柯西——古薩基本定理ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 柯西古薩根本定理柯西古薩根本定理一、問題的提出二、根本定理三、典型例題一、問題的提出一、問題的提出察看上節(jié)例察看上節(jié)例1, , )( 在復(fù)平面內(nèi)處處解析在復(fù)平面內(nèi)處處解析被積函數(shù)被積函數(shù)zzf 此時(shí)積分與道路無關(guān)此時(shí)積分與道路無關(guān). 察看上節(jié)例察看上節(jié)例4, ,1 0 0zzn 時(shí)時(shí)為為被被積積函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng) , 0的內(nèi)部不是處處解析的的內(nèi)部不是處處解析的為中心的圓周為中心的圓周它在以它在以Cz cizzz. 02d1 0此時(shí)此時(shí)察看上節(jié)例察看上節(jié)例3, ,)( iyxzzf 被積函數(shù)被積函數(shù)由于不滿足柯西黎曼方程由于不滿足柯西黎曼方程, 故而在復(fù)平面內(nèi)故而在復(fù)平面內(nèi)處處不解析處處

2、不解析. d 與與路路線線有有關(guān)關(guān)此此時(shí)時(shí)積積分分值值z(mì)zc . , 0域域但此區(qū)域已不是單連通但此區(qū)域已不是單連通的內(nèi)部函數(shù)處處解析的內(nèi)部函數(shù)處處解析的的雖然在除去雖然在除去Cz由此猜測(cè)：復(fù)積分的值與途徑無關(guān)或沿閉路的由此猜測(cè)：復(fù)積分的值與途徑無關(guān)或沿閉路的積分值積分值0的條件能夠與被積函數(shù)的解析性及解的條件能夠與被積函數(shù)的解析性及解析區(qū)域的單連通有關(guān)。析區(qū)域的單連通有關(guān)。先將條件加強(qiáng)些，作初步的討論先將條件加強(qiáng)些，作初步的討論)( ,)(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在且且內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析在在單單連連通通設(shè)設(shè)DzfDivuzf yxyxyxyxuvvuRCDvvuuvu 方方程程并并滿滿足足都都是是連

3、連續(xù)續(xù)的的內(nèi)內(nèi)在在以以及及它它們們的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)和和, CCcudyvdxivdyudxdzzfDC)(,，又又 DyxcDyxcdxdyvuudyvdxdxdyuvvdyudxGreen0)(0)(公公式式由由 cdzzf0)(yyxxiuvivuzf )( .)( ,1900這這一一條條件件去去掉掉了了連連續(xù)續(xù)將將且且定定理理的的新新證證明明給給出出了了年年zfCauchyGoursat0)()(1825 cdzzfCDzfDCauchy的的積積分分內(nèi)內(nèi)沿沿任任一一條條閉閉曲曲線線在在處處處處解解析析的的內(nèi)內(nèi)單單連連通通區(qū)區(qū)域域給給出出了了年年.,)( 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)且且在在存存在在當(dāng)當(dāng)時(shí)

4、時(shí)解解析析的的定定義義為為Dzf.1851簡(jiǎn)單證明簡(jiǎn)單證明定理的上述定理的上述給出了給出了年年CauchyRiemannCauchy 定理定理)( :,內(nèi)內(nèi)存存在在在在改改為為從從此此解解析析函函數(shù)數(shù)的的定定義義修修定定理理這這就就產(chǎn)產(chǎn)生生了了著著名名的的DzfGoursatCauchy 定理仍成立.定理仍成立.連續(xù),連續(xù),在在內(nèi)解析內(nèi)解析在在的邊界的邊界為為若若上上BCBzfBzfBC )(,)(,)2(. 0)(,)( CdzzfBCBzzf內(nèi)任一條閉曲線內(nèi)任一條閉曲線為為內(nèi)解析內(nèi)解析平面上單連通區(qū)域平面上單連通區(qū)域在在設(shè)設(shè)Cauchy-Goursat根本定理：根本定理：.,)(,)1(定

