第十一講平方反比引力

1、第十一講平方反比引力教學(xué)時(shí)間：3學(xué)時(shí)教學(xué)目的要求：1、使學(xué)生掌握典型的有心力一一平方反比引力，并能利用總機(jī)械能討論軌道的具體形狀。2、通過(guò)萬(wàn)有引力的推導(dǎo)，使學(xué)生進(jìn)一步掌握研究理論物理的方法。重點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)在平方反比引力作用下的軌道及三種軌道形狀。難點(diǎn)：從開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律推導(dǎo)萬(wàn)有引力定律。教學(xué)方法：理論推導(dǎo)。講授要點(diǎn)及內(nèi)容：平方反比引力是自然界最普遍的一種力，是四大自然力之一，行星就是受太陽(yáng)的這種引力作用而繞日運(yùn)動(dòng)。本節(jié)就是以行星的繞日運(yùn)動(dòng)為例研究平方反比引力。對(duì)所研究問(wèn)題的近似處理1）認(rèn)為所研究的行星只受太陽(yáng)的引力作用，忽略別的星體對(duì)它的作用。2）認(rèn)為太陽(yáng)是絕對(duì)固定不動(dòng)的。在這樣的近似處理下，

2、行星所受太陽(yáng)的引力可視為有心力，太陽(yáng)為力心，行星作有心運(yùn)動(dòng)。一、行星繞日運(yùn)動(dòng)的軌道方程（已知力，求軌道）研究行星公轉(zhuǎn)時(shí)，可將其視為質(zhì)點(diǎn)。以太陽(yáng)中心為極點(diǎn)，建立極坐標(biāo)系，令M,m分別為太陽(yáng)，行星的質(zhì)量，r為太陽(yáng)與行星間的距離，貝怖星所受的力為F = -G（負(fù)號(hào)表示引力）G萬(wàn)有引力常數(shù)，k 2太陽(yáng)的高速常數(shù)，與行星無(wú)關(guān)將其代入比耐公式，得2 2duk2 + u = dqh（二階常系數(shù)線形非齊次方程）22 2 ? d u?2 2其解為 u = A cos(q - q0 )h u ?2 + u -h= k u edq?A,q。為積分常數(shù)，由初始條件而定，適當(dāng)選取極軸取向,£1 1 | 2可使

3、q二0，則行星運(yùn)動(dòng)的軌道為 r二一二 2 =k2u Ak d A hAcosq + -21 + A -2 cosq圓錐曲線。hkr =1 + ecosqh2h2其中：P = 2 圓錐曲線正焦弦長(zhǎng)度的一半，e= A2 = Ap 圓錐曲線的離心率,kk決定軌道的具體形狀。當(dāng)e<1時(shí)一一橢圓軌道，當(dāng) e = 1時(shí)一一拋物線軌道，當(dāng) e>1時(shí)一一雙曲線軌道。 說(shuō)明：1）在圓錐曲線中，離力心最近的點(diǎn)稱為近日點(diǎn)，橢圓軌道中離力心最遠(yuǎn)的點(diǎn)為遠(yuǎn)日 點(diǎn)，其他軌道無(wú)遠(yuǎn)日點(diǎn)。h22）由于e= A弋中的A由初始條件而定？ e的大小由初始條件而定 ？行星軌道的具k體形狀由初始條件而定。（人造星體進(jìn)入軌道時(shí)速

4、度不同，則軌道形狀不同）二、由動(dòng)力學(xué)常數(shù)確定軌道形狀離心率e是幾何常數(shù)，但在物理學(xué)中，人們習(xí)慣于用物理常數(shù)討論問(wèn)題。由于行星繞日運(yùn)動(dòng) 為有心運(yùn)動(dòng)，總機(jī)械能為常數(shù)，因此可用總機(jī)械能的大小來(lái)判斷軌道形狀。取離太陽(yáng)無(wú)窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為零,2則行星距離太陽(yáng)為r時(shí)的引力勢(shì)能為v = m，則總機(jī)械能XX />2出 1? 222 ? k m為一m?r +r q 上2 e ? rE （常數(shù)）將 u = 1 = l + e cosq=1 + Acosq , r r p pP=-h-du = hA sinq , q = hu2 dq代入機(jī)械能守恒方程，得2 m（h2A2sin2q +2 2 2h u )- k m

