直線與圓解法

1、高考中數(shù)學(xué)直線和圓的解法1、直線的傾斜角：（1）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角。當(dāng)直線與軸重合或平行時(shí)，規(guī)定傾斜角為0；（2）傾斜角的范圍。如（1）直線的傾斜角的范圍是_（答：）；（2）過(guò)點(diǎn)的直線的傾斜角的范圍值的范圍是_（答：）2、直線的斜率：（1）定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率，即tan(90)；傾斜角為90的直線沒(méi)有斜率；（2）斜率公式：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、的直線的斜率為；（3）直線的方向向量，直線的方向向量與直線的斜率有何關(guān)系？（4）應(yīng)用：證明三點(diǎn)共線： 。提

2、醒：（1）直線的傾斜角一定存在，但斜率不一定存在。（2）直線的傾斜角與斜率的變化關(guān)系：若直線存在斜率k，而傾斜角為，則k=tan.當(dāng)傾斜角是銳角是，斜率k隨著傾斜角的增大而增大。當(dāng)是鈍角時(shí)，k與同增減.（3）斜率的求法：OK 依據(jù)傾斜角：，牢記圖像 依據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)：依據(jù)直線方程：化為斜截式當(dāng)已知k，求傾斜角時(shí)：k0時(shí)，=arctank；k0時(shí)，=+arctank。（4）（你知道如何由直線的方向向量來(lái)求斜率嗎？） 如(1) 兩條直線斜率相等是這兩條直線平行的_條件（答：既不充分也不必要）；（2）實(shí)數(shù)滿足 ()，則的最大值、最小值分別為_(kāi)（答：）3、直線的方程：（1）點(diǎn)斜式：已知直線過(guò)點(diǎn)斜率為，則

3、直線方程為,它不包括垂直于軸的直線。（2）斜截式：已知直線在軸上的截距為和斜率，則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線。（3）兩點(diǎn)式：已知直線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，則直線方程為，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線。（4）截距式：已知直線在軸和軸上的截距為,則直線方程為，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過(guò)原點(diǎn)的直線。（5）一般式：任何直線均可寫成(A,B不同時(shí)為0)的形式。如（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，1）且方向向量為=(1,)的直線的點(diǎn)斜式方程是_（答：）；（2）直線，不管怎樣變化恒過(guò)點(diǎn)_（答：）；（3）若曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是_（答：）提醒：(1)直線方程的各種形式都有局限性.（如點(diǎn)斜式不適用于斜率不存在的直線，

4、還有截距式呢？）；(2)直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0.直線兩截距相等直線的斜率為-1或直線過(guò)原點(diǎn)；直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過(guò)原點(diǎn)；直線兩截距絕對(duì)值相等直線的斜率為或直線過(guò)原點(diǎn)。如過(guò)點(diǎn)，且縱橫截距的絕對(duì)值相等的直線共有_條（答：3）4.設(shè)直線方程的一些常用技巧：（1）知直線縱截距，常設(shè)其方程為；（2）知直線橫截距，常設(shè)其方程為(它不適用于斜率為0的直線)；（3）知直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)斜率存在時(shí)，常設(shè)其方程為，當(dāng)斜率不存在時(shí)，則其方程為；（4）與直線平行的直線可表示為（）；（5）與直線垂直的直線可表示為.（6）已知直線l1：A1x+B1y+C1=0，直線l2：A2x+B2y+C

5、2=0，則方程A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0表示過(guò)l1與l2交點(diǎn)的直線系（不含l2）.不僅可以建立直線方程還可解決直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.提醒：（1）求直線方程的基本思想和方法是恰當(dāng)選擇方程的形式，利用待定系數(shù)法求解。（2）求解直線方程的最后結(jié)果，如無(wú)特別強(qiáng)調(diào)，都應(yīng)寫成一般式.（3）求一個(gè)角的平分線所在的直線方程的方法：法一、利用角的平分線所在的直線的方向向量由頂點(diǎn)坐標(biāo)（含線段端點(diǎn)）或直線方程求得角兩邊的方向向量；求出角平分線的方向向量由點(diǎn)斜式或點(diǎn)向式得出角平分線方程。直線的點(diǎn)向式方程：過(guò)P（），其方向向量為，其方程為法二、利用角平分線定理：法三、利用點(diǎn)到直線的距離公式：設(shè)為角平分