5、理仍成立定理仍成立解析解析上上在在的邊界的邊界為為若若BCBzfBC A BC也稱也稱Cauchy定理定理(3)定理中曲線定理中曲線C不用是簡(jiǎn)單的！如以下圖。不用是簡(jiǎn)單的！如以下圖。BBC推論推論 設(shè)設(shè)f (z)在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，那么對(duì)恣意內(nèi)解析，那么對(duì)恣意兩點(diǎn)兩點(diǎn)z0, z1B, 積分積分c f (z)dz不依賴于銜接起點(diǎn)不依賴于銜接起點(diǎn)z0與終點(diǎn)與終點(diǎn)z1的曲線，即積分與途徑無關(guān)。的曲線，即積分與途徑無關(guān)。C 1021)()()(zzCCdzzfdzzfdzzf見見上上圖圖z1z0C1C2C1C2z0z1三、典型例題三、典型例題例例1 1解解 1.d321 zzz計(jì)算積分計(jì)

6、算積分 , 1 321 內(nèi)解析內(nèi)解析在在函數(shù)函數(shù) zz根據(jù)柯西古薩定理根據(jù)柯西古薩定理, 有有 1. 0d321zzz例例2 2. ),1(0d)( 任任意意閉閉曲曲線線是是其其中中證證明明Cnzzcn 證證 , )1(為正整數(shù)時(shí)為正整數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)n , )(平平面面上上解解析析在在zzn 由柯西古薩定理由柯西古薩定理, . 0d)( cnzz , 1 )2(時(shí)時(shí)為為負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)但但不不等等于于當(dāng)當(dāng) n , )(平平面面上上解解析析的的整整個(gè)個(gè)在在除除點(diǎn)點(diǎn)zzn , :點(diǎn)點(diǎn)不不包包圍圍若若情情況況一一 C由柯西古薩定理由柯西古薩定理, ; 0d)( cnzz , :點(diǎn)點(diǎn)包包圍圍若若情情況況二二 C

7、由上節(jié)例由上節(jié)例4可知可知, . 0d)( cnzz , )(圍成的區(qū)域內(nèi)解析圍成的區(qū)域內(nèi)解析在在 Czn 例例3 3.d)1(1 212 izzzz計(jì)算積分計(jì)算積分解解,11211)1(12 izizzzz , 21 1 1 上上解解析析都都在在和和因因?yàn)闉?izizz根據(jù)柯西古薩定理得根據(jù)柯西古薩定理得 212d)1(1izzzz 21d1211211izzizizz 212121d121d121d1izizizzizzizzz0 21d121izzizi 221. i 第三節(jié)第三節(jié) 根本定理的推行根本定理的推行復(fù)合閉路定理典型例題復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理1. 閉路

8、變形原理閉路變形原理 , )( 在多連通域內(nèi)解析在多連通域內(nèi)解析設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)zf ),( 1正正向向?yàn)闉槟婺鏁r(shí)時(shí)針針方方向向單單閉閉曲曲線線內(nèi)內(nèi)的的任任意意兩兩條條簡(jiǎn)簡(jiǎn)為為及及DCC. 11DDCC全含于全含于為邊界的區(qū)域?yàn)檫吔绲膮^(qū)域及及DC1C1DAA BB , BBAA 和和作作兩兩段段不不相相交交的的弧弧段段DC1C1DAA BB EE FF , AAEBAEB 顯然曲線顯然曲線 BFABFAA , , , , ,FFEE 添添加加字字符符為為了了討討論論方方便便 . 均為封閉曲線均為封閉曲線 , D因?yàn)樗鼈兊膬?nèi)部全含于因?yàn)樗鼈兊膬?nèi)部全含于, 0d)( AAEBAEBzzf故故. 0d)

9、( BFABFAAzzf,AAAEBBBAEBAAEBAEB ,BFABBBFAAABFABFAA AAEBAEBzzfd)( 由由, 0d)( BFABFAAzzf得得DC1C1DAA BB EE FF Czzfd)( 1d)(Czzf AAzzfd)( AAzzfd)(, 0d)( BBzzf BBzzfd)(, 0d)(d)( 1 CCzzfzzf即即.d)(d)( 1 CCzzfzzf或或DC1C1DAA BB EE FF , 1 成成一一條條復(fù)復(fù)合合閉閉路路看看及及閉閉曲曲線線如如果果我我們們把把這這兩兩條條簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單CC : 的正方向?yàn)榈恼较驗(yàn)?, 按逆時(shí)針進(jìn)行按逆時(shí)針進(jìn)行外面的閉

