矩陣的行(列)秩

1、第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩一、矩陣的行一、矩陣的行(列列)秩秩的秩稱為矩陣的秩稱為矩陣 A 的的行秩行秩；則矩陣則矩陣 A 的行向量組的行向量組12(,),1,2,iiinaaais 的秩的秩稱為稱為矩陣矩陣 A 的的列秩列秩.矩陣矩陣 A 的列向量組的列向量組12,1,2,jjsjaajna 定義定義111212122212,nnsssnaaaaaaAaaa 設設第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩引理引理 如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組1111221211222211220000nnnnsssnna xa xa xa xa x

2、axa xa xa x （1）的系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣111212122212nnsssnaaaaaaAaaa 的行秩的行秩 ，那么它有非零解，那么它有非零解rn （若（若(1)只有零解，則只有零解，則 ）.rn 第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩證：證：的秩為的秩為r，設矩陣設矩陣 A 的行向量組的行向量組12(,),1,2,iiiinaaais 且不妨設為其一個極大無關組且不妨設為其一個極大無關組.12,r 于是方程組于是方程組(1)與方程組與方程組(1)是同解的是同解的.由于向量組與向量組等價，由于向量組與向量組等價，22,sk k 12,r 11112212112

3、22211220000nnnnrrrnna xa xa xa xa xaxa xa xa x （1）所以所以(1)有非零解，從而有非零解，從而(1)有非零解有非零解.在在(1)中中,rn 第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩定理定理4 矩陣的行秩矩陣的列秩矩陣的行秩矩陣的列秩 證明：設證明：設 ，A的行秩的行秩r，A的列秩的列秩r1， ()ijs nAa 下證下證 1rr 先證先證 1rr 則向量組則向量組 的秩為的秩為r， 12,s 不妨設不妨設 是它的一個極大無關組，是它的一個極大無關組，12,r 于是于是 線性無關，線性無關，12,r 設設A的行向量組為的行向量組

4、為12(,),1,2,iiiinaaais 第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩即即111212112122221122000rrrrnnrnra xa xa xa xa xa xa xaxa x （2）只有零解只有零解. .11220rrxxx 只有零解只有零解. .所以方程組所以方程組由引理，方程組由引理，方程組（2）的系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣 1121112222112rrnnrnaaaaaaAaaa （未知量的個數(shù)）（未知量的個數(shù)）. .的行秩的行秩r 第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩112111222212(,),(,),(,)rrrrr

5、raaaaaaaaa是是r個線性無關的行向量，個線性無關的行向量，中一定可以找到中一定可以找到 r 個線性無關的向量個線性無關的向量.從而在矩陣從而在矩陣 的行向量組的行向量組1A1121112222122(,),(,),(,)rrnrnaaaaaaaaa不妨設不妨設則該向量組的延伸組則該向量組的延伸組112111,11121,(,),(,)rrnrrrrrrnraaaaaaaaaa 于是矩陣于是矩陣A的列秩的列秩 1rr 同理可證同理可證 .1rr 所以所以 1rr 也線性無關也線性無關第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩矩陣的行秩與矩陣的列秩統(tǒng)稱為矩陣的行秩與矩陣的

6、列秩統(tǒng)稱為矩陣的秩矩陣的秩，記作記作秩秩A 或或 、()rank A( ).R A定義定義注注 設，則設，則 ijs nAa ( )min( , ).R As n 若則稱若則稱A為為行満秩的行満秩的；(),R As 若則稱若則稱A為為列満秩的列満秩的.( ),R An 若，則若，則0A ( )0.R A 第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩二、矩陣秩的性質二、矩陣秩的性質定理定理5 設設 ， 則則()ijn nAa 0( );AR An 0( )AR An 第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩證：證：若若 n 1， 則則A只有一個一維行向量只有一

7、個一維行向量0，(),R An A的的 n 個行向量線性相關個行向量線性相關.從而從而A0，00.A 若若 n 1， 則則A的行向量中至少有一個能由其余的行向量中至少有一個能由其余行向量線性表出，行向量線性表出，依次減去其余行的相應倍數(shù)，這一行就全變成了依次減去其余行的相應倍數(shù)，這一行就全變成了0.從而在行列式從而在行列式 中，用這一行中，用這一行A0.A第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩若若 n 1，由知，由知，0A 對對 n 作數(shù)學歸納法作數(shù)學歸納法.A0，從而從而()01.R A 假若對假若對 n1 級矩陣結論成立，下證級矩陣結論成立，下證 n 級的情形級的情形

