1.2二重積分的概念和性質(zhì)ppt課件

1、1、二重積分的概念、二重積分的概念曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積柱體體積柱體體積=底面積底面積 高高特點(diǎn)：平頂特點(diǎn)：平頂.),(yxfz D柱體體積柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂特點(diǎn)：曲頂.7-1 二重積分的概念和性質(zhì)二重積分的概念和性質(zhì)第七章第七章 重積分重積分1. 二重積分的概念二重積分的概念7-1 二重積分的概念和性質(zhì)二重積分的概念和性質(zhì)第七章第七章 重積分重積分.D(),(割有界閉區(qū)域）的一種分的定義域關(guān)于函數(shù)yxfz 彼此橫截，設(shè)想有兩組曲線，它們平面上形成了一并在),(yx.個(gè)網(wǎng)格;DDDDn21，分成有限個(gè)閉子區(qū)域這個(gè)網(wǎng)格將 它們彼此互不重疊，.DDDn21 D且這樣的一組子區(qū)域DDDn2

2、1， 就稱作D的一種分割的面積，表示用iiD.Di的直徑的最大者表示.DDii最大值中任意兩點(diǎn)的距離的的直徑是指所謂iD解法解法: 類似定積分解決問(wèn)題的思想類似定積分解決問(wèn)題的思想:引例引例1.曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 給定曲頂柱體:0),(yxfz底：底： xoy 面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域 D頂頂: 連續(xù)曲面連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂詡?cè)面：以 D 的邊界為準(zhǔn)線的邊界為準(zhǔn)線 , 母線平行于母線平行于 z 軸的柱軸的柱面面求其體積.“分割，近似代替, 求和, 取 極限” D),(yxfz 步驟如下：步驟如下：用若干個(gè)小平用若干個(gè)小平頂柱體體積之頂柱體體積之和近似表示曲和近似表示曲頂柱體的體積，頂柱體的

3、體積，xzyoD),(yxfz i),(iiyx先分割曲頂柱體的底先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，并取典型小區(qū)域，.),(lim10iiniiyxfV曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積是n個(gè)小閉區(qū)域i的直徑中的最大值 2. 求平面薄片的質(zhì)量求平面薄片的質(zhì)量 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片的的質(zhì)質(zhì)量量為為多多少少？將薄片分割成若干小塊，將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，看作均勻薄片， 所有小塊質(zhì)量之和所有

4、小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量近似等于薄片總質(zhì)量xyo),(iiyxi.),(lim10iiniiyxM定義定義 設(shè)設(shè) 是定義在有界閉區(qū)域是定義在有界閉區(qū)域 上的函數(shù)上的函數(shù),zf x yD若對(duì)若對(duì) 的任意分割的任意分割 及任意選擇的及任意選擇的D12,nD DD,1,2,iiix yD in當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 和數(shù)和數(shù)01,niiiifx y總有極限總有極限, 則稱該極限為則稱該極限為 在在 上的二重積分上的二重積分.,f x yD記作記作,Df x y d或或,Dfx y dxdyniiiiyxfI10),(lim可積可積 , ),(yxf則稱Dyxfd),(),(yxfI為稱在D上的二重積分.

5、稱為積分變量yx,積分和Dyxfd),(積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作對(duì)二重積分定義的說(shuō)明：對(duì)二重積分定義的說(shuō)明：(1) 在在二二重重積積分分的的定定義義中中，對(duì)對(duì)閉閉區(qū)區(qū)域域的的劃劃分分是是任任意意的的.二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值負(fù)值由二重積分的定義可知由二重積分的定義可知若二重積分若二重積分niiiiDoyxfdyxf1),(),(lim存在存在(2)一個(gè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)是可積的一個(gè)在有界閉區(qū)域上

6、連續(xù)的二元函數(shù)是可積的.則其值與區(qū)域的分法和小區(qū)域上點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)，則其值與區(qū)域的分法和小區(qū)域上點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)，故可采用一種便于計(jì)算的劃分方式故可采用一種便于計(jì)算的劃分方式 在直角坐標(biāo)系下，用平行于坐標(biāo)軸的直線族把在直角坐標(biāo)系下，用平行于坐標(biāo)軸的直線族把D分成一些小區(qū)域，這些小區(qū)域中除去靠分成一些小區(qū)域，這些小區(qū)域中除去靠D的邊界的邊界的一些不規(guī)則小區(qū)域外，絕大部分都是小矩形，的一些不規(guī)則小區(qū)域外，絕大部分都是小矩形，緊靠緊靠D的邊界的小區(qū)域的面積的邊界的小區(qū)域的面積 iit其中其中L為為D的圍長(zhǎng)的圍長(zhǎng)Ljj )0( , 0),( MLMfjjjjjj則面積元素為則面積元素為dxdyd xyoDy

7、xfVd),(引例1中曲頂柱體體積:DyxMd),(引例2中平面薄板的質(zhì)量:Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(故二重積分可寫為故二重積分可寫為 DDdxdyyxfdyxf),(),(（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）(1)( , )Dkf x y d( , ).Dkf x y d（ 為常數(shù)）為常數(shù)）k 2,DDDf x yg x y df x ydg x yd 2. 二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì), 1),()3(yxfD上若在DDdd1 為D 的面積, 那么 (4).),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 對(duì)區(qū)域具有可加性對(duì)區(qū)域具有可加性)

8、(21DDD (5)若在若在D D上上),(),(yxgyxf 則有則有.),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf (6) （二重積分中值定理）（二重積分中值定理）假設(shè)假設(shè) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 上連續(xù)上連續(xù),則在則在 上至上至少存在一點(diǎn)少存在一點(diǎn) ,使使,f x yDD00,x y00,Df x y df xyS其中其中S是是D的面積的面積證證,),(Myxfm則有D 的面積為S, 設(shè)),(min),(maxyxfmyxfMDDMSyxfmSDd),(積分積分.d),(1MyxfSmD由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少有一點(diǎn)Dyx), ,(00使DyxfSyxfd),(1),(00.),(d),(00SyxfyxfD因而3、小結(jié)、小結(jié)二重積分的定義二重積分的定義（和式的極限）（和式的極限）二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）（曲頂柱體的體積）二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì) （與定積分類似）（與定積分類似） 將二重積分定義與定積分定義進(jìn)行比較，將二重積分定義與定積分定義進(jìn)行比較，它們的相同之處與不同之處是：它們的相同之處與不同之處是：定積分與二重積分都表示某個(gè)和式的極限值，且此值只與被定積分與二重積分都表示某個(gè)和式的極限值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)不同的是