高等數(shù)學(xué)2017年最新課件數(shù)學(xué)精神與方法第九講(在修改中)

1、數(shù)學(xué)精神與方法數(shù)學(xué)精神與方法第九講第九講 拓?fù)溲酃饪词澜纾ǘ┩負(fù)溲酃饪词澜纾ǘ╆P(guān)于物理學(xué)空時概念的評述關(guān)于物理學(xué)空時概念的評述 我們對于運(yùn)動在空間和時間連續(xù)統(tǒng)中的物質(zhì)有著來自直覺的觀念，但是其我們對于運(yùn)動在空間和時間連續(xù)統(tǒng)中的物質(zhì)有著來自直覺的觀念，但是其中每一個觀念都是難以捉摸的。中每一個觀念都是難以捉摸的。 空間的廣延性、時間的流逝、物質(zhì)的慣性和運(yùn)動，其中沒有一個概念是完空間的廣延性、時間的流逝、物質(zhì)的慣性和運(yùn)動，其中沒有一個概念是完全獨(dú)立于其它概念的，它們的定義互相依賴，而且在一定程度上是集體性全獨(dú)立于其它概念的，它們的定義互相依賴，而且在一定程度上是集體性的。的。 愛因斯坦的相對論

2、表明了，空時是什么的問題，在某種程度上與觀察者有愛因斯坦的相對論表明了，空時是什么的問題，在某種程度上與觀察者有關(guān)，而且空間和時間都不是獨(dú)立于物質(zhì)而存在的。從概念觀點(diǎn)上看，使情關(guān)，而且空間和時間都不是獨(dú)立于物質(zhì)而存在的。從概念觀點(diǎn)上看，使情況更為復(fù)雜的是，量子物理告訴我們，觀察者要影響觀察結(jié)果。因此，似況更為復(fù)雜的是，量子物理告訴我們，觀察者要影響觀察結(jié)果。因此，似乎先驗(yàn)地獨(dú)立于觀察者而存在的空間和時間事實(shí)上不僅與牛頓的絕對性觀乎先驗(yàn)地獨(dú)立于觀察者而存在的空間和時間事實(shí)上不僅與牛頓的絕對性觀念不相容，而且與人類的客觀性理想也不相容。念不相容，而且與人類的客觀性理想也不相容。 物理學(xué)是一門充滿著

3、概念上的陷阱的學(xué)科，其刻意追求的科學(xué)客觀性事實(shí)物理學(xué)是一門充滿著概念上的陷阱的學(xué)科，其刻意追求的科學(xué)客觀性事實(shí)上已成為一個難以達(dá)到的目標(biāo)。上已成為一個難以達(dá)到的目標(biāo)。當(dāng)測量當(dāng)測量、觀察不可能客觀時，還有什么是可信的？觀察不可能客觀時，還有什么是可信的？ 拓?fù)溲壑械囊痪S世界拓?fù)溲壑械囊痪S世界 觀察螞蟻搬家，候鳥遷徙，兩者運(yùn)動的軌跡都給出了一維空間的圖景。一維空間，通常我們觀察螞蟻搬家，候鳥遷徙，兩者運(yùn)動的軌跡都給出了一維空間的圖景。一維空間，通常我們認(rèn)為，就是歐幾里得幾何中的認(rèn)為，就是歐幾里得幾何中的“直線直線”令人疑惑，令人疑惑， 這是物理世界中的這是物理世界中的“直線直線”嗎？嗎？ “每個物

4、體都保持其靜止或勻速直線運(yùn)動的狀態(tài)，除非有外力作用于它迫使它改變那個狀每個物體都保持其靜止或勻速直線運(yùn)動的狀態(tài)，除非有外力作用于它迫使它改變那個狀態(tài)。態(tài)?！保ㄕ耘ｎD的（摘自牛頓的自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理） 看來，物理世界中的看來，物理世界中的“直線直線”，就是物體沒有受到外力作用時，它運(yùn)動的軌跡。問題是：有沒，就是物體沒有受到外力作用時，它運(yùn)動的軌跡。問題是：有沒有不受外力作用的物體？若有，它所做的勻速直線運(yùn)動是相對于那個參照物的？有不受外力作用的物體？若有，它所做的勻速直線運(yùn)動是相對于那個參照物的？ 何謂何謂“直線直線”？從觀念上講，？從觀念上講，“直直”的概念離不開的概念離不