5、u = EJmh2 |A212p2 、2?1? U+ h ? + Acosq + u- ep? u2 ?1 ?k m? +Acosq _j= E p2A+cosqp2u k m . 2u- 一 - k mAcosq = E ? ph2P = h2代入，得2? .2 k4 2k2A1 “ 一 “ 一 mh ?A + r +2 e h4?cosq 片? 4k m 2-k mAcosq = E Th2H1 2 ? 2 mh ?A + 2 、 ek4 ?k4 mE +時(shí)T A2k4 _ 2E +廠市+ hk4 2E ?k4?h2? h4 mh2 h2 買?4 ?k2h21+可?m :由此得出行星初始時(shí)

6、總機(jī)械能的大小根據(jù)e=A© = j +生?翼 k2 Y m 'ek4 ?（以后永遠(yuǎn)是這樣大）決定了積分常數(shù)22 ? h ? 一t ?- 恒為正值。m來(lái)?A的大小。一當(dāng)E p 0, e p 1 一一橢圓軌道。E=0, e=1 拋物線軌道。E f 0, e f 1雙曲線軌道。這樣，我們就可以利用總機(jī)械能的大小判斷行星軌道的具體形狀。太陽(yáng)系的八大行星，他們的總機(jī)械能均為負(fù)值，因此都繞太陽(yáng)做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)。k2m 12> -mv。r 21k2 rm對(duì)總機(jī)械能為負(fù)值，則軌道為橢圓的解釋：當(dāng)e=2 mv2 - 0時(shí),1k2 pm而-mv2是一個(gè)有限的正值，故r不能為Y （否則=0 ）

7、,必為封閉曲線，而在圓錐曲 線中只有橢圓線才有r不為Y,因此，行星作橢圓軌道運(yùn)行時(shí)，總機(jī)械能必小于零。二、開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律第一定律：行星繞太陽(yáng)做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)位于這些橢圓的一個(gè)公共焦點(diǎn)上。第二定律：行星和太陽(yáng)之間的聯(lián)線（矢徑）在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等，即面積速度恒dA23 t一t =ca T = c，( c 與行星a不=常數(shù)（A 矢徑所掃的面積），（以上兩個(gè)定律發(fā)表于 1609年） 第三定律：行星公轉(zhuǎn)周期的平方與軌道半長(zhǎng)軸的立方成正比 無(wú)關(guān)的常數(shù)），（此定律發(fā)表于1619年）注：開普勒在研究行星運(yùn)動(dòng)時(shí)，認(rèn)為太陽(yáng)絕對(duì)靜止，因此在精確處理問(wèn)題時(shí)，開普勒定律具有一定的近似性。三、萬(wàn)有引力

8、定律的發(fā)現(xiàn)（1687年）1687年提出了著從開普勒牛頓在開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了大量的理論推導(dǎo)工作，于名的萬(wàn)有引力定律， 總結(jié)出天體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律。下面我們沿著物理史的進(jìn)程，定律出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)。注：這時(shí)，我們不知萬(wàn)有引力，但有心力，有心運(yùn)動(dòng)的特征及動(dòng)力方程人們已經(jīng)掌握了。行星的矢徑r在時(shí)間dt內(nèi)所掃過(guò)的面積r (t + dtdB rdrPi1、對(duì)開普勒第二定律的研究1 / 1 2dA = 3 r (rdq ) = r dqdA 1 x根據(jù)開普勒第二定律 少=-r 2 q =常量，即dt 2*r2q =常量T mr2q =常量行星對(duì)太陽(yáng)的動(dòng)量矩為常數(shù)，從而得出太陽(yáng)對(duì)行星的力矩為零，但

9、太陽(yáng)對(duì)行星的作用力不為it rit零，故F與r共線，F(xiàn)為有心力。太陽(yáng)位于一個(gè)焦點(diǎn)，則以太陽(yáng)為極點(diǎn)建立極坐u = 1 + cosq (e < 1)， P P結(jié)論：開普勒第二定律說(shuō)明了行星受太陽(yáng)的作用力必定是有心力，太陽(yáng)為力心。 2、對(duì)開普勒第一定律的研究 開普勒第一定律指出行星的運(yùn)動(dòng)軌道為橢圓， 標(biāo)系，行星的軌道方程為 r= P T1 + ecosqd2 u12 + U =dqP2due貝 V 2- = - cosq ,dqP由于行星所受的作用力為有心力，則由比耐公式，得F = - mh2u2 ? + u 1= - mh2u2 = - h m2，: h, p,m 均為常數(shù)，F(xiàn) 口 丄。&#

