tài)馬爾科夫轉(zhuǎn)移因子模型對我國經(jīng)濟周期波動的經(jīng)驗研究*石柱鮮劉俊生吉林大學(xué)數(shù)量經(jīng)濟研究中心吉林大學(xué)商學(xué)院吉林長春 130012摘要:本文應(yīng)用多變量動態(tài)馬爾科夫轉(zhuǎn)移因子模型對我國1991年1月以來的經(jīng)濟周期波動進行研究。通過選取兩組與經(jīng)濟景氣一致的宏觀經(jīng)濟指標(biāo)進行實證分析,結(jié)果表明多變量動態(tài)馬爾科夫轉(zhuǎn)移因子模型對不同組指標(biāo)的分析是一致的;根據(jù)模型所構(gòu)造出的景氣指數(shù)與一致合成指數(shù)的對比分析,我們發(fā)現(xiàn)這兩個指數(shù)不論從變動趨勢和峰谷轉(zhuǎn)折點,還是波

2、動幅度上都極其相似;通過對經(jīng)濟周期轉(zhuǎn)折點測定,并與我國經(jīng)濟運行狀況對比,我們認為用多變量動態(tài)馬爾科夫轉(zhuǎn)移因子模型刻畫經(jīng)濟周期的特征是有效的。關(guān)鍵字:經(jīng)濟周期協(xié)同運動非對稱性局面轉(zhuǎn)移模型動態(tài)因子模型一、前言自1946年Burns和Mitchell(1946對經(jīng)濟周期的開創(chuàng)性研究以來,許多學(xué)者針對經(jīng)濟周期的度量及其轉(zhuǎn)折點的識別問題進行了大量的研究工作。Burns和Mitchell認為經(jīng)濟周期存在兩個關(guān)鍵的特征:一是經(jīng)濟變量間的協(xié)同運動(Comovement,Lucas(1976強調(diào)由于許多經(jīng)濟部門之間的協(xié)作,導(dǎo)致了部門間產(chǎn)出的協(xié)同運動,并且正是由于變量之間具有協(xié)同運動的特征,因此可以用各種先行、一

3、致和滯后的合成指標(biāo)來度量經(jīng)濟景氣;二是經(jīng)濟周期可以被簡單的區(qū)分為擴張局面和收縮局面,由此定義局面發(fā)生轉(zhuǎn)移的轉(zhuǎn)折點日期,即經(jīng)濟周期的轉(zhuǎn)折點。此后很長一段時間內(nèi),對上述兩個關(guān)鍵特征的實證研究都僅僅關(guān)注經(jīng)濟周期的時間序列特性,并且大都是以線性差分方程作為分析工具,這些研究中不僅忽略了許多變量間的協(xié)同運動,而且只關(guān)注為數(shù)不多的幾個宏觀經(jīng)濟變量,特別是當(dāng)經(jīng)濟變量時間序列存在非對稱性時,線性時間序列模型就存在一定的失誤和偏差。Stock和Watson(1989,1991,1993使用動態(tài)因子模型,通過從一系列宏觀經(jīng)濟序列中得到一個單公因子(single common factor來描述他們之間的協(xié)同運動;

4、Hamilton(1989建立了一個實際GNP 在擴張和收縮局面之間離散轉(zhuǎn)移的非線性模型,刻劃經(jīng)濟景氣在不同局面下的非對稱性特征。然而,不論是動態(tài)因子還是局面轉(zhuǎn)移,都只是孤立地考察協(xié)同運動或局面非對稱的一個方面,Diebold和Rudebusch(1996提出了帶有馬爾科夫局面轉(zhuǎn)移的多變量動態(tài)因子模型(MS-SW模型,將經(jīng)濟周期的這兩大特征綜合到一個框架內(nèi)。但這樣導(dǎo)致模型變得很復(fù)雜,模型求解極其困難,Kim(1994和Kim&Nelson(1998分別提出了近似極大似然估計和Gibbs抽樣方法估計參數(shù),使得MS-SW模型估計成為可能,由此涌現(xiàn)出大量應(yīng)用此類模型對經(jīng)濟周期的實證研究,另外也出現(xiàn)了