5、開“運(yùn)算運(yùn)算”（尤指線性運(yùn)算），（尤指線性運(yùn)算）， “運(yùn)算運(yùn)算”需先對參與需先對參與運(yùn)算的量進(jìn)行運(yùn)算的量進(jìn)行“測量測量” ，而，而“測量測量”永遠(yuǎn)擺脫不了永遠(yuǎn)擺脫不了“誤差誤差”，更不必說，更不必說“測量測量”會不可避免地對被測會不可避免地對被測對象產(chǎn)生影響（所測的必然不是要測的），因此，我們原則上沒辦法知道物理上的直線是什對象產(chǎn)生影響（所測的必然不是要測的），因此，我們原則上沒辦法知道物理上的直線是什么，當(dāng)然，也就從來沒有真正弄明白過一維空間是什么！么，當(dāng)然，也就從來沒有真正弄明白過一維空間是什么！ 我們能否撇開我們能否撇開“測量測量”來考量物理世界中的一維空間呢？來考量物理世界中的一維空間

6、呢？ 以拓?fù)涞难酃鈦砜疾煲痪S空間以拓?fù)涞难酃鈦砜疾煲痪S空間或許，這更接近于所要理解之對象的本或許，這更接近于所要理解之對象的本質(zhì)質(zhì)不愧為是一種明智之舉。在拓?fù)溲劭磥?，一維空間可用一維的無邊連通流不愧為是一種明智之舉。在拓?fù)溲劭磥恚痪S空間可用一維的無邊連通流形作為數(shù)學(xué)模型來加以描述。一維的無邊連通流形只有兩類：形作為數(shù)學(xué)模型來加以描述。一維的無邊連通流形只有兩類： 一維歐氏空間一維歐氏空間 E1單位園周單位園周S1 問題：作為物理世界一維空間的數(shù)學(xué)描述，問題：作為物理世界一維空間的數(shù)學(xué)描述， 選選E1好，還是選好，還是選S1好？好？在拓?fù)溲劭磥恚哼x在拓?fù)溲劭磥恚哼xS S1 1比選比選E E1

7、1好好 E1可以嵌入可以嵌入S1中而成為后者的一個真子空間；中而成為后者的一個真子空間； S1是緊致而連通的（有界無邊），它是是緊致而連通的（有界無邊），它是E1的一點(diǎn)緊致化；的一點(diǎn)緊致化； S1沒有與自身同胚的真子空間，而沒有與自身同胚的真子空間，而E1無此性質(zhì)。無此性質(zhì)。這是這是因?yàn)橐驗(yàn)閷?shí)現(xiàn)使實(shí)現(xiàn)使E1成為成為S1的真子空間的真子空間的同胚的同胚S1E1S S1 1中的運(yùn)動中的運(yùn)動 所謂所謂“S1中的運(yùn)動中的運(yùn)動”，這里是指，這里是指S1中子空間上的拓?fù)鋭恿χ凶涌臻g上的拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)。需指出的是，即便空間是簡單的，其上的運(yùn)動也可能出現(xiàn)系統(tǒng)。需指出的是，即便空間是簡單的，其上的運(yùn)動也可能出現(xiàn)很