10、曲線外面的閉曲線 C , 1按順時(shí)針進(jìn)行按順時(shí)針進(jìn)行內(nèi)部的閉曲線內(nèi)部的閉曲線 C ), , (的左手邊的左手邊內(nèi)部總在內(nèi)部總在的的的正向進(jìn)行時(shí)的正向進(jìn)行時(shí)即沿即沿 . 0)( dzzf那那末末 解析函數(shù)沿閉曲線的積分解析函數(shù)沿閉曲線的積分, , 不因閉曲線在不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作延續(xù)變形而改動(dòng)它的值區(qū)域內(nèi)作延續(xù)變形而改動(dòng)它的值. .閉路變形原理閉路變形原理闡明闡明: : 在變形過程中曲線不經(jīng)在變形過程中曲線不經(jīng)過函數(shù)過函數(shù) f(z) f(z) 的不解析的點(diǎn)的不解析的點(diǎn). .2. 復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理 , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn為為邊邊界界的

11、的區(qū)區(qū)域域全全含含于于并并且且以以互互不不包包含含也也互互不不相相交交它它們們內(nèi)內(nèi)部部的的簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲線線是是在在內(nèi)內(nèi)的的一一條條簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲線線多多連連通通域域?yàn)闉樵O(shè)設(shè) , )( 內(nèi)內(nèi)解解析析在在如如果果DzfDC1C2C3C那末那末,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kCCDC1C2C3C. 0d)()2( zzf). , , , , :( , , , , 2121順順時(shí)時(shí)針針進(jìn)進(jìn)行行按按按按逆逆時(shí)時(shí)針針進(jìn)進(jìn)行行其其方方向向是是組組成成的的復(fù)復(fù)合合閉閉路路為為由由這這里里nnCCCCCCCC 典型例題典型例題例例1 1解解 . 1 ,

12、d12 2曲曲線線在在內(nèi)內(nèi)的的任任何何正正向向簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉為為包包含含圓圓周周計(jì)計(jì)算算積積分分 zzzzz, 1 0 12 2 zzzzz和和內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)在復(fù)平面在復(fù)平面因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù)依題意知依題意知, xyo 1 也包含這兩個(gè)奇點(diǎn)，也包含這兩個(gè)奇點(diǎn)， , 21CC 和和不不相相交交的的正正向向圓圓周周內(nèi)內(nèi)作作兩兩個(gè)個(gè)互互不不包包含含也也互互在在 xyo 1 , 0 1 zC 只包含奇點(diǎn)只包含奇點(diǎn) , 1 2 zC 只只包包含含奇奇點(diǎn)點(diǎn)1C2C根據(jù)復(fù)合閉路定理根據(jù)復(fù)合閉路定理, zzzzd122 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzz

13、zzzzz0220 ii.4 i 例例2 2 . 1 2 ,d 所所組組成成向向圓圓周周和和負(fù)負(fù)為為正正向向圓圓周周計(jì)計(jì)算算積積分分 zzzzezxyo121C2C解解 , 21圍成一個(gè)圓環(huán)域圍成一個(gè)圓環(huán)域和和CC, 上處處解析上處處解析在此圓環(huán)域和其邊界在此圓環(huán)域和其邊界函數(shù)函數(shù)zez圓環(huán)域的邊境構(gòu)成一條復(fù)合閉路圓環(huán)域的邊境構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合定理根據(jù)閉路復(fù)合定理,. 0d zzez例例3 3. , ,d)(1 1為為整整數(shù)數(shù)的的任任一一簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉路路為為含含求求nazazn 解解 , 內(nèi)內(nèi)部部在在曲曲線線因因?yàn)闉?a a , 故故可可取取很很小小的的正正數(shù)數(shù) , : 1內(nèi)部?jī)?nèi)部

