1.2函數(shù)的求導法則1ppt課件

1、二、反函數(shù)的求導法則二、反函數(shù)的求導法則 三、復合函數(shù)求導法則三、復合函數(shù)求導法則 四、導數(shù)基本公式、初等函數(shù)的導數(shù)四、導數(shù)基本公式、初等函數(shù)的導數(shù) 一、四則運算求導法則一、四則運算求導法則 導數(shù)的運算法則 第二章 定理定理2.1的和、的和、 差、差、 積、積、 商商 (除分母除分母為為 0的點外的點外) 也都在點也都在點 x 可導可導, 且且處可導，處可導，都在點都在點及及函數(shù)函數(shù)xxvvxuu)()( )()(xvxu及及)()( )()()1(xvxuxvxu )()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu )()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu )0

2、)( xv )()1uC )()3wvuuC wvuwvuwvu ( C為常數(shù) ).( )( )()( )42121xvkxukxvkxuk 常數(shù)因子可常數(shù)因子可以從導數(shù)符以從導數(shù)符號中提出來號中提出來 )(2wvu）wvu )0)()()()(152 xvxvxvxv） )(cscx)sin1( xx2sin )(sin xx2sin ,sec)(tan2xx 證證 .cotcsc)(cscxxx )cossin()(tan xxx x2cosxx cos)(sin )(cossin xx x2cosx2cosx2sin x2sec xcos xxcotcsc 類似可證類似可證:,csc)(

3、cot2xx .tansec)(secxxx ，xx2sec)(tan xxxcotcsc)(csc 解解）xsin4 1(21)1sin , )1sincos4(3 xxxy.1 xyy 及及求求 y)( xx )1sincos4(213xxx23(xx) 1xy1cos4 )1sin43( 1cos21sin2727 )1sincos4(3 xx)1sincos4(3 xx).(,sin)(3xfxxxf 求求設設解解,0時時當當 x)(sinsin)()(331 xxxxxfxxxxcossin31332 0)0()(lim)0(0 xfxffx,0時時當當 xxxxxsinlim30

4、xxxx0sinlim30 010 .0, 00,cossin31)(332 xxxxxxxf注注下下列列推推導導不不正正確確：03310)(sinsin)()()0( xxxxxxxff錯誤原因：錯誤原因：3x在在 x = 0 處不可導，故不能用乘積處不可導，故不能用乘積的求導法則的求導法則.定理定理2.2 若函數(shù)若函數(shù) x = (y)在某區(qū)間在某區(qū)間 Iy 內(nèi)單調(diào)、可內(nèi)單調(diào)、可導且導且 (y) 0，則其反函數(shù)，則其反函數(shù)y = f (x) 在對應區(qū)間在對應區(qū)間 Ix 內(nèi)也可導，且內(nèi)也可導，且)()(1)()(xxfyIxyxf 反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)

5、的倒數(shù).arcsin的的導導數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xy 解解,)2,2(sin內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)增增、可可導導在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且內(nèi)內(nèi)有有在在)1 , 1( xI)(sin1 yycos1 y2sin11 .112x 同理可得同理可得，211)(arctanxx )(arcsin x.11)(arccos2xx .11)cot(arc2xx )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211x xx2sec)(tan xxxcotcsc)(csc xx2csc)(cot xxxtansec)(sec 在點在點 x 0 處處

6、 可導可導,定理定理2.3)(xu )(ufy 在對應在對應)(00 xu 處可導，那處可導，那么么復合函數(shù)復合函數(shù) fy )(x 且且0ddxxxy 在點在點x 0 處可導處可導,點點00ddddxxuuxuuy )( )(00 xuf 即因變量對自變量求導即因變量對自變量求導,等于因變量對中間變量等于因變量對中間變量求導求導, 乘以中間變量對自變量求導乘以中間變量對自變量求導.鏈式法則鏈式法則有有若若),(0bax 則可將則可將 x0 換成換成 x :xydd即即)()()()(xufxfxu xuuydddd 0ddxxxy 00ddddxxuuxuuy )( )(00 xuf )()(