8、復(fù)雜的模式，例如，出現(xiàn)混沌運(yùn)動。因此，對很復(fù)雜的模式，例如，出現(xiàn)混沌運(yùn)動。因此，對S1中的運(yùn)動，我中的運(yùn)動，我們只能限于舉兩個例子作一點(diǎn)考察。們只能限于舉兩個例子作一點(diǎn)考察。 ：，名的沙可夫斯基定理名的沙可夫斯基定理種運(yùn)動，我們有如下著種運(yùn)動，我們有如下著中的一種運(yùn)動。關(guān)于這中的一種運(yùn)動。關(guān)于這是是 半離散動力系統(tǒng)半離散動力系統(tǒng)為一個連續(xù)映射，那么為一個連續(xù)映射，那么設(shè)設(shè)例1例11SxfnxXXXXfXn,:1 ,0周期點(diǎn)。周期點(diǎn)。必有必有時，時，周期點(diǎn)，且周期點(diǎn)，且有有那么，當(dāng)那么，當(dāng)2的次冪2的次冪倍奇數(shù)倍奇數(shù)2 2倍奇數(shù)倍奇數(shù)2 22倍奇數(shù)2倍奇數(shù)全體奇數(shù)全體奇數(shù): :述方式排列述方式排

9、列如果將全體正整數(shù)按下如果將全體正整數(shù)按下定理定理n n2 2kfkmmfnn,1222227252327252327252375321nnn222 有趣的問題是：圓周上的哪種運(yùn)動可以看作自然運(yùn)動，即，不受外力作用有趣的問題是：圓周上的哪種運(yùn)動可以看作自然運(yùn)動，即，不受外力作用的運(yùn)動？自然運(yùn)動的觀念有存在的必要嗎？的運(yùn)動？自然運(yùn)動的觀念有存在的必要嗎？ 的。的。周的無理旋轉(zhuǎn)拓?fù)涔曹椫艿臒o理旋轉(zhuǎn)拓?fù)涔曹椀膱A周自同胚總是與圓的圓周自同胚總是與圓，無周期點(diǎn)的，且保向，無周期點(diǎn)的，且保向是一個無理數(shù)。遍歷的是一個無理數(shù)。遍歷的其中其中旋轉(zhuǎn)：旋轉(zhuǎn)：最簡單的是如下的無理最簡單的是如下的無理子子期點(diǎn)的圓周自

10、同胚的例期點(diǎn)的圓周自同胚的例中是稠密的。這種無周中是稠密的。這種無周的任何軌道都在的任何軌道都在則它是遍歷的，即，它則它是遍歷的，即，它無周期點(diǎn)且足夠光滑，無周期點(diǎn)且足夠光滑，若若上的保向自同胚上的保向自同胚周期點(diǎn)的周期點(diǎn)的確實(shí)存在有確實(shí)存在有定的周期定的周期周期點(diǎn)；并且對任何指周期點(diǎn)；并且對任何指則其僅有則其僅有周期點(diǎn)周期點(diǎn)有有若若述結(jié)論述結(jié)論為保向同胚時，已知下為保向同胚時，已知下例如，當(dāng)例如，當(dāng)兩種情形來討論兩種情形來討論為保向同胚和反向同胚為保向同胚和反向同胚一系統(tǒng)，可分一系統(tǒng)，可分上的一種運(yùn)動。對于這上的一種運(yùn)動。對于這就給出了S就給出了SZ Z上的離散動力系統(tǒng)上的離散動力系統(tǒng)那么那

11、么是同胚是同胚設(shè)設(shè)例2例21 1,e,SS:S2S1,SS:SSS:i2111111111zzfmmmmfffxfnxfn，。，：。，拓?fù)溲壑械亩S世界拓?fù)溲壑械亩S世界 在拓?fù)溲劭磥?，二維空間的合理模型可在緊致的二維無邊連通流形中搜尋。在拓?fù)溲劭磥?，二維空間的合理模型可在緊致的二維無邊連通流形中搜尋。緊致的二維無邊連通流形稱作緊致的二維無邊連通流形稱作閉曲面閉曲面，其拓?fù)浞诸惽闆r遠(yuǎn)比一維無邊連通，其拓?fù)浞诸惽闆r遠(yuǎn)比一維無邊連通流形的分類情況復(fù)雜。事實(shí)上，閉曲面用拓?fù)溲劭矗袩o窮多類，其分類流形的分類情況復(fù)雜。事實(shí)上，閉曲面用拓?fù)溲劭?，有無窮多類，其分類情況現(xiàn)介紹如下：情況現(xiàn)介紹如下：可定向閉