5、另外一些的模型求解方法,如Kaufmann(2000利用MCMC(Markov Chain Monte Carlo模擬方法估計模型參數(shù)等。本文應(yīng)用Diebold和Rudebusch(1996提出的MS-SW模型,綜合考慮經(jīng)濟周期協(xié)同運動和非對稱性的兩大特征,利用Kim(1994提出的近似極大似然估計和度量我國的經(jīng)濟周期并識別其轉(zhuǎn)折點。本文共分為四個部分,第二部分為MS-SW模型和算法的簡單描述;第三部分應(yīng)用MS-SW模型,通過選取兩組與經(jīng)濟景氣一致的宏觀經(jīng)濟指標(biāo)對我國經(jīng)濟周期進行實證分析,然后將模型構(gòu)造出的兩個景氣*本論文得到教育部人文社會科學(xué)博士點基金項目我國外匯風(fēng)險預(yù)警模型研究的資助(項目

6、號:03JB790043和教育部人文社會科學(xué)重點研究基地重大課題宏觀金融風(fēng)險形成的微觀機理:數(shù)理模型、計量方法與智能模擬研究項目(項目號為02JAZJD790008的資助。作者簡介:石柱鮮(1947-,男,吉林延吉人,吉林大學(xué)數(shù)量經(jīng)濟研究中心、教授、博士生導(dǎo)師。劉俊生(1980-,男,山西臨汾人,吉林大學(xué)商學(xué)院數(shù)量經(jīng)濟博士研究生。指數(shù)與一致合成指數(shù)進行對比,并基于概率的方法測定了經(jīng)濟周期的轉(zhuǎn)折點,第四部分為結(jié)論。二、MS-SW 模型描述動態(tài)因子模型是Stock 和Watson (1991建立的刻畫一系列宏觀經(jīng)濟變量協(xié)同運動的概率模型,認為很多宏觀經(jīng)濟變量之間的聯(lián)動存在一種共同趨勢成分,即公因子

7、。用it Y 表示第i 個宏觀指標(biāo)的增長率在,1T t 期的變動,用it y 表示it Y 對其均值的偏離,即it it it Y Y y -=,用t c 表示的it y 的公因子成分,it z 表示第i 個宏觀指標(biāo)的異質(zhì)成分,那么第i 個宏觀指標(biāo)的模型就可以表示成: it t rir i i it z c L L y i i+=(10(1tp pt v L L c -+=-111( ,0(.2N d i i v t(2it q iq i it e L L z i i-=-111(,0(.2iit N d i i e (3其中,L 為滯后算子。這樣通過(1-(3式,就將經(jīng)濟指標(biāo)分解為公因子和異

8、質(zhì)因子兩個自回歸過程?，F(xiàn)假設(shè)公因子中的和的取值依賴于不可觀測的二值狀態(tài)變量1,0t s 的實現(xiàn),我們用t s 表示景氣在t 期的局面狀態(tài),0=t s 表示收縮局面;1=t s 表示擴張局面,這樣不同局面狀態(tài)下的和不同,它們的取值取決于t 時期所處的局面狀態(tài),用tS 和tS 表示,這樣將(2式改寫為帶有局面轉(zhuǎn)移的形式:t s t v L c t+=-1( ,0(.ts t N d i i v (4假設(shè)t s 服從一階馬爾科夫過程,那么轉(zhuǎn)移概率ij p 就可表示為: ijt t p i s j s P =-|(1 , =11k ik p如果各期的狀態(tài),(1T Ts s S=已知,那么就可以通過標(biāo)準(zhǔn)

9、的極大似然估計方法使用Kalman 濾波估計上面模型參數(shù),但由于t s 是不可觀測的,只能基于t y 過去信息的條件密度對當(dāng)前t s 進行推斷,這要通過Hamilton 濾波2來計算,而且在每期都會產(chǎn)生有兩個不同的動態(tài)路徑,經(jīng)過t 期累計后,狀態(tài)的路徑將會達到t 2種,使得模型變得不可識別。由于在狀態(tài)空間模型中參數(shù)帶有了局面轉(zhuǎn)移的性質(zhì),標(biāo)準(zhǔn)的Kalman 濾波并不能直接應(yīng)用求解。利用Lam 的一般化Hamilton 模型可以精確的得到極大似然估計結(jié)果,Monte Carlo 試驗也可以得到相對較好的結(jié)果,但是都需要有很高的計算成本。Kim (1994提出的Kim 濾波使用近似極大似然估計來處理