6、線所在直線上的任意一點(diǎn)，通過(guò)到兩邊距離相等而得.5、點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離：（1）點(diǎn)到直線的距離；（2）兩平行線間的距離為。提醒：（1）公式要求直線方程為一般式.（2）求平行直線間的距離時(shí)，一定要把 x、y項(xiàng)系數(shù)化成對(duì)應(yīng)相等的系數(shù).6、直線與直線的位置關(guān)系：（1）平行（斜率）且（在軸上截距）；（2）相交；（3）重合且。提醒：（1） 、僅是兩直線平行、相交、重合的充分不必要條件！為什么？（2）在解析幾何中，研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系時(shí)，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線；（3）直線與直線垂直。如（1）設(shè)直線和，當(dāng)_時(shí)；當(dāng)_時(shí)；當(dāng)_時(shí)與相交；當(dāng)_時(shí)與重

7、合（答：1；3）；（2）已知直線的方程為，則與平行，且過(guò)點(diǎn)（1，3）的直線方程是_（答：）；（3）兩條直線與相交于第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_（答：）；（4）設(shè)分別是ABC中A、B、C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，則直線與的位置關(guān)系是_（答：垂直）；（5）已知點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，是直線外一點(diǎn)，則方程0所表示的直線與的關(guān)系是_（答：平行）；（6）直線過(guò)點(diǎn)（，），且被兩平行直線和所截得的線段長(zhǎng)為9，則直線的方程是_（答：）7.對(duì)稱是平面幾何的基本變換，有關(guān)對(duì)稱的一些結(jié)論 點(diǎn)（，）關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)、直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別是（，），（，），（，），（，） 如何求點(diǎn)A (，）關(guān)于直線Ax+By+C=0的對(duì)稱點(diǎn)?點(diǎn)關(guān)于直線

8、的對(duì)稱點(diǎn)是什么？ 直線Ax+By+C=0關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)、直線y=x的對(duì)稱的直線方程分別是什么，關(guān)于點(diǎn)（，）對(duì)稱的直線方程又是什么？你能用哪些方法來(lái)求一條直線關(guān)于另一條直線的對(duì)稱直線？ 如何處理與光的入射與反射問(wèn)題？8、圓的方程：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：。圓的一般方程：，特別提醒：只有當(dāng)時(shí)，方程才表示圓心為，半徑為的圓（二元二次方程表示圓的充要條件是什么？ （且且）；在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中有三個(gè)參數(shù)；在圓的一般方程中，也有三個(gè)參數(shù)。所以說(shuō)三個(gè)互相獨(dú)立的條件確定一個(gè)圓。在平面幾何中也是熟悉的事實(shí)：不共線的三點(diǎn)唯一地確定一個(gè)圓。確定一個(gè)圓，包括確定圓的位置和大小兩個(gè)方面。圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。又稱圓

9、心是圓的定位條件，半徑是圓的定形條件。圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)），其中圓心為，半徑為。在參數(shù)方程中，當(dāng)為參數(shù)，為常量時(shí)表示一個(gè)圓，有幾何意義；而當(dāng)為參數(shù)，為常量時(shí)，表示一條直線，也有幾何意義。圓的參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元：；。為直徑端點(diǎn)的圓方程過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程設(shè)圓，圓有公共點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)圓和圓的公共點(diǎn)的圓系方程為：（其中為參數(shù)，方程不包括圓。）在有些問(wèn)題中需檢驗(yàn)圓是否也為所求；當(dāng)時(shí)，該方程是一條直線的方程，此直線就是兩圓的公共弦所在直線。3. 過(guò)直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程設(shè)直線與圓有公共點(diǎn)，則過(guò)其交點(diǎn)的圓系方程為。如（1）圓C與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓C的方程為_(kāi)（答：）；（2）圓心在直線上，且與