12、曲可定向閉曲面面不可定向閉不可定向閉曲面曲面S2T22T23T2RP22RP23RP2閉曲面分類定理閉曲面分類定理 任何一個閉曲面必定同胚于且只能任何一個閉曲面必定同胚于且只能同胚于下列曲面之一：同胚于下列曲面之一：S2 （可定向）；（可定向）；T2，2T2，3T2，mT2， （可定向）；（可定向）； RP2，2RP2， 3RP2，mRP2, （不可定向）。（不可定向）。；mm2m;22m2222RPTS如下：如下：數(shù)數(shù)注：閉曲面的歐拉示性注：閉曲面的歐拉示性 。的頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)和面數(shù)分別表示和，其中，；同胚，那么與多面形閉曲面之同胚的多面形。如果單純剖分的手段找到與每個閉曲面都可以通過：PPP

13、PPPPP2PS1PSfevfev歐拉示性數(shù)的計(jì)算歐拉示性數(shù)的計(jì)算球面與圓盤球面與圓盤 將兩個圓盤沿它們的邊界圓周粘合，將兩個圓盤沿它們的邊界圓周粘合，就得到了球面。就得到了球面。MobiusMobius帶及其表示帶及其表示交叉帽：交叉帽： Mobius帶的一種示帶的一種示意表示意表示German mathematician August MbiusGerman mathematician August MbiusBorn: 17 Nov 1790 in Schulpforta, Saxony (now Germany)Died: 26 Sept 1868 in Leipzig, German

14、yMbius was the first to attempt the classification of surfaces. In an 1870 paper he proved the above theorem for orientable surfaces smoothly imbedded in 3-dimensional Euclidean space. 環(huán)面環(huán)面T T2 2與環(huán)柄與環(huán)柄 在環(huán)面上挖去一個圓盤（的內(nèi)部）得到的就是所在環(huán)面上挖去一個圓盤（的內(nèi)部）得到的就是所謂的環(huán)柄。謂的環(huán)柄。 在一個曲面上挖去一個圓盤，然后將一個環(huán)柄的在一個曲面上挖去一個圓盤，然后將一個環(huán)柄的邊界圓

15、周與該曲面所開圓洞的邊界圓周焊接，這邊界圓周與該曲面所開圓洞的邊界圓周焊接，這種手術(shù)稱作在該曲面上添加一個環(huán)柄。例如，在種手術(shù)稱作在該曲面上添加一個環(huán)柄。例如，在球面上添加一個環(huán)柄，得到環(huán)面。球面上添加一個環(huán)柄，得到環(huán)面。環(huán)面的形變（包志強(qiáng)制作）環(huán)面的形變（包志強(qiáng)制作）實(shí)射影平面實(shí)射影平面RPRP2 2的制作的制作 在一個曲面上挖去一個圓盤，然后將一個在一個曲面上挖去一個圓盤，然后將一個M bius帶的邊界圓周與該曲帶的邊界圓周與該曲面所開圓洞的邊界圓周焊接，這種手術(shù)稱作在該曲面上添加一個面所開圓洞的邊界圓周焊接，這種手術(shù)稱作在該曲面上添加一個Mbiusbius帶帶。例如，在球面上添加一個。例

