兩條直線的平行與垂直

1、兩條直線的平行與垂直(2)在的直線方程.分析：由BC和AD垂直,求出AD的斜率,利用3 ( 2)2 1即 3x 5y 14 0.【學習導航】學習要求1 .掌握兩條直線垂直的判定方法，并會根據(jù)直線方程判斷兩條直線是否垂直；2 .理解兩條直線垂直條件的推導過程，注意解幾思想的滲透和表述的規(guī)范性，培養(yǎng)學生的探索和概括能力.【課堂互動】自學評價(1)當兩條直線的斜率都存在時，如果它們互相垂直，那么它們的斜率的乘積等于1 ,反之，如果它們的斜率白乘積等于1,那么它們互相垂直.(2)若兩條直線11,12中的一條斜率不存在，則另一條斜率為o時，11i2.【精典范例】例1:(1)已知四點A(5,3),B(10

2、,6),C(3,4),D(6,11),求證：ABCD.3(2)已知直線11的斜率為k13,直線124經過點A(3a,2),B(0,a21),且1112,求實數(shù)a的值.【證明】(1)由斜率公式得63311(4)5kAB,kCD一，1055633則kABkCD1,ABCD.2 2)1112,k1k21,_2_即3a1(2)1,403a解得a1或a3,，當a1或a3時，1112.點評：本題是兩直線垂直判定的簡單應用.例2：已知三角形的三個頂點為直線的點斜式便可求出高AD所在的直線方程.【解】直線BC的斜率為kBCADBC,kAD-,5根據(jù)點斜式，得到所求直線的方程為3y4-(x2),5點評：一般地，

3、與直線AxByC0垂直的直線的方程可設為BxAym0,其中m待士7E.例3:在路邊安裝路燈，路寬23m,燈桿長2.5m,且與燈柱成120o角，路燈采用錐形燈罩，燈罩軸線與燈桿垂直.當燈柱高h為多少米時，燈罩軸線正好通過道路路面的中線？(精確到0.01m)【解】記燈柱頂端為B,燈罩頂為A,燈管為AB,燈罩軸線與道路中線交于點C.以燈柱底端O為原點，燈柱OB為y軸，建立如圖所示的直角坐標系.點B的坐標為(0,h),點C的坐標為(11.5,0),OBA120°,.直線BA的傾斜角為30°,則點A的坐標為(2.5cos30°,h2.5sin30°),即(1.25

4、V3,h1.25),QCABAkCA1一J3,由直線的點kBAtan30°斜式方程，得CA的方程為y(h1.25)向x1.2573),Q燈罩軸線CA過點C(11.5,0),(h1.25)73(11.51.2573),解得h14.92(m)答：燈柱高h約為14.92m.點評：讀懂題意，畫出示意圖，建立直角坐標系，構造數(shù)學模型是關鍵.追蹤訓練一'1 .以人(1,1),B(2,1),C(1,4)為頂點的三角形是(B)(A)銳角三角形(B)直角三角形(C)鈍角三角形2 .(2000京皖春，6)直線Z3J2)x+y=3和直線x+(2233)y=2的位置關系是(B)(A)相交不垂直(B)

5、垂直(C)平行(D)重合3 .過原點作直線l的垂線，若垂足為4 2,3),則直線l的方程是2x3y130.4.已知兩直線11:2x4y70,12：2xy50,求證：1112.【選修延伸】例4:(課本第91頁習題第12題)直線11和12的方程分別是AxB1yC10和A2xB2yC20,其中A1,B1不全為0,A2,B2也不全為0,試探究：(1)當11/12時，直線方程中的系數(shù)應滿足什么關系？(2)當1112時，直線方程中的系數(shù)應滿足什么關系？分析：由于11和12的斜率可能不存在，因此分類討論.【解】(1)當兩直線方程中x,y的系數(shù)有一個為0時，不妨設B10,則必有A10,此時直線11垂直于x軸，

6、其方程為AxG0,由11/12知12也垂直于x軸，其方程可以為A2xC20,此時滿足AB2A2B1；反之也成立.當兩直線方程中x,y的系數(shù)均不為0時，直線11和12的斜率分別為%,A2,由B1B2即A1B2AzB1.反之也成立.綜合可知：當11/12時，AB2a2b.(2)當兩直線方程中x,y的系數(shù)有一個為0時，不妨設B10,則必有A0,此時直線11垂直于x軸，其方程為AxG0,由1112知，直線12平行于x軸，故其方程為ByC20,滿足，A1A2B1B20；反之也成立.當兩直線方程中x,y的系數(shù)均不為0時，直線11和12的斜率分別為,-2,BiB2由1112知，(A)(冬)1，B1B2A1A

7、2B1B20.反之也成立.綜合可知：當1112時，A1A2B1B20.點評：斜率是否存在的討論是本題的難點所在.另外，分類討論的數(shù)學思想也得到了充分的體現(xiàn).思維點拔：1 .求直線方程時，與ykxb或AxByC0平行的直線可分別設為ykxD或AxByC10(其中b,C1為待定系數(shù))；與ykxb或AxByC0垂1直的直線可分別設為y1xb1k0或kBxAyC10(其中D,C1為待定系數(shù)).2 .在解有關兩直線平彳T或垂直問題時，應注意它們的斜率是否存在，否則需分類討論.追蹤訓練二1 .若直線(a2)x(1a)y30與(a1)x(2a3)y20互相垂直，則實數(shù)a的值為a1或1.2 .由四條直線：x2y10,2xy10,2x4y10,4x2y10圍成的四邊形是(D)(A)等腰梯形(B)梯形(C)長方形(D)正方形3 .過點(2,1