10、,實際上Kim 濾波是Kalman 濾波和Hamilton 濾波的疊加,是在先完成Kalman 濾波之后對p2種狀態(tài)的條件信息近似化簡為2種狀態(tài)的非條件信息以進行Hamilton 濾波。Kim 比較了Lam 和Kim 濾波的結(jié)果,發(fā)現(xiàn)計算量很小的Kim 濾波結(jié)果是Lam 模型很好的近似。Kim 和Yoo (1995中假設(shè)公因子成分中的截距具有狀態(tài)轉(zhuǎn)移性質(zhì),而不是(4式中假設(shè)公因子的均值具有狀態(tài)轉(zhuǎn)移,這樣將(4式改成(5式的截距轉(zhuǎn)移形式:2由于篇幅限制,不對Hamilton 濾波詳述。t s t v c L t+=( ,1,0(.N d i i v t(5這樣Kalman 濾波中只需要考慮22種

11、狀態(tài),狀態(tài)種數(shù)與p 無關(guān)。 通過Kim 濾波我們可以得到公因子t c 的序列,由此可以根據(jù)下面(6式生成一個描述經(jīng)濟景氣波動的指數(shù)t C :+=-t t t c C C 1(6由于Kalman 濾波過程中的穩(wěn)態(tài)增益無法求得,那么只能做近似常數(shù)處理。為了使指數(shù)t C 與一致合成指數(shù)t CI 具有可比性,我們做出如下假設(shè):0CIC =(7CI cCIt t t u c C C -+=/1(8這樣新指標(biāo)t C 和t CI 的差分就具有相同的均值和方差。通過Hamilton 濾波,可以得到各期局面狀態(tài)的統(tǒng)計推斷概率。通常把用直到當(dāng)期的信息來推斷當(dāng)期狀態(tài)的概率稱為濾波概率(filtering proba

12、bility,記為|t t S P ;用直到前一期的信息來推斷當(dāng)期狀態(tài)的概率稱為預(yù)測概率(predicting probability,記為|1-t t S P ;用全部的信息來推斷當(dāng)期的概率稱為平滑概率(smoothing probability,記為|T t S P ,由于平滑概率具有“后驗”的特征,因此本文基于這樣的平滑概率,通過設(shè)定一定的規(guī)則,對經(jīng)濟周期的峰和谷的日期進行測定。三、MS-SW 模型估計和結(jié)果分析(1 指標(biāo)數(shù)據(jù)MS-SW 模型對經(jīng)濟景氣的分析,首先是要選取一組宏觀經(jīng)濟指標(biāo)。根據(jù)模型的要求,指標(biāo)選取應(yīng)考慮以下幾個原則:指標(biāo)應(yīng)與經(jīng)濟景氣變動基本一致、應(yīng)能反映各主要經(jīng)濟活動領(lǐng)域

13、變化,且相互獨立、有一定的代表性。因此,我們選取出兩組一致指標(biāo)以進行模型的對比分析,第一組指標(biāo)(設(shè)為模型A 的組成為:社會需求指數(shù)3、廣義貨幣供應(yīng)量、城鎮(zhèn)居民可支配收入、工業(yè)生產(chǎn)指數(shù),這四個指標(biāo)分別從需求、貨幣、收入、生產(chǎn)四個方面反映了經(jīng)濟領(lǐng)域的變動,這也跟一致合成指數(shù)的構(gòu)成指標(biāo)相同;第二組指標(biāo)(設(shè)為模型B 的組成為:固定資產(chǎn)投資完成額、社會消費品零售額、消費物價指數(shù),工業(yè)增加值,這四個指標(biāo)從投資、消費、物價、生產(chǎn)四個方面反映出經(jīng)濟領(lǐng)域的變動,指標(biāo)選擇都具有相當(dāng)?shù)拇硇?。為了得到指?biāo)增長率去趨勢的平穩(wěn)周期成分,我們對指標(biāo)取對數(shù)差分,然后進行季節(jié)調(diào)整以消除季節(jié)性因素和不規(guī)則因素的影響,得到第i