16、如，在球面上添加一個Mbiusbius帶帶，得到實(shí)射影平面，得到實(shí)射影平面RP2。注意，實(shí)射影平面注意，實(shí)射影平面RP2是不能嵌入是不能嵌入3維歐氏空間的。維歐氏空間的。這是球面這是球面上添加一上添加一個交叉?zhèn)€交叉帽帽示示意實(shí)射影意實(shí)射影平面平面KleinKlein瓶瓶2RP2RP2 2的制作（的制作（1 1） Klein瓶事實(shí)上不能嵌入瓶事實(shí)上不能嵌入3維歐氏空間，這里畫出的維歐氏空間，這里畫出的Klein瓶是有洞瓶是有洞的的Klein瓶。瓶。KleinKlein瓶的制作（瓶的制作（2 2）Klein瓶由兩個瓶由兩個M bius帶沿邊界圓帶沿邊界圓周粘合而成周粘合而成The Klein bo

17、ttle is named after the German mathematician Felix Klein (1849-1925). Born: 25 April 1849 in Dsseldorf, Prussia (now Germany)Died: 22 June 1925 in Gttingen, Germany Felix Klein is best known for his work in non-euclidean geometry, for his work on the connections between geometry and group theory, an

18、d for results in function theory. He was born on 25/4/1849 and delighted in pointing out that each of the day (52), month (22), and year (432) was the square of a prime. 閉曲面的制作閉曲面的制作 任何閉曲面必同胚于或者球面，或者球面上添加有限任何閉曲面必同胚于或者球面，或者球面上添加有限個環(huán)柄，或者球面上添加有限個個環(huán)柄，或者球面上添加有限個Mbiusbius帶。帶。 這些曲面中的任意兩個是不同胚的。這些曲面中的任意兩個是不同

19、胚的。.Mobius2Mobius0帶帶個個等同于對球面添加等同于對球面添加帶帶個個個環(huán)柄和個環(huán)柄和注：對球面添加注：對球面添加nmnm球面是平面的一點(diǎn)緊球面是平面的一點(diǎn)緊致化致化問題：作為二維空間的數(shù)學(xué)模型，選哪種閉曲面為好？問題：作為二維空間的數(shù)學(xué)模型，選哪種閉曲面為好？ 從拓?fù)溲鄣慕嵌瓤?，選球面從拓?fù)溲鄣慕嵌瓤矗x球面S2為好。這是因?yàn)闉楹谩＿@是因?yàn)镾2是二維歐氏空間的一點(diǎn)緊致化；是二維歐氏空間的一點(diǎn)緊致化；S2不能與自己的任何真子空間同胚，特別地，不與不能與自己的任何真子空間同胚，特別地，不與S1同胚；同胚；S2具有最好的各向同性性質(zhì)，具體說就是具有最好的各向同性性質(zhì)，具體說就是: 若

20、若c是是S2中的一條簡單閉中的一條簡單閉曲線，則曲線，則 （1）S2c有兩個連通分支，而且這兩個連通支都同胚于開圓盤；有兩個連通分支，而且這兩個連通支都同胚于開圓盤； （2）c在在S2中的加寬一定是圓柱面。中的加寬一定是圓柱面。簡單閉曲線簡單閉曲線-同胚于圓周同胚于圓周的曲線的曲線S S2 2中的運(yùn)動中的運(yùn)動現(xiàn)考察現(xiàn)考察S2中的運(yùn)動，即中的運(yùn)動，即S2的子空間上的動力系統(tǒng)。的子空間上的動力系統(tǒng)。圖。畫出其軌線的分布示意對于此系統(tǒng)，我們可以陣。是一個二階非奇異實(shí)矩，其中上的動力系統(tǒng)面考慮如下定義的歐氏平AxetxtA,:2 22 22 2E ER RE EE E3 3例例鞍點(diǎn)鞍點(diǎn)焦點(diǎn)焦點(diǎn)中心中心