8、.設設 ，()ijn nAa 為為A的行向量的行向量.12,n 考察考察A的第一列元素的第一列元素:11211,naaa若它們全為零，則若它們全為零，則( )1;R Ann若它們有一個元素不為零，若它們有一個元素不為零，110,a 不妨設不妨設則則 的第的第2至至 n 行減去第行減去第1行的適當倍數(shù)后可為行的適當倍數(shù)后可為A第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩11121222200nnnnnaaaaaAaa 222112nnnnaaaaa 12111(0,),2,iiiniaaaina 其中其中由知，由知，0A 22220,nnnnaaaa 由歸納假設，矩陣的秩由歸納假

9、設，矩陣的秩n1，2222nnnnaaaa 第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩121212211110,nnnnaakkkkaa 1212111111,nnaaaa 從而向量組從而向量組線性相關，線性相關， 故在不全為零的數(shù)使故在不全為零的數(shù)使2,nkk121221111110,nnnaakkaa改寫一下，有改寫一下，有線性相關線性相關12,n ( ).R An不全為零的不全為零的n個數(shù)個數(shù)第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩推論推論1齊次線性方程組齊次線性方程組().R An ( ).R An111122121122221122000nnnn

10、nnnnna xa xa xa xa xaxa xaxax ( ) 有非零解有非零解 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣 的行列式的行列式 =0() ijn nAa A( ) 只有零解只有零解 0 A( ) 第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩線性相關線性相關1112121222120.nnnnnnaaaaaaaaa 行列式行列式線性無關線性無關1112121222120.nnnnnnaaaaaaaaa 行列式行列式n 個個 n 維向量維向量12(,),1,2,iiiinaaain 推論推論2第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩定義定義k 級子式級子式在一個在一個

11、 sn 矩陣矩陣 A 中任意選定中任意選定 k 行行 k 列列個元素按原來次序個元素按原來次序所所組成的組成的 k 級行列式，稱為矩陣級行列式，稱為矩陣位于這些行和列的交點上的位于這些行和列的交點上的2k 1min( , ) ,ks nA的一個的一個k級子式級子式 注注矩陣矩陣 A 的的 k 級子式共有個級子式共有個. .sn kksnC C第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩 R ArA r有一個有一個 級子式不為級子式不為0.個個 級子式級子式r1r 不等于不等于0，且所有，且所有 級子式等于級子式等于0定理定理6 矩陣矩陣 的秩為的秩為 的充要條件是中有一的充要條

12、件是中有一rAA注注 的所有的所有 級子式等于級子式等于0； R ArA 1r 若若 則則 的不為的不為0的級子式所在行的級子式所在行(列列) R ArA r就是就是A行行(列列)向量組的一個極大無關組向量組的一個極大無關組.第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩則則A的任意個行向量的任意個行向量1r 11121112nrrrnaaaAaaa 由定理由定理5的推論的推論2，證：證： ,R Ar 設設都線性相關，都線性相關，從而從而A的任意級子式的行向量也的任意級子式的行向量也1r 線性相關線性相關.A的級子式全為的級子式全為0.1r 下證下證A至少有一個級子式不為至少有一

13、個級子式不為0.r ,ijs nAa 設設 ,R Ar 因為因為所以所以A有個行向量線性無關，有個行向量線性無關，r不妨設不妨設A的前個行向量線性無關，的前個行向量線性無關，r作矩陣作矩陣第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩.tr 則行列式則行列式顯然顯然 的行秩為，的行秩為，1Ar從而從而 的列秩也為，的列秩也為，1Ar不妨設在不妨設在 中前列線性無關，中前列線性無關，1Ar11121120.rrrrraaaaaa 此即此即 A 的一個的一個 級非零子式級非零子式. . r若若 A 的所有的所有 級子式全為級子式全為 0，1r 所有級數(shù)大于的子式全為所有級數(shù)大于的子式

14、全為 0.r則則 A 的的().R At 設設由必要性由必要性, ,不可能有不可能有.tr 否則否則A的的 級子式全為級子式全為0.r同樣同樣, ,不可能有不可能有.tr 否則否則A有有 級子式不為級子式不為0.(1)tr第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩三、秩的計算三、秩的計算方法一方法一按定義求出按定義求出A的行的行( (列列) )向量組的秩向量組的秩. 級數(shù)級數(shù). .方法二方法二利用定理利用定理6， 等于等于 中非零子式的最大中非零子式的最大( )R AA例例1求下列矩陣的秩求下列矩陣的秩21 03203 12500 04300 000A 3R A 第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的秩方法三方法三用初等變換化用初等變換化 A 為階梯陣為階梯陣 J， 等于等于( )R AJ中非零行的行數(shù)中非零行的行數(shù). .原理：原理： 初等變換不改變矩陣的秩；初等變換不改變矩陣的秩；階梯陣的秩等于其中非零行的行數(shù)階梯陣的秩等于其中非零行的行數(shù) 3205032361201531641 4A 例例2求矩陣求矩陣A的秩的秩第三章第三章 線性方程組線性方程組 4 4 矩陣的秩矩陣的