14、個宏觀指標(biāo)的增長率序列it Y ,進而我們得到it it it Y Y y -=。我們選取從1991年1月到2005年2月的月度數(shù)據(jù)建立MS-SW 模型。圖1是模型所選取各指標(biāo)的序列圖。(2 模型選擇和檢驗 模型中的延遲構(gòu)造,即(1、(3、(5式中參數(shù),(q p r 的確定,主要是根據(jù)BIC 準(zhǔn)則,同時參考AIC 準(zhǔn)則和對數(shù)似然函數(shù)值的大小來決定的。log(,(log 2nT n q p r f L BIC +-=(8其中,(log q p r f L 表示在參數(shù),(q p r 設(shè)定下的對數(shù)似然函數(shù)值,n 為待估參數(shù)的個數(shù),T 為樣本長度。表1 列出了模型在不同參數(shù),(q p r 下的BIC

15、準(zhǔn)則大小:3 表1 由表1,依據(jù)選取最小BIC 值的準(zhǔn)則,我們將模型的參數(shù)設(shè)定為(2,2,2形式,表2列出了模型的參數(shù)估計結(jié)果:表 2圖1a 模型A 選取指標(biāo)序列 圖1b 模型B 選取指標(biāo)序列 21 22 31 32 41 42 0 1 0 1 1 2 3 4 p00 1.52 -0.58 1.60 -0.64 1.58 -0.62 -3.91 2.49 2.81 2.97 0.049 0.274 0.217 0.229 0.9228 0.9411 1 1.63 -0.66 0.28 0.19 1.48 -0.55 -1.98 3.43 2.74 2.40 0.259 0.199 0.866

16、0.001 0.938 0.891 16.15 9.19 485.01 p11 (1 p00 12.96 16.98 701.38 (1 p11 1 對數(shù)似然值 （3）MS-SW 指數(shù)與一致合成指數(shù)比較 根據(jù)文中建立的 MS-SW 模型，我們可以得到公因子成分 ct 序列，再參考 CI 指數(shù)，通過（7）式 計算，得到跟 CI 指數(shù)具有可比性的 MS-SW 指數(shù)，圖 2 是 MS-SW 指數(shù)和 CI 指數(shù)的時間序列圖形。 140 130 120 110 CI 140 130 120 110 CI 100 MS-SW(A 100 MS-SW(B 90 80 91 92 93 94 95 96 97

17、 98 99 00 01 02 03 04 90 80 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 a. MS-SW(A（實線）和 CI（虛線） b. MS-SW(B（實線）和 CI（虛線） 圖 2 實線為 MS-SW 指數(shù)，虛線為 CI 從圖 2a 中可以看出，由構(gòu)成 CI 的一組經(jīng)濟指標(biāo)通過 MS-SW 模型所構(gòu)成的指數(shù)不但從形狀上跟 CI 非常相似，而且曲線的峰和谷在時間點上也都一致；從波動幅度上看，1991 年到 1995 年這兩個指數(shù) 也很一致，1996 年到 2001 年間 MS-SW(A指數(shù)比 CI 稍低，到 2002 年時 MS-SW 指

18、數(shù)幅度再次與 CI 一致。由于人們一般都認為 CI 既可以刻劃經(jīng)濟周期的轉(zhuǎn)折點，又描述了經(jīng)濟周期的波動大小，根據(jù)上 面的結(jié)果分析表明，本文得到的 MS-SW(A指數(shù)描述經(jīng)濟景氣是有效的。經(jīng)檢驗，這兩個指數(shù)的相關(guān)系 6 數(shù)達 0.964。從圖 2b 中可以看出，MS-SW(B指數(shù)跟 CI 曲線無論從變動趨勢還是峰和谷轉(zhuǎn)折點也都很 一致，但 MS-SW(B指數(shù)較 CI 指數(shù)較低，只有到 2002 年之后兩指數(shù)才靠近。經(jīng)檢驗，MS-SW(B指數(shù) 較 CI 指數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)稍小，為 0.914。 MS-SW(A指數(shù)跟 MS-SW(B指數(shù)的差異反映了指標(biāo)選取上的不同，MS-SW 指數(shù)與構(gòu)成指標(biāo)之間 的