21、雙切結(jié)點(diǎn)雙切結(jié)點(diǎn)單切結(jié)點(diǎn)單切結(jié)點(diǎn)星形結(jié)點(diǎn)星形結(jié)點(diǎn) ?？臻g同胚表示其左右兩邊給出的并且，那么。上的動力系統(tǒng)考慮22222222RPSS,Orb1,SS:SZZxxxxxmxm例4例4的圖解222RPSZn n維維(n(n3)3)空間的理想模型空間的理想模型 對于一維和二維空間，我們從拓?fù)溲鄣慕嵌扔^察，分別選擇對于一維和二維空間，我們從拓?fù)溲鄣慕嵌扔^察，分別選擇S1和和S2作為描作為描述它們的數(shù)學(xué)模型。在做這樣的選擇時，我們是做了充分考慮的，因?yàn)槲沂鏊鼈兊臄?shù)學(xué)模型。在做這樣的選擇時，我們是做了充分考慮的，因?yàn)槲覀冎酪痪S和二維無邊連通流形的拓?fù)浞诸?，因此給出的選擇能夠通過系們知道一維和二維無邊連通

22、流形的拓?fù)浞诸?，因此給出的選擇能夠通過系統(tǒng)地對比預(yù)選對象而做出。對于三維空間，我們自然傾向于選擇三維球面統(tǒng)地對比預(yù)選對象而做出。對于三維空間，我們自然傾向于選擇三維球面S3作為描述它的數(shù)學(xué)模型。可是，我們有充分的理由做出這樣的選擇嗎？作為描述它的數(shù)學(xué)模型。可是，我們有充分的理由做出這樣的選擇嗎？ 這里產(chǎn)生了一個自然的問題：三維的無邊緊致連通流形有哪些拓?fù)漕愋?？這里產(chǎn)生了一個自然的問題：三維的無邊緊致連通流形有哪些拓?fù)漕愋停酷槍Υ藛栴}，一個首要的基本問題是：針對此問題，一個首要的基本問題是： 龐加萊猜想龐加萊猜想 如果如果M是一個三維的無邊緊致連通流形，并且是單連通的，是一個三維的無邊緊致連通流

23、形，并且是單連通的，那么那么M與與S3同胚。同胚。 這是法國數(shù)學(xué)大師龐加萊于這是法國數(shù)學(xué)大師龐加萊于1904年提出的猜想。許多數(shù)學(xué)家曾嘗試去證明年提出的猜想。許多數(shù)學(xué)家曾嘗試去證明這一猜想；不止一次好像已經(jīng)成功了，可是并沒有真正成功。這一猜想；不止一次好像已經(jīng)成功了，可是并沒有真正成功。 出乎許多數(shù)學(xué)家的意料，出乎許多數(shù)學(xué)家的意料，1961年，美國數(shù)學(xué)家年，美國數(shù)學(xué)家S.Smale證明了高維的龐加證明了高維的龐加萊猜想。萊猜想。1982年，美國數(shù)學(xué)家年，美國數(shù)學(xué)家M.Freedman又證明了四維的龐加萊猜想。又證明了四維的龐加萊猜想。他們的結(jié)果如下：他們的結(jié)果如下： Smale 定理定理 如果

24、如果M是一個是一個n維的無邊緊致連通光滑流形，并與維的無邊緊致連通光滑流形，并與Sn有相有相同的同倫型，那么當(dāng)同的同倫型，那么當(dāng)n大于大于4時，時，M與與Sn同胚。同胚。 Freedman定理定理 Smale定理在定理在n等于等于4時也成立。時也成立。 這些結(jié)果是微分拓?fù)淅碚撝械闹晒@些結(jié)果是微分拓?fù)淅碚撝械闹晒?，S.Smale和和M.Freedman因此而分因此而分別榮獲別榮獲1966年和年和1986年的菲爾茲獎。年的菲爾茲獎。 Poincare猜想是國際數(shù)學(xué)界長期關(guān)注的一個重大難題，被列為七大猜想是國際數(shù)學(xué)界長期關(guān)注的一個重大難題，被列為七大“數(shù)學(xué)世紀(jì)難題數(shù)學(xué)世紀(jì)難題”之一，之一