14、含在含在使使 az1 , )(111內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析為邊界的復(fù)連通域?yàn)檫吔绲膹?fù)連通域在以在以 naz由復(fù)合閉路定理由復(fù)合閉路定理, 1d)(1d)(111zazzaznn a 1 ,20 ieaz令令 1d)(11zazn 201d)( niieie 20d ninie . 0, 00,2d)(1 1nnizazn故故 此結(jié)論非常重要此結(jié)論非常重要, 用起來很方用起來很方便便, 由于由于不用是圓不用是圓, a也不用也不用是圓的圓心是圓的圓心, 只需只需a在簡(jiǎn)單閉曲在簡(jiǎn)單閉曲線線內(nèi)即可內(nèi)即可.第四節(jié) 原函數(shù)與不定積分一、主要定理和定義二、典型例題一、主要定理和定義一、主要定理和定義定理一定理

15、一 . d)( , )( 無關(guān)無關(guān)線線與連結(jié)起點(diǎn)及終點(diǎn)的路與連結(jié)起點(diǎn)及終點(diǎn)的路那末積分那末積分內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在單連通域在單連通域如果函數(shù)如果函數(shù)CzzfBzfC 由定理一可知由定理一可知: 解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)和終點(diǎn)有關(guān), (如下頁圖如下頁圖)1. 兩個(gè)主要定理兩個(gè)主要定理:BB 0z1z 0z1z 1C2C1C2C , , 10zz終點(diǎn)為終點(diǎn)為如果起點(diǎn)為如果起點(diǎn)為 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzf , , , 110zzBzz 并并令令內(nèi)內(nèi)變變動(dòng)動(dòng)在在讓讓如如果果固固定定 .d)()( 0 zzfzFB 內(nèi)

16、的一個(gè)單值函數(shù)內(nèi)的一個(gè)單值函數(shù)便可確定便可確定 . )()( , d)()( , )( 0zfzFBfzFBzfzz 并并且且析析函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)的的一一個(gè)個(gè)解解必必為為那那末末函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析在在單單連連通通域域如如果果函函數(shù)數(shù) 定理二定理二證證利用導(dǎo)數(shù)的定義來證利用導(dǎo)數(shù)的定義來證.B , 內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)為為設(shè)設(shè)Bz z, KBz小圓小圓內(nèi)的內(nèi)的為中心作一含于為中心作一含于以以KB zK , 內(nèi)內(nèi)在在充分小使充分小使取取Kzzz zz )()(zFzzF zzzzzff00d)(d)( 由于積分與道路無關(guān)由于積分與道路無關(guān), , d)(00zzfzzz到到的的積積分分路路線線可可先

17、先取取 , zzz 沿沿直直線線到到然然后后從從 0z ) d)( :(0路路線線相相同同的的這這一一段段與與注注意意 zzf , )( 的的定定義義由由zF )()( zFzzF于是于是,d)( zzzf zzzzf d)( 因?yàn)橐驗(yàn)?zzzzf d)(,)(zzf B zKzz 0z )()()( zfzzFzzF 所所以以)(d)(1zffzzzz d)()(1zffzzzz B zKzz 0z , )( 內(nèi)解析內(nèi)解析在在因?yàn)橐驗(yàn)锽zf , )( 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在所所以以Bzf, 0, 0 故故 , 內(nèi)內(nèi)都都在在的的一一切切使使得得滿滿足足Kz , 時(shí)時(shí)即即 z,)()( zff總總有有

18、由積分的估值性質(zhì)由積分的估值性質(zhì),)()()( zfzzFzzF )()()( zfzzFzzF d)()(1zffzzzz d| )()(|1zffzzzz .1 zz, 0)()()(lim 0 zfzzFzzFz于于是是).()( zfzF 即即 此定理與微積分學(xué)中的對(duì)變上限積分的求導(dǎo)此定理與微積分學(xué)中的對(duì)變上限積分的求導(dǎo)定理完全類似定理完全類似.證畢證畢2. 原函數(shù)的定義原函數(shù)的定義:. )( )( , )()( , )( )( 的原函數(shù)的原函數(shù)內(nèi)內(nèi)在區(qū)域在區(qū)域?yàn)闉槟悄┓Q那末稱即即內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為在區(qū)域在區(qū)域如果函數(shù)如果函數(shù)BzfzzfzzfBz .)( d)()( 0的一個(gè)原函數(shù)