7、)(xufxu x2cos )()()(xfufxu 記記).()(xfxf 一般地，一般地，如：如：,sin)(uuf ,2sin)(xxf )( xf )(xf ,2)(xxu )2(sin xxuuf2)( xuu2cos 例如例如,)(, )(, )(xvvuufy xydd)()()(xvuf yuvx uydd vuddxvdd關鍵關鍵: 搞清復合函數(shù)結(jié)構(gòu)搞清復合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求導由外向內(nèi)逐層求導.復合函數(shù)求導法則稱為鏈式求導法則復合函數(shù)求導法則稱為鏈式求導法則.對于復合函數(shù)，不能直接用基本初等函數(shù)對于復合函數(shù)，不能直接用基本初等函數(shù)求導公式求導公式.xxcos)(sin

8、 如：如：即即xxxcosdsind ( 一致一致 )但但,2cos)2(sinxx 事實上事實上)2(sin x( 不一致不一致 )xuuudddsind )2(2cosxuu ( 一致一致 )xxd2sind x2cos2 .sinln的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解.sin,lnxuuy xuuyxydddddd u1xxsincos xcot xcos熟練后，可不寫出中間變量：熟練后，可不寫出中間變量：)sin(ln xy xsin1xxcossin1 )(sin xxcot , )cos(lnxey 設設求求.ddxy解解xydd)cos(1xe )sin(xe )( xe).ta

9、n(xxee )cos( xe)cos(1xe )sin(xe xe )cos(1xe 1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 )(C0 )( x1 x )(sinxxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cotxx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(lnxx1 )(log xaaxln1 )(arcsinx211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x )(vuvu )( uCuC )( vuvuvu vu2vvuvu ( C為

10、常數(shù) )0( v )( xf1 )(1 yf dd xy或或yxdd1),(, )(xuufy xydd)()(xuf uyddxudd 又如又如,)(, )(, )(xvvuufy xydd)()()(xvuf uydd vuddxvdd關鍵關鍵: : 搞清復合函數(shù)結(jié)構(gòu)搞清復合函數(shù)結(jié)構(gòu), , 由外向由外向內(nèi)內(nèi) 逐層求導逐層求導. ., )1(ln2 xxy.y 求求解解 y 112xx112 x)1(2 xx1112 xx)1(2 x 112xx 1(1212 xx2 )求導公式及求導法則求導公式及求導法則注意注意: 1),)(vuuv vuvu 2) 搞清復合函數(shù)結(jié)構(gòu)搞清復合函數(shù)結(jié)構(gòu) ,

11、由外向內(nèi)逐層求導由外向內(nèi)逐層求導 .,)()(00處處可可導導在在處處不不可可導導，在在若若xxxvxxxu 問：問：處處不不可可導導？是是否否一一定定在在0)()(xxxvxu 1.答：答：不一定不一定. 反例見例反例見例3.41)1(43 x2.)1( xx)1(43 x 對嗎對嗎?答：不對答：不對.正確解法：正確解法：21x )1( xx)1(43 x41)1(43 x,1)(lnxx ,1)(lnxx 對嗎？對嗎？不對！不對！事實上，事實上，,0時時當當 x)(ln)(ln xx,1x ,0時時當當 x) )(ln()(ln xx)1(1 x,1x 綜上所述：綜上所述：)0(1)(ln

12、 xxx此結(jié)論今后常用此結(jié)論今后常用xxxysin223 解解23xy x4 例例2-2xxyln2sin 解解xxyln)2(sin )(ln2sinxx .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 求求的導數(shù)的導數(shù).求求的導數(shù)的導數(shù).xxln22cos xx12sin axafxfafax )()(lim)(axxaxax )()(lim )(limxax )(a 正確解法正確解法: 設設, )()()(xaxxf 其中其中)(x 在在ax 因因)()()()(xaxxxf 故故).()(aaf )(af 時時, 下列做法是否正確下列做法是否正確?處連續(xù)處連續(xù). 在求在求解解錯錯存在的條件存在的條件題設中無題設中無)(x ),99()2)(1()( xxxxxf).0(f 求求解解 (方法方法1) 利用導數(shù)定義利用導數(shù)定義.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99 (方法方法2) 利用求導公式利用求導公式. )(xf)( xx )99()2)(1( xxx)99()2)(1( xxx!99)0( f解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex)1(1cos21si