19、關(guān)系可以通過相關(guān)系數(shù)反映出來，表 3 列出了 MS-SW 指數(shù)與各組內(nèi)的指標(biāo)間的相關(guān)性： 表3 模型 A 指標(biāo) 構(gòu)成 社會需求指數(shù) M2 居民可支配收入 工業(yè)生產(chǎn)指數(shù) 相關(guān)系數(shù)和 MS-SW 指數(shù)與指標(biāo)間的相關(guān)性 與 MS-SW(A指數(shù) 相關(guān)系數(shù) 0.985 0.691 0.727 0.889 3.292 模型 B 指標(biāo) 構(gòu)成 固定資產(chǎn)投資 消費品零售額 CPI 工業(yè)增加值 相關(guān)系數(shù)和 與 MS-SW(B指數(shù) 相關(guān)系數(shù) 0.779 0.625 0.606 0.997 3.007 從表 3 和表 2 中我們看出，相關(guān)性較大的指標(biāo)，在模型中的參數(shù) 值也相應(yīng)較大；模型 A 的相關(guān) 系數(shù)和要大于模型

20、B 的相關(guān)系數(shù)和，這與參數(shù)估計中模型 A 的對數(shù)似然函數(shù)值大于模型 B 的對數(shù)似然 函數(shù)值的事實一致，因此相比而言，模型 A 要比模型 B 好。這可能是因為：模型 A 用社會需求指數(shù)和 模型 B 用固定資產(chǎn)投資和消費品零售額指標(biāo)均反映了經(jīng)濟中的需求方面，工業(yè)生產(chǎn)指數(shù)和工業(yè)增加值 以及 M2 和 CPI 也都反映了經(jīng)濟中相同方面，但模型 A 中還包含居民可支配收入指標(biāo)，因而獲得了較 好的模型結(jié)果。 （4）經(jīng)濟周期轉(zhuǎn)折點測定 Kim 濾波的結(jié)果也可得到各期處于每個狀態(tài)的條件概率， 本文用平滑概率進行局面判定， 即根據(jù)各 期平滑概率是否大于 0.5，判定景氣局面的狀態(tài)，圖 3 為 MS-SW 模型得

21、到的收縮局面的概率序列。 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 圖 3a. MS-SW(A指數(shù)收縮局面的概率序列 7 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 圖 3b. 面的概率 0.0 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 MS-SW(B指數(shù)收縮局 序列 我 們根據(jù)景氣局面的 判定結(jié)果，對樣本區(qū)間內(nèi)我國經(jīng)濟周期峰和谷的日期進行測定。參考 Layton(1996使用的規(guī)則：假定當(dāng) 前至少已有 5 個連續(xù)時點收縮局面的平滑概率小于 0.5，如果緊接著至少還有

22、 5 個時點的平滑概率大于 0.5，那么最后一個平滑概率小于 0.5 的時點就被確認為谷，反之被確認為峰；本文在此規(guī)則的基礎(chǔ)上， 加入了兩條關(guān)于經(jīng)濟周期的基本約束以作為確認轉(zhuǎn)折點的準(zhǔn)則(董文泉等，1998：(1 要求峰和谷之間 至少持續(xù) 6 個月以上；(2 一個完整周期的持續(xù)時間應(yīng)大于 15 個月。 基于以上判斷峰和谷的規(guī)則，我們將用 MS-SW 模型確認的峰和谷日期及 CI 指數(shù)確認的峰和谷日 期分別列在表 4 中： 表 4 測定經(jīng)濟周期轉(zhuǎn)折點日期的比較 谷日期 CI MS-SW(A MS-SW(B 1991 年 10 月 1994 年 4 月 1994 年 3 月 1996 年 4 月 1

23、998 年 7 月 1998 年 3 月 1998 年 5 月 1998 年 11 月 1999 年 10 月 2000 年 7 月 2001 年 12 月 2001 年 7 月 2001 年 10 月 2004 年 3 月 2000 年 7 月 2004 年 3 月 2000 年 6 月 2003 年 12 月 1993 年 12 月 CI 1993 年 4 月 1994 年 10 月 峰日期 MS-SW(A 1993 年 5 月 1994 年 10 月 1997 年 1 月 MS-SW(B 1993 年 1 月 1994 年 9 月 從表 4 中我們發(fā)現(xiàn)，通過 3 個指數(shù)共同確認的谷有 3

