17.3　勾股定理（第1課時）

1、八年級數(shù)學八年級數(shù)學上上 新課標新課標 冀教冀教 第十七章特殊三角形第十七章特殊三角形 學習新知學習新知檢測反饋檢測反饋17.3勾股定理勾股定理（第（第1課時）課時）下圖是三國時期數(shù)學家趙爽用來證明勾股下圖是三國時期數(shù)學家趙爽用來證明勾股定理的圖形和希臘政府為紀念希臘歷史上著定理的圖形和希臘政府為紀念希臘歷史上著名的數(shù)學家畢達哥拉斯而發(fā)行的一張郵票名的數(shù)學家畢達哥拉斯而發(fā)行的一張郵票,觀觀察這兩個圖形察這兩個圖形,你有什么感想你有什么感想?觀察思考觀察思考1.畫一個直角三角形畫一個直角三角形,使直角邊分別為使直角邊分別為3 cm和和4 cm, 測量一下斜邊是多少測量一下斜邊是多少?2.畫一個直

2、角邊分別是畫一個直角邊分別是6 cm和和8 cm的直角三角形的直角三角形, 測量一下斜邊是多少測量一下斜邊是多少?3.畫一個直角邊分別是畫一個直角邊分別是5 cm和和12 cm的直角三角形的直角三角形, 測量一下斜邊是多少測量一下斜邊是多少?問題問題:你能總結出直角三角形三邊之間的關系嗎你能總結出直角三角形三邊之間的關系嗎?學學 習習 新新 知知13 cm10 cm5 cm 如圖所示如圖所示,每個小正方形都是邊長為每個小正方形都是邊長為1的小正的小正方形方形,在所圍成的在所圍成的ABC中中,ACB=90.圖中以圖中以AC,BC,AB為邊的正方形的面積分別是多少為邊的正方形的面積分別是多少?這這

3、三個正方形的面積之間具有怎樣的關系三個正方形的面積之間具有怎樣的關系?問題問題:(1)以以AC為邊的正方形的面積是為邊的正方形的面積是; (2)以以BC為邊的正方形的面積是為邊的正方形的面積是; (3)以以AB為邊的正方形的面積是為邊的正方形的面積是; (4)三個正方形的面積之間關系三個正方形的面積之間關系 是是+=. 剛才我們接觸到的是一般的直角三角形剛才我們接觸到的是一般的直角三角形,那么對那么對于等腰直角三角形是否也存在這個關系呢于等腰直角三角形是否也存在這個關系呢?2AC2BC2AB2AC2BC2AB 如圖所示的是用大小相同的兩種顏色的正如圖所示的是用大小相同的兩種顏色的正方形地磚鋪成

4、的地面示意圖方形地磚鋪成的地面示意圖,ACB=90.分分別以別以AC,BC,AB為邊的三個正方形為邊的三個正方形(粗線標出粗線標出)的面積之間有怎樣的關系的面積之間有怎樣的關系? 以以AC,BC為邊的正方形的面積都是為邊的正方形的面積都是1 如圖所示如圖所示,在在ABC中中,ACB=90,請你猜請你猜想想:分別以分別以AC,BC,AB為邊的三個正方形的面積之為邊的三個正方形的面積之間是否也具有上述我們探究的面積之間的關系間是否也具有上述我們探究的面積之間的關系?若若具有這種關系具有這種關系,請用圖中的請用圖中的Rt ABC的邊把這種的邊把這種關系表示出來關系表示出來. 在直角三角形中在直角三角

5、形中,兩條直角兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方邊的平方和等于斜邊的平方.如果用如果用a,b和和c分別表示直角三角形的兩直角分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊邊和斜邊,那么那么a2+b2=c2.我們通過舉例得出勾股定理我們通過舉例得出勾股定理,那么能不能設計那么能不能設計一種方案驗證勾股定理呢一種方案驗證勾股定理呢?組組1:準備四塊直角邊分別為準備四塊直角邊分別為a,b,斜邊為斜邊為c的直角的直角 三角形的紙板三角形的紙板,拼出如下圖形拼出如下圖形:組組2:我們也準備了四個直角三角形我們也準備了四個直角三角形,兩條直角兩條直角 邊分別為邊分別為a,b,斜邊為斜邊為c.組組3:我們準備了兩個直角三

6、角形我們準備了兩個直角三角形,兩條直角邊兩條直角邊 為為a,b,斜邊為斜邊為c.思考思考:(1)運用此定理的前提條件是什么運用此定理的前提條件是什么?(2)公式公式a2+b2=c2有哪些變形公式有哪些變形公式?(3)由由(2)知在直角三角形中知在直角三角形中,只要知道只要知道條條 邊邊,就可以利用就可以利用求出求出. (1)由勾股定理的基本形式由勾股定理的基本形式a2+b2=c2可以得到一些可以得到一些 變形關系式變形關系式,如如a2=c2-b2=(c+b)(c-b); b2=c2-a2=(c+a)(c-a).知識拓展知識拓展(2)在鈍角三角形中在鈍角三角形中,三角形三邊長分別為三角形三邊長分