25、，美國美國Clay研究所懸賞百萬美元征求證明。研究所懸賞百萬美元征求證明。 100多年來，無數(shù)的數(shù)學(xué)家關(guān)注并致力于證實(shí)多年來，無數(shù)的數(shù)學(xué)家關(guān)注并致力于證實(shí)Poincare猜想。猜想。S.Smale 曾因解決曾因解決4維以上廣義維以上廣義龐加萊猜想獲龐加萊猜想獲1966年菲爾茲獎，之后年菲爾茲獎，之后, M. H. Fredman 解決了解決了4維廣義龐加萊猜想獲維廣義龐加萊猜想獲1986年菲年菲爾茲獎爾茲獎 , 但本來但本來3維龐加萊猜想仍未解決。維龐加萊猜想仍未解決。20世紀(jì)世紀(jì)80年代初，美國數(shù)學(xué)家年代初，美國數(shù)學(xué)家Thurston教授因?yàn)榈媒淌谝驗(yàn)榈贸隽藢嫾尤R幾何結(jié)構(gòu)猜想的部分證明結(jié)果

26、而獲得菲爾茲獎。之后，美國數(shù)學(xué)家出了對龐加萊幾何結(jié)構(gòu)猜想的部分證明結(jié)果而獲得菲爾茲獎。之后，美國數(shù)學(xué)家Hamilton在在這個猜想的證明上取得了關(guān)鍵進(jìn)展。這個猜想的證明上取得了關(guān)鍵進(jìn)展。2003年，俄羅斯數(shù)學(xué)家年，俄羅斯數(shù)學(xué)家Grigory Perelman （格里高利（格里高利佩佩雷爾曼）雷爾曼） 更是提出了解決這一猜想的要領(lǐng)和框架，并取得重大突破。更是提出了解決這一猜想的要領(lǐng)和框架，并取得重大突破。 佩雷爾曼是圣彼得堡斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所的研究員，在過去佩雷爾曼是圣彼得堡斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所的研究員，在過去10年中一直致力于微分幾何與年中一直致力于微分幾何與代數(shù)拓?fù)涞难芯?。代?shù)拓?fù)涞难芯俊?/p>

27、2002年年11月，佩雷爾曼通過互聯(lián)網(wǎng)公布了一個研究報(bào)告，聲稱證明了由美月，佩雷爾曼通過互聯(lián)網(wǎng)公布了一個研究報(bào)告，聲稱證明了由美國數(shù)學(xué)家瑟斯頓（國數(shù)學(xué)家瑟斯頓（William P. Thurston）在）在25年前提出的有關(guān)三維流形的年前提出的有關(guān)三維流形的“幾何化猜想幾何化猜想”，而，而“龐加萊猜想龐加萊猜想”正是后者的一個特例。由于每隔數(shù)年就會冒出一個新的正是后者的一個特例。由于每隔數(shù)年就會冒出一個新的“證明證明”隨后又被推翻，隨后又被推翻，因此數(shù)學(xué)界對此類報(bào)告一向是非常謹(jǐn)慎的。四個月后佩雷爾曼又在網(wǎng)上公布了第二份報(bào)告，因此數(shù)學(xué)界對此類報(bào)告一向是非常謹(jǐn)慎的。四個月后佩雷爾曼又在網(wǎng)上公布了第

28、二份報(bào)告，介紹了證明的更多細(xì)節(jié)。同時他也通過電子郵件與該領(lǐng)域的少數(shù)專家進(jìn)行交流。介紹了證明的更多細(xì)節(jié)。同時他也通過電子郵件與該領(lǐng)域的少數(shù)專家進(jìn)行交流。 2003年年4月，應(yīng)華裔數(shù)學(xué)家田剛的邀請，佩雷爾曼在麻省理工學(xué)院作了三場演講，結(jié)果月，應(yīng)華裔數(shù)學(xué)家田剛的邀請，佩雷爾曼在麻省理工學(xué)院作了三場演講，結(jié)果大獲成功。他似乎對所有問題和質(zhì)疑都有準(zhǔn)備大獲成功。他似乎對所有問題和質(zhì)疑都有準(zhǔn)備或者流利地應(yīng)答，或者指出其屬枝節(jié)末流。或者流利地應(yīng)答，或者指出其屬枝節(jié)末流。聽過演講的專業(yè)人士認(rèn)為他的工作是極富創(chuàng)造性的，聽過演講的專業(yè)人士認(rèn)為他的工作是極富創(chuàng)造性的，“即使證明有誤，他也發(fā)展了一些工具即使證明有誤，他

