2020年高二數(shù)學(xué)上冊(cè)12月月考檢測(cè)試題9

1、高二12月階段檢測(cè)數(shù)學(xué)理一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.1.方程x、3y2 1所表示的曲線是 A.雙曲線B.橢圓C.雙曲線的局部D.橢圓的局部【解析】C2. A 2, 5,1,B 2,2,4 ,C 1,4,1 ,uuu, uuur ,那么向量AB與AC的夾角為)A300B450C600D900【解析】C3.如圖：在平行六面體 ABCD ABCiDi中，M為AG與B1D1的交點(diǎn)。假設(shè)AB a， AD b，A.那么以下向量中與BM相等的向量是1 a 2C121 '1 、-B. 丄a丄b c2 21 1 LC. a b2

2、 2【解析】AD.12b24.f(3)2, f (x)2,那么lim6 3f(x)x 3 x 3A. 4D .不存【解析】B5.下 列 命 題 錯(cuò) 誤 的 是 A. 對(duì)于命題p：假設(shè)xy = 0,那么x, y中至少有一個(gè)為零，那么 p是：假設(shè) xyz0，那么x，y都不為零B. 對(duì)于命題p： x R,使得x2 + x+ 1<0,那么p是：x R,均有2x +x+1>0C. 命題“假設(shè)m>0,那么方程x + x m= 0有實(shí)根的逆否命題為“假設(shè)方程x2 + x m= 0無(wú)實(shí)根，那么mK 0D. “ x = 1是“ x 3x + 2= 0的充分不必要條件【解析】A2 26橢圓 匕1

3、的長(zhǎng)軸為Al A2，短軸為Bi B2，將橢圓沿y軸折成一 16 12個(gè)二面角，使得A點(diǎn)在平面B1A2B2上的射影恰好為橢圓的右焦點(diǎn)，那么該二面角的大小為.A.75 °B. 60 °C. 45°D. 30 °【解析】B2 27.點(diǎn)P的雙曲線務(wù) 務(wù)1a 0,b 0的右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1, F2為雙 a b曲線的左、右焦點(diǎn)，假設(shè)OOP OgF 0 O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且PFF2的面積為2ac c為雙曲線的半焦距，那么雙曲線的離心率為A.J+lB.2【解析】A8.如圖，在正方體 ABCD-A1CD中，P是側(cè)面CiBiBBGC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，假設(shè) P到直線BC與P'D直線

4、GD軌跡所在的曲線是A.直線B.C.雙曲線D.拋物線【解析】D、填空題：本大題共7小題，每題5分,共35分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上.29.雙曲線m21的一個(gè)焦點(diǎn)為F3m0，2，貝S m的值【解析】-110.假設(shè)向量a,b的夾角為150 , |a| -.3,|b| 4，那么|2a b|的值為【解析】 T |2a b|2 (2a b)2 4a2 4ago b2 4|a |2 4 |a | b |cos150 | b |2 4 , /.|2a b| 2 .211.如果橢圓J362右1的弦被點(diǎn)4 ,2平分，那么這條弦所在的直線方程是【解析】x 2y 8 012.正三棱柱ABC- ABC的

5、所有棱長(zhǎng)都相等，那么AC1與平面BB1C1C所成角的余弦值為 .【解析】込4uuuuuuruuu umr13.非零向量 AB與AC滿足(-AL -A纟) BC=0且二| AB |AC|AB| |AC|2，那么厶ABC的形狀為.【解析】等邊三角形14.拋物線y2 2px(p 0)上一點(diǎn)M(1,m)(m 0)到其焦點(diǎn)的距離為25,雙曲線x y2 1的左頂點(diǎn)為A.假設(shè)雙曲線的一條漸近線與直線 AMa平行，那么實(shí)數(shù)a等于 .解析：由題意可知：拋物線y2 2px(p 0)的準(zhǔn)線方程為x 4 p 8 ,2 那么點(diǎn)M(1,4),雙曲線y2 1的左頂點(diǎn)為A(.書,0),所以直線AM的斜a率為1二，由題意可知:

6、CAB15.如圖，在三棱錐 P ABC中，PA、PB PC兩兩 垂直，且 PA 3, PB 2 , PC 1,設(shè)M 是底面 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，定義f (M ) (m,n, p)，其中m,n, p分別是三 棱錐M PAB、三棱錐 M PBC、三棱錐 M PCA的體積，假設(shè)f M 1,x, y)，且丄a8恒成立，那么正實(shí)數(shù)a的最小值2xy為解析：依題意可知，m n1p 3(13 2),11, x y 1,21x 7 丁1 1 a1-()(x y)(-?) 1a yxa1 a2 a，1 a2 2a 4一 a，2 x yxyxyx y又Q1 a 8恒成立，2 2a 4-,a 8，解得、a3舍去，或、a