10、39;edq?p p rr結(jié)論：開普勒第一定律說(shuō)明了行星所受太陽(yáng)的作用力為平方反比引力。注：上式并不是萬(wàn)有引力的形式，萬(wàn)有引力中f二-k 2身的k2是只與太陽(yáng)有關(guān)而與行星無(wú)關(guān)的常數(shù)，但上式的 p,h雖然都是常數(shù)，但對(duì)不同的行星有不同的值。3、對(duì)開普勒第三定律的研究 由開普勒第二定律可知 2dA = r2 q = hdt由開普勒第一定律可知，矢徑在一周期t所掃過(guò)的面積為橢圓面積 p ab，將上式在一周期內(nèi)積分 2 dA= ；hdt T 2p ab = ht T t =凹辿o oh根據(jù)開普勒第三定律常數(shù)，將t 2值代入得,a12 _ 4p2a2b2 _ 4p 2a b2 _ 4p2 2 2 2 2

11、 h2 a2 h：寧泮 a（"）=乍即4P2P為與行星無(wú)關(guān)的常數(shù) T 弓?或 丄?為與行星無(wú)關(guān)的常數(shù)。 hh 'e p ?結(jié)論：開普勒第三定律說(shuō)明，雖然p,h都是與行星有關(guān)的常數(shù)，但 T占?或L卩是一個(gè)h e p ?只與太陽(yáng)有關(guān)而與行星無(wú)關(guān)的常數(shù)。人p2令與二k 只與太陽(yáng)有關(guān)稱為太陽(yáng)的高斯常數(shù)。h2注：牛頓先引入的是太陽(yáng)的高斯常數(shù)，以后才引入萬(wàn)有引力常數(shù)。開普勒第二定律數(shù)學(xué)式2k m2r2 2t4p3 =廠，于是行星所受太陽(yáng)的引力為F =-ak行星運(yùn)行的周期t = ZDa 2,進(jìn)一步引入新常數(shù)kk 2G =（M為太陽(yáng)質(zhì)量）該常數(shù)與行星和太陽(yáng)均無(wú)關(guān)。則行星所受太陽(yáng)的引力可表示為

12、 F二-G導(dǎo)M地球質(zhì)量，r以后牛頓又發(fā)現(xiàn)月球繞地球所受的地球?qū)λ囊σ矟M足此方程（m月球質(zhì)量）,進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)地球?qū)ζ涓浇矬w的引力，同樣滿足此方程，牛頓大膽設(shè)想宇宙間任何兩個(gè)物體之間都存在與他們的質(zhì)量成正比，與兩者之間的距離成反比的引力作用，稱之為萬(wàn)有引力，是一個(gè)普適常數(shù)稱為萬(wàn)有引力常數(shù)。1798年（萬(wàn)有引力定律發(fā)表 111年后）卡文迪什用扭秤實(shí)驗(yàn)首次較為精確測(cè)出萬(wàn)有引力常數(shù)。（* ）三種人造星體軌道的總機(jī)械能討論及宇宙速度發(fā)射人造地球衛(wèi)星和宇宙飛船，涉及到許多科學(xué)和技術(shù)上的問(wèn)題，其中之一就是發(fā)射速度一人造天體進(jìn)入軌道時(shí)的速度，又稱為宇宙速度。宇宙速度大小決定了人造衛(wèi)星，宇宙飛船的具體軌道形狀

13、。由于人造天體引入軌道后是克服引力作用沿軌道飛行，而有心力是保守力， 機(jī)械能守恒，故宇宙速度可通過(guò)機(jī)械能守恒進(jìn)行計(jì)算。質(zhì)點(diǎn)在萬(wàn)有引力作用下作圓錐曲線運(yùn)動(dòng)，總機(jī)械能為XX2X 221 ?222?km 1?2 h ? kmE 二一m?r + r q 上二一m?r +弋 2 'e? r 2 社 r ? r一、三種軌道下人造星體的總機(jī)械能1、橢圓軌道：利用星體在近日點(diǎn)的能量，可得出總機(jī)械能的表示式h222a2 (1- e)k2ma(1-e)Xh2k2在近日點(diǎn) r = a - c= a(1- e),r = 0 ,p = a(1- e2)T h2 = k2a(1 - e2 ),1 k a(1- e )k2m _ mk2 (1 + e)mk2 _ mk2E = m 小2 -=-= -< 02 a2 (1- e)a(1- e) 2a(1- e) a(1- e)2a3、拋物線軌道:e = 1, r= P1 + cosq，在近日點(diǎn)p Xcosq = 1, r =, r = 0 ,2E = mh2?昭e2?k2m 2mh2衛(wèi)=P222k2 mP將k2 p = h2代入，則