10、兩坐標(biāo)軸均相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_（答：或）；（3）已知是圓（為參數(shù)，上的點(diǎn)，則圓的普通方程為_(kāi)，P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值為_(kāi)，過(guò)P點(diǎn)的圓的切線方程是_（答：；）；（4）如果直線將圓：x2+y2-2x-4y=0平分，且不過(guò)第四象限，那么的斜率的取值范圍是_（答：0，2）；（5）方程x2+yx+y+k=0表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)（答：）；（6）若（為參數(shù)，若，則b的取值范圍是_（答：）8、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：已知點(diǎn)及圓，（1）點(diǎn)M在圓C外；（2）點(diǎn)M在圓C內(nèi)；（3）點(diǎn)M在圓C上。如點(diǎn)P(5a+1,12a)在圓(x)y2=1的內(nèi)部,則a的取值范圍是_（答：）9、直線與圓的位置關(guān)系：直線和圓有相交、相離、

11、相切?？蓮拇鷶?shù)和幾何兩個(gè)方面來(lái)判斷：（1）代數(shù)方法（判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況）：相交；相離；相切；（2）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑的大?。涸O(shè)圓心到直線的距離為，則相交；相離；相切。提醒：判斷直線與圓的位置關(guān)系一般用幾何方法較簡(jiǎn)捷。如（1）圓與直線，的位置關(guān)系為_(kāi)（答：相離）；（2）若直線與圓切于點(diǎn)，則的值_（答：2）；（3）直線被曲線所截得的弦長(zhǎng)等于 （答：）；（4）一束光線從點(diǎn)A(1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 （答：4）；（5）已知是圓內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)有以為中點(diǎn)的弦所在直線和直線，則A，且與圓相交 B，且與圓相交C，且與圓相

12、離 D，且與圓相離（答：C）；（6）已知圓C：，直線L：。求證：對(duì)，直線L與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；設(shè)L與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若，求L的傾斜角；求直線L中，截圓所得的弦最長(zhǎng)及最短時(shí)的直線方程. （答：或最長(zhǎng)：，最短：）10、圓與圓的位置關(guān)系（用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系判斷）：已知兩圓的圓心分別為，半徑分別為，則（1）當(dāng)時(shí)，兩圓外離；（2）當(dāng)時(shí)，兩圓外切；（3）當(dāng)時(shí)，兩圓相交；（4）當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切；（5）當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含。如雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，頂點(diǎn)為A1、A2，P是雙曲線右支上任意一點(diǎn)，則分別以線段PF1、A1A2為直徑的兩圓位置關(guān)系為 （答：內(nèi)切）特別提醒：圓系方程有哪些？（04年上海卷.

13、文理8）圓心在直線上的圓C與y軸交于兩點(diǎn), 則圓C的方程為 .兩圓相交弦所在直線方程的求法：圓C1的方程為：x2+y2+D1x+E1y+C1=0.圓C2的方程為：x2+y2+D2x+E2y+C2=0. 把兩式相減得相交弦所在直線方程為：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0注意：兩圓相切要區(qū)分內(nèi)切還是外切.11、圓的切線與弦長(zhǎng)：(1)切線：過(guò)圓上一點(diǎn)圓的切線方程是：，過(guò)圓上一點(diǎn)圓的切線方程是：，一般地，如何求圓的切線方程？（抓住圓心到直線的距離等于半徑）；從圓外一點(diǎn)引圓的切線一定有兩條，可先設(shè)切線方程，再根據(jù)相切的條件，運(yùn)用幾何方法（抓住圓心到直線的距離等于半徑）來(lái)求；過(guò)兩切點(diǎn)的直線（即“切點(diǎn)弦”）方程的求法：先求出以已知圓的圓心和這點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，該圓與已知圓的公共弦就是過(guò)兩切點(diǎn)的直線方程；切線長(zhǎng)：過(guò)圓（）外一點(diǎn)所引圓的切線的長(zhǎng)為（）；如設(shè)A為圓上動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|=1，則P點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)（答：）；（2）弦長(zhǎng)問(wèn)題：圓的弦長(zhǎng)的計(jì)算：常用弦心距，弦長(zhǎng)一半及圓的半徑所構(gòu)成的直角三角形來(lái)解：；過(guò)兩圓、交點(diǎn)的圓(公共弦)系為，當(dāng)時(shí)，方程為兩圓公共弦所在直線方程.。12.解決直線與圓的關(guān)系問(wèn)題時(shí)，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成直角三角形，切線長(zhǎng)定理、割線定理、弦切角定理等等)!圓心