7、1 .x y故a的最小值為1.三.解答題：本大題共6小題，共75分.解容許寫出文字說明、證明 過程或演算步驟.16、命題 p：向量a= 1， 1， m與向量b=-1，-1， m 平2 2行。命題q：方程一x-1表示雙曲線。假設(shè)“ p 和“ p q 2m 1 m 3都為真，求m的取值范圍。解：假設(shè)p為真，那么m 0,3分1假設(shè)q為真，那么2m 1m 3 0,得 m36分Q" p"為真，p為假，m 09分又Q“p q"為真，q只能為真，-；m 3,所求m的取值范圍為0,312分17. 此題總分值12分函數(shù)fx x3 ax2 x b1假設(shè)函數(shù)fx在x 2處的切線平行于直

8、線X y 0,求a值。3b的取值范圍解: (1)ff (x) 3x2 2ax 1 又 f (2)14 4a .1331, a 1, 4分(2)g(x)(x2 x b) exg (x) ( 2x 1) ex ( x2 x b) ex=(x2 3x b 1) ex,又g (x)在3,2上單調(diào)遞增，x2 3x b 1 0在x 3,2上恒成立即x2 3x 1 b 0在x3,2上恒成立。令 h(x) x2 3x 1 b,只要寫)0012分9 9 1 b 0b 1b 114 6 1 b 0b 1118. (本小題總分值12分)如圖，平行四邊形 ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,EAB 1, AD

9、2， ADC 600, AF <3 .(1) 求證:ACL BF;(2) 求二面角FBD A的余弦值;求點(diǎn)A到平面FBD的距離.解：在 ACD中，AC2=AD2 CD2 2ADg：Dgcos60 AC 3,AC2 CD2 AD2 CD CA,又由易得CE平面ABCD,因此以CD為x軸,CA為y軸，以CE為z軸建立空間坐標(biāo) 系，2分(1)C(0,0,0),D(1,0,0),A(0,、3 ,0),F(0,3,3 ),B(-1,3 ,0),CA 0, 3,0 , BF 1,0, .3, DF 1, .3,、3,CA 麗 0, AC BF 6 分(2)平面ABD的法向量n (0,0,1),平面F

10、BD的法向量m (x, y, z)解出m 3, 2,1 ,COSm,n二子，所求二面角F BD A的余弦值為(3)點(diǎn)A到平面FBD的距離為d, AD ( 1,3,0)12分AD m 3 3J萌19. (本小題總分值13分)2 2橢圓篤篤1(a b 0)的一個(gè)焦點(diǎn)F與拋物線y2 4x的焦點(diǎn)重 a b合，且截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長(zhǎng)為2，傾斜角為45。的直線I過點(diǎn)F .(I) 求該橢圓的方程；(H)設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F1，問拋物線y2 4x上是否存在一點(diǎn)M，使得M與F1關(guān)于直線I對(duì)稱，假設(shè)存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，假設(shè)不存在，說明理由解：(1)拋物線y2 4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x 1，a2

11、 b21又橢圓截拋物線的準(zhǔn)線x 1所得弦長(zhǎng)為.2 ,得上交點(diǎn)為V2(1，T)，1/.丄 2 1 a2 b2由代入得2b4b2 10，解得b2 1或b(舍去),從而a2 b2 1的方程為圓的方程為(2)V傾斜角為45。的直線|過點(diǎn)F ,直線I的方程為y tan45 (x 1)，即y由(1)知橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F, 1,0)，設(shè)M(xo,y°)與Fi關(guān)于直線I對(duì)稱，yo 0 ,10分解得 1，即M (1, 2)y。21 1那么得x0 1y° 0 x° 12 212分又M (1, 2)滿足y24x ,故點(diǎn)M在拋物線上 所以拋物線y2 4x上存在一點(diǎn)M(1, 2)，使得M

