2013年高中數(shù)學教學論文柯西不等式在解題中的幾點應用新人教版Word版

1、柯西不等式在解題中的幾點應用摘要：本文利用怎樣運用柯西不等式解題的技巧，介紹了柯西不等式在解等式、不等式、極值、三角問題等方面的應用。關(guān)鍵詞：柯西不等式、技巧、應用一、 引言人民教育出版社高中代數(shù)下冊“不等式”一章的習題中有這樣一道題（P、15練習第2題）： 求證：ac+bd*這題用比較法是很容易證明的，這里用比值的方法來證明。證明：當a=b=c(或c=d=0)時，顯然成立；假設+0 且+0,則=1故ac+bd(1) 式就是著名的柯西不等式的一個簡單特例。柯西不等式的一般形式為：對任意的實數(shù) (2)或 (3)其中等號當且僅當時成立（當時，認為柯西不等式有許多證明方法，這里就不作證明，僅就如何利

2、用柯西不等式解題作一些介紹。一、 柯西不等式在解題中的應用1、 利用柯西不等式證明恒等式利用柯西不等式來證明恒等式，主要是利用其取等號的充分必要條件來達到目的，或者是利用柯西不等式進行夾逼的方法獲證。 例、已知求證：。證明：由柯西不等式，得當且僅當時，上式取等號，于是 。2、 利用柯西不等式解無理方程（或方程組）用柯西不等式解無理方程，是先把方程的（含有無理式的）運用柯西不等式化為不等式，然后結(jié)合原方程把不等式又化成等式，在判定為等式后再利用柯西不等式取等號的特性，得到與原方程同解的且比原方程簡單的無理方程，進而得到簡單的整式方程，從而求得原方程的解。例：解方程 。解： = 由柯西不等式知即

3、當上式取等號時有成立，即（無實根） 或，即，經(jīng)檢驗，原方程的根為用柯西不等式解方程組，也同樣是利用柯西不等式取等號的條件，從而求得方程組的解。 例：解方程組解：原方程組可化為運用柯西不等式得, 兩式相乘，得當且僅當x=y=z=w=3時取等號。故原方程組的解為x=y=z=w=3.3、 柯西不等式證明不等式。很多重要的不等式都可以由柯西不等式導出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常數(shù)的巧拆、結(jié)構(gòu)的巧變、巧設數(shù)組等，下面略舉一、二說明怎樣利用柯西不等式證明不等式。例：設a,b,c為正數(shù)且不相等到，求證：分析：我們利用9與2這兩個常數(shù)進行巧拆，9=，這樣就給我們利用柯西不等式提供了條件。證明：2a,b

4、,c各不相等， 等號不可能成立，從而原不等式成立。有些問題本身不具備運用柯西不等式的條件，但是我們只要改變一下多項式的形態(tài)結(jié)構(gòu)，認清其內(nèi)在的結(jié)構(gòu)特征，就可以達到利用柯西不等式解題的目的。下面略舉一例加以說明。例：設求證：分析：這道題初看似乎無法使用柯西不等式，但改變其結(jié)構(gòu)，我們不妨改為證：證明：為了運用柯西不等式，我們將寫成于是即故我們進一步觀察柯西不等式，可以發(fā)現(xiàn)其特點是：不等式左邊是兩個因式這和，其中每一個因式都是項平方和，右邊是左邊中對立的兩兩乘積之和的平方，證題時，只要能將原題湊成此種形式，就可以引用柯西不等式來證明。例：求證：證明：由柯西不等式得其中等號當且僅當 ， 時成立。其中等號

5、當且僅當 ， 時成立。4、 用柯西不等式證明條件不等式柯西不等式中有三個因式 ， ，而一般題目中只有一個或兩個因式，為了運用柯西不等式，我們需要設法嵌入一個因式（嵌入的因式之和往往是定值），這也是利用柯西不等式的技巧之一。又柯西不等式中諸量 ， 具有廣泛的選擇余地，任意兩個元素 ， （或 ， ） 的交換，可以得到不同的不等式，因此在證題時根據(jù)需要重新安排各量的位置，這種形式上的變更往往會給解題帶來意想不到的方便。這種變換也是運用柯西不等式的一種技巧，下面我們簡單舉例說明怎樣利用上述技巧運用柯西不等式來證明條件不等式。例：已知a,b，a+b=1,求證： 分析：如果對不等式左端用柯西不等式，就得不

6、到所要證明的結(jié)論。若把第二個小括號內(nèi)的前后項對調(diào)一下，情況就不同了。 證明： = = 。例、設求證： （1984年全國高中數(shù)學聯(lián)賽題）證明：在不等式的左端嵌乘以因式，也即嵌以因式，由柯西不等式，得 于是 .5、 利用柯西不等式求函數(shù)的極值有些極值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當添加上常數(shù)項或和為常數(shù)的各項，就可以應用柯西不等式來解，這也是運用柯西不等式解題的技巧；而有些極值問題的解決需要反復利用柯西不等式才能達到目的，但在運用過程中，每運用一次前后等號成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會出現(xiàn)錯誤。這多次反復運用柯西不等式的方法也是常用技巧之一。下面略舉例加以說明怎樣利用柯西不

7、等式來求解一些極值問題。例 設非負實數(shù)滿足求的最小值。（1982年西德數(shù)學奧林匹克度題）解：易驗證+1=同理可得+1=+1=令故+為了利用柯西不等式，注意到+=+等號當且公當時成立，從而有最小值例 設都是正數(shù)，且求證： （1989年全國數(shù)學冬令營試題）證明：令由柯西不等式，得 即 同理，得即 又由柯西不等式，得故從而 6，利用柯西不等式解三角問題。三角問題包括三角不等式，三角方程。三角極值等到，對于一些三角問題，我們?yōu)榱私o運用柯西不等式創(chuàng)造條件，經(jīng)常引進一些待定的參數(shù)，其值的確定由題設或者由等號成立的充要條件共同確定，也有一些三角極值問題我們可以反復運用柯西不等式進行解決。例 在中 ，求證： 證明：當且僅當A=B時等號成立。 令，于是引進參求的最值。 由柯西不等式， =又由平均值不等式得= （1）當且僅當=時等號成立。例、已知a,b為正常數(shù)，且0<x<,求的最小值。 解：利用柯西不等式，得等號成立的當且僅當時；即 時，于是 再由柯西不等式，得