24、 個，峰有 4 個，其中的谷確認之間偏差都在 5 個月以內(nèi)，峰確認之間的偏差都在 3 個月以內(nèi)，表現(xiàn)出 MS-SW 模型結(jié)果的穩(wěn)定性和與一致合成方法結(jié) 果的一致性。然而，模型 A 單獨確認了 1996 年 4 月的谷和 1997 年 1 月的峰，模型 B 單獨確認了 1991 年 10 月的谷，1998 年 11 月的峰和 1999 年 10 月的谷。 從圖 1a 中我們發(fā)現(xiàn)社會需求指數(shù)和 M2 這兩個指標(biāo)都呈現(xiàn)出模型 A 在 1996 年 4 月出現(xiàn)谷和 1997 年 1 月出現(xiàn)峰的特征；圖 1b 中的固定資產(chǎn)投資和工業(yè)增加值這兩個指標(biāo)也呈現(xiàn)出模型 B 在 1991 年 10 月出現(xiàn)谷，19

25、98 年 11 月出現(xiàn)峰和 1999 年 10 月出現(xiàn)谷的特征，結(jié)合表 2 的參數(shù)估計結(jié)果來看，我們又 發(fā)現(xiàn)這些指標(biāo)的估計參數(shù)在模型中貢獻都是較大的， 因此我們認為模型產(chǎn)生的特異性差異是由指標(biāo)選取 上的主觀性及指標(biāo)間的特性差異造成的。 根據(jù) MS-SW（A）指數(shù)的結(jié)果，結(jié)合我國經(jīng)濟景氣的運行狀況，從 1991 年至今，我國經(jīng)濟發(fā)展主 要經(jīng)歷了 8 個階段4：1991 年 1 月到 1993 年 5 月經(jīng)濟的擴張階段，1993 年 6 月到 1994 年 3 月的短收縮 階段，1994 年 4 月到 1994 年 10 月的短擴張階段，1994 年 11 月到 1998 年 3 月的收縮階段，1

26、998 年 4 月到 2000 年 7 月的短擴張階段，2000 年 8 月到 2001 年 7 月的短收縮階段，2001 年 8 月到 2004 年 3 月的擴張階段，2004 年 4 月至今仍處于的收縮階段。從以上分析來看，MS-SW 指數(shù)所反映我國經(jīng)濟景 4 本文采用了 Burns&Mitchell(1946中對經(jīng)濟周期定義中的階段劃分。 8 氣波動基本上與這八個階段一致。 四、結(jié)論 本文應(yīng)用多變量動態(tài)馬爾科夫轉(zhuǎn)移因子模型， 通過選取兩組與經(jīng)濟景氣一致的宏觀經(jīng)濟指標(biāo)對我國 1991 年 1 月以來的經(jīng)濟周期波動進行研究，研究結(jié)果表明：多變量動態(tài)馬爾科夫轉(zhuǎn)移因子模型對不同 組指標(biāo)的分析結(jié)果

27、是一致的； 用模型所構(gòu)造出的景氣指數(shù)描述經(jīng)濟景氣是有效的； 不同組指標(biāo)結(jié)果的差 異反映了指標(biāo)選取的主觀性及指標(biāo)間的特性差異。 因此恰當(dāng)?shù)倪x擇與經(jīng)濟景氣一致的宏觀經(jīng)濟指標(biāo)， 用 多變量動態(tài)馬爾科夫轉(zhuǎn)移因子模型刻畫我國的經(jīng)濟周期特征是有效的。 參考文獻 1. Hamilton, J. D., 1989, “A New Approach to the Economic Analysis of Nonstationary Time Series and the Business Cycle”, Econometrica, 57, 357-384. 2. Layton, A. P. and D. Smi

28、th , 2000, “A Further Note of the Three Phases of the US Business Cycle”, Applied Economics, 32,1133-1143. 3. 4. 5. 6. Kim, C.-J., 1994, “Dynamic Linear Models with Markov-Switching”, Journal of Econometrics, 60, 1-22. Burns, A.F. and W.C. Mitchell, 1946, “Measuring Business Cycles”, NBER. Kim, 1994, “Dynamic Linear Models with Markov-Switching”, Journal of Econometrics, 60, 1-22. Kim, M.-J. and J.-S. Yoo, 1995, “New Index of Coincident Indicato