7、別為a,b,c, 若若c為最大邊長為最大邊長,則有則有a2+b2c2.課堂小結課堂小結1.勾股定理勾股定理: 如果直角三角形兩直角邊分別為如果直角三角形兩直角邊分別為a,b,斜邊為斜邊為c,那么那么 a2+b2=c2,即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的 平方平方.2.勾股定理的變形公式勾股定理的變形公式 要求直角三角形中某一邊的長度要求直角三角形中某一邊的長度,就要知道其他兩邊就要知道其他兩邊 的長度的長度.222222,acbcaabbc 檢測反饋檢測反饋1.直角三角形直角三角形ABC的兩直角邊的兩直角邊BC=12,AC=16,則則 ABC的斜邊的斜

8、邊AB的長是的長是 () A.20B.10 C.9.A解析解析: :BC2=122=144,AC2=162=256, AB2=AC2+BC2=400=202,AB=20.故選故選A.2.下圖中下圖中,不能用來證明勾股定理的是不能用來證明勾股定理的是()D解析解析:A,B,C都可以利用圖形面積得出都可以利用圖形面積得出a,b,c的關系的關系,即可證明勾股定理即可證明勾股定理,故故A,B,C選項不符合題意選項不符合題意;D.不能利用圖形面積證明勾股定理不能利用圖形面積證明勾股定理, ,故此選項符合故此選項符合題意題意. .故選故選D.3.直角三角形兩直角邊的長是直角三角形兩直角邊的長是6和和8,則

9、周長與最短則周長與最短 邊長的比是邊長的比是() A.7 1 B.4 1 C.25 7 D.31 7B解析解析:利用勾股定理求出斜邊的長為利用勾股定理求出斜邊的長為 10,6+8+10=24,24 6=4 1.故選故選B.4.如圖所示如圖所示,在在ABC中中,AB=AC,AD是是ABC的的角平分線角平分線,若若BC=10,AD=12,則則AC=. 13解析解析: :根據(jù)等腰三角形根據(jù)等腰三角形“三線合一三線合一”, ,判斷出判斷出ADCADC為直角三角形為直角三角形, ,利用勾股定理即可求出利用勾股定理即可求出AC的長為的長為13.故填故填13.5.如圖所示如圖所示,已知在已知在RtABC中中

10、,ACB=90,AB=10,分別以分別以AC,BC為直徑作半圓為直徑作半圓,面積分別面積分別記為記為S1,S2,則則S1+S2的值等于的值等于. 解析解析: :根據(jù)半圓面積公式結合勾股定理根據(jù)半圓面積公式結合勾股定理, ,知知S S1 1+ +S S2 2等等于以斜邊為直徑的半圓面積于以斜邊為直徑的半圓面積. .所以所以S1+S2= AB2=12.5.故填故填12.5.1812.56.如圖所示如圖所示,大正方形的面積是大正方形的面積是,另一種另一種方法計算大正方形的面積是方法計算大正方形的面積是,兩種結果兩種結果相等相等,推得推得. 解析解析: :大正方形的面積是大正方形的面積是(a+b)2.

11、另一種計算方法另一種計算方法是是: :4 ab+c2=c2+2ab.即即(a+b)2=4 ab+c2,化簡得化簡得a2+b2=c2.(a+b)22ab+c2a2+b2=c21212 7.剪若干個大小、形狀完全相同的直角三角形剪若干個大小、形狀完全相同的直角三角形,三三邊長分別記為邊長分別記為a,b,c(如圖如圖(1)所示所示),分別用分別用4張這樣的直角張這樣的直角三角形紙片拼成如圖三角形紙片拼成如圖(2)(3)所示的形狀所示的形狀,圖圖(2)中的兩個小中的兩個小正方形的面積正方形的面積S2,S3與圖與圖(3)中小正方形的面積中小正方形的面積S1有什么有什么關系關系?你能得到你能得到a,b,c

12、之間有什么關系之間有什么關系?解析解析: :根據(jù)已知圖形形狀得出面積關系根據(jù)已知圖形形狀得出面積關系, ,進一步證明勾股進一步證明勾股 定理即可求解定理即可求解. .解解:S2=b2, S3=a2,S1=(a+b)2-4 ab=a2+b2,S2+S3=S1,S1=c2,a2+b2=c2.12AD= =40(m) 8.如圖如圖(1)所示所示,小明家有一塊鈍角三角形菜地小明家有一塊鈍角三角形菜地,量得其中的量得其中的兩邊長分別為兩邊長分別為AC=50 m,BC=40 m,第三邊第三邊AB上的高為上的高為30 m,請你請你幫助小明計算這塊菜地的面積幫助小明計算這塊菜地的面積.(結果保留根號結果保留根號) 解析解析: :過點過點C C作作CDAB的延長線于的延長線于D點點,根據(jù)勾股定理和三角形的根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式計算即可面積公式計算即可. .解解:如圖如圖(2)所示所示,過點過點C作