12、與F1關(guān)于直線I對(duì)稱。13分20. (本小題總分值13分)如以下圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬20 m,要求通行車輛限高5 m隧道全長(zhǎng)2.5 km隧道的兩側(cè)是與地面垂直的墻，高度為3米，隧道上部拱線近似地看成半個(gè)橢圓.1假設(shè)最大拱高h(yuǎn)為6 m,那么隧道設(shè)計(jì)的拱寬I是多少？2假設(shè)要使隧道上方半橢圓局部的土方工程量最小，那么應(yīng)如何 設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬I ?:=1的面積公式為S= ab，柱體體積為底面積乘以高.3為了使隧道內(nèi)部美觀，要求在拱線上找兩個(gè)點(diǎn)M N,使它們所在位置的高度恰好是限高5m現(xiàn)以M N以及橢圓的左、右頂點(diǎn) 為支點(diǎn)，用合金鋼板把隧道拱線局部連接封閉，形成一個(gè)梯形，假設(shè)I=30m梯

13、形兩腰所在側(cè)面單位面積的鋼板造價(jià)與梯形頂部單位面積鋼 板造價(jià)相同且為定值，試確定 M N的位置以及h的值，使總造價(jià)最 少.解：1如以下圖建立直角坐標(biāo)系，那么點(diǎn) P 10，2 在橢圓上,2 2令橢圓方程為 篤+爲(wèi)=1.將b=h-3=3與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程， a b得a=6厲，此時(shí)I=2a=i2屁因此隧道的拱寬約為12岳m(xù).(2)要使隧道上方半橢圓局部的土方工程量最小，由柱體的體積公式可知：只需半橢圓的面積最小即可.由橢圓方程x2 + yl=l，得瑪+寫=1.因?yàn)橹?三 > ，即ab>a ba ba bab40,所以半橢圓面積S=nab >如20 .2 22 2當(dāng)S取最小值時(shí)，

14、有 琴=務(wù)=丄，得a=1O 2 , b=2、2.a b 2此時(shí) I =2a=20、2 ,h=b+3=2,2 +3故當(dāng)拱高為(2d+3)m、拱寬為20 2 m時(shí)，隧道上方半橢圓局部的土方工程量最小(3)根據(jù)題意設(shè) M(x,2), N( x,2),那么10 x 15要使總造價(jià)最低，只要梯形的兩腰長(zhǎng)與上底長(zhǎng)之和最短即可，令這個(gè)f(x) 2x 2、. (x 15)2 (2 0)2(10 x 15) 和為 f(x)，那么 Q f (x) 2、(x0)2(0一0)2 (x15)2(2一0)2,f(x)的幾何意義是點(diǎn)(x, 0)到點(diǎn)(0,0 )和點(diǎn)(15,2 )的距離和的兩倍，數(shù)形結(jié)合可得x 10時(shí)，f (

15、x)最小，此時(shí)M(10,2), N(-10,2)，此時(shí)h 6-5 3答：當(dāng)M(10,2), N(-10,2)，h 3時(shí)，總造價(jià)最小。521. 雙曲線G的中心在原點(diǎn)，它的漸近線與圓X2 + y2 10x + 20=10相切.過點(diǎn)P( 4,0)作斜率為4的直線I，使得I和G交于A, B兩點(diǎn),和y軸交于點(diǎn)C,并且點(diǎn)P在線段AB上,又滿足| PA PB =| PC2.(1)求雙曲線G的漸近線的方程；求雙曲線G的方程；(3) 橢圓S的中心在原點(diǎn)，它的短軸是 G的實(shí)軸.如果S中垂直于I的 平行弦的中點(diǎn)的軌跡恰好是 G的漸近線截在S內(nèi)的局部AB假設(shè)P(x,y ) (y>0)為橢圓上一點(diǎn)，求當(dāng) ABP的

16、面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐 標(biāo).解：(1)設(shè)雙曲線G的漸近線的方程為y=kx,那么由漸近線與圓x2 + y2 10x + 20= 0相切可得寸5+=a/5,1 1所以k = ±,即雙曲線G的漸近線的方程為y = ±x. 3 分(2)由(1)可設(shè)雙曲線G的方程為x2 4y2= m1把直線l的方程y=4(x + 4)代入雙曲線方程，整理得 3x -8x 16-4m0,那么 Xa+ XB= 3, XAXB=少+%V | PA I PB =1 PC2, p、A B c 共線且 P 在線段 AB上,2/. (Xp Xa)( Xb Xp) = (Xp Xc)，即(Xb+ 4)( 4 Xa) = 16,整理得 4( XA + Xb) + XaXb+ 32= 0.將(*)雙 曲 線的方代入上式得2X 為28m 28,1.2由題可設(shè)橢圓s的方程為X+y8 a1(a>2,7),設(shè)垂直于I的平行弦的兩端點(diǎn)分別為 Mx1, y1), Nx2, 中點(diǎn)為Rx0, y。),2 2那么一+勺=1那么 28+ a2'，2 2X2 y+ 2= 128+ a2'