29、也發(fā)展了一些工具和思想，足以導(dǎo)致對和思想，足以導(dǎo)致對幾何化猜想幾何化猜想的精致處理，其中有極為振奮人心的東西的精致處理，其中有極為振奮人心的東西”，克萊研究所，克萊研究所所長卡爾森（所長卡爾森（Jim Carlson）如是說。）如是說。 在在Hamilton 和和Perelman 等人重要工作基礎(chǔ)上，中國數(shù)學(xué)家朱熹平和曹懷等人重要工作基礎(chǔ)上，中國數(shù)學(xué)家朱熹平和曹懷東給出了東給出了Poincare猜想和猜想和Thurston幾何化猜想的完整證明，全文幾何化猜想的完整證明，全文300多頁，多頁，2006年六月份發(fā)表在年六月份發(fā)表在亞洲數(shù)學(xué)雜志亞洲數(shù)學(xué)雜志上。上。 對于一項(xiàng)世界難題的證明往往要經(jīng)過數(shù)

30、學(xué)家們長時間的系統(tǒng)審查之后才能對于一項(xiàng)世界難題的證明往往要經(jīng)過數(shù)學(xué)家們長時間的系統(tǒng)審查之后才能最終確立其在數(shù)學(xué)界的地位。最終確立其在數(shù)學(xué)界的地位。S Sn n(n3) (n3) 的良好性質(zhì)的良好性質(zhì) Sn是連通緊致無邊的光滑流形；是連通緊致無邊的光滑流形； Sn是是n維歐氏空間的一點(diǎn)緊致化；維歐氏空間的一點(diǎn)緊致化； Sn沒有能與其自身同胚的真子空間；沒有能與其自身同胚的真子空間； Sn具有良好的各向同性性質(zhì)，例如，如果具有良好的各向同性性質(zhì)，例如，如果M是是Sn的微分同胚于的微分同胚于Sn-1的正則子流形，那么的正則子流形，那么 （1）SnM恰有兩個連通分支，它們是同胚的，并以恰有兩個連通分支

31、，它們是同胚的，并以M為邊界；為邊界； （2）M在在Sn中的加寬同胚于中的加寬同胚于Sn-10,1。拓?fù)溲劭锤呔S空間拓?fù)溲劭锤呔S空間 根據(jù)現(xiàn)有的拓?fù)淅碚?，選擇根據(jù)現(xiàn)有的拓?fù)淅碚摚x擇S3作為描述三維空間的數(shù)學(xué)模型，只能基于以作為描述三維空間的數(shù)學(xué)模型，只能基于以往的經(jīng)驗(yàn)。即便如此，由于往的經(jīng)驗(yàn)。即便如此，由于S3具有的良好性質(zhì)，我們對這樣的選擇是有信具有的良好性質(zhì)，我們對這樣的選擇是有信心的。心的。 不僅如此，我們還愿意在自己的思想意識中，建構(gòu)起能夠容納世間萬物，不僅如此，我們還愿意在自己的思想意識中，建構(gòu)起能夠容納世間萬物，并能容納我們思維產(chǎn)物的更高維空間；作為這種空間的理想模型，并能容納我們思維產(chǎn)物的更高維空間；作為這種空間的理想模型，Sn應(yīng)成應(yīng)成為我們的最佳選擇。這不僅是因?yàn)闉槲?/p>