19、的一個(gè)原函數(shù)是是顯然顯然zffzFzz 原函數(shù)之間的關(guān)系原函數(shù)之間的關(guān)系: : . )(一個(gè)常數(shù)一個(gè)常數(shù)的任何兩個(gè)原函數(shù)相差的任何兩個(gè)原函數(shù)相差zf證證 , )( )( )( 的的任任何何兩兩個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是和和設(shè)設(shè)zfzHzG )()()()( zHzGzHzG 那那末末0)()( zfzf .)()( czHzG 于是于是) ( 為任意常數(shù)為任意常數(shù)c , )( )( zFBzf內(nèi)有一個(gè)原函數(shù)內(nèi)有一個(gè)原函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域如果如果那末它就有無窮多個(gè)原函數(shù)那末它就有無窮多個(gè)原函數(shù), . )()(為為任任意意常常數(shù)數(shù)一一般般表表達(dá)達(dá)式式為為cczF 根據(jù)以上討論可知根據(jù)以上討論可知:證畢證畢3

20、. 不定積分的定義不定積分的定義: .)(d)( , )( )( )( )( czFzzfzfcczFzf 記作記作的不定積分的不定積分為為為任意常數(shù)為任意常數(shù)的原函數(shù)的一般表達(dá)式的原函數(shù)的一般表達(dá)式稱稱定理三定理三. , )()(d )( , )( )( , )( 100110內(nèi)內(nèi)的的兩兩點(diǎn)點(diǎn)為為域域這這里里那那末末的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)為為內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析在在單單連連通通域域如如果果函函數(shù)數(shù)BzzzGzGzzfzfzGBzfzz ( (類似于牛頓類似于牛頓- -萊布尼茲公式萊布尼茲公式) )證證 , )( d)( 0的的原原函函數(shù)數(shù)也也是是因因?yàn)闉閦fzzfzz ,)( d)( 0c

21、zGzzfzz 所所以以 , 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)zz 根據(jù)柯西根據(jù)柯西-古薩根本定理古薩根本定理, , )( 0zGc 得得 , )()( d)( 00zGzGzzfzz 所所以以 . )()( d)( 0110zGzGzzfzz 或或證畢證畢闡明闡明: : 有了以上定理有了以上定理, , 復(fù)變函數(shù)的積分就可以復(fù)變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學(xué)中類似的方法去計(jì)算用跟微積分學(xué)中類似的方法去計(jì)算. .二、典型例題二、典型例題例例1 1解解 . d 10的值的值求求 zzzz , 是解析函數(shù)是解析函數(shù)因?yàn)橐驗(yàn)?z ,21 2z它的原函數(shù)是它的原函數(shù)是由牛頓由牛頓-萊布尼茲公式知萊布尼茲公式知, 21 d 10

22、102zzzzzzz ).(212021zz 例例2 2. dcos 02的值的值求求 izzz解解 izzz02dcos izz022dcos21iz 02sin21)sin(212 .sin212 (運(yùn)用了微積分學(xué)中的運(yùn)用了微積分學(xué)中的“湊微分法湊微分法)例例3 3. dcos 0的值的值求求 izzz解解 , cos 是解析函數(shù)是解析函數(shù)因?yàn)橐驗(yàn)閦z ,cossin zzz 它它的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是由牛頓由牛頓-萊布尼茲公式知萊布尼茲公式知, izzz0dcosizzz0cossin 1cossin iii12211 eeieei. 11 e例例3 3. dcos 0的值的值求求

23、 izzz izzz0dcos izz0)(sind iizzzz00dsinsin另解另解izzz0cossin . 11 e此方法運(yùn)用了微積分中此方法運(yùn)用了微積分中“分部積分法分部積分法例例4 4. d 11的值的值求求 izzze解解利用分部積分法可得利用分部積分法可得 ,)1( zzezze 的一個(gè)原函數(shù)為的一個(gè)原函數(shù)為 izzze11dizez 11)1(iie 1).1sin1(cosiie 例例5 5. d1)1ln( , 1 0)Re(, 0)Im( 1的值的值求求內(nèi)的圓弧內(nèi)的圓弧試沿區(qū)域試沿區(qū)域 izzzzzz解解 , 1)1ln( 在在所所設(shè)設(shè)區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)解解析析函函數(shù)數(shù) zz ,2)1(ln 2 z它它的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)為為 izzz1d1)1ln(iz122)1(ln 2ln)1(ln2122 i 2ln42ln212122i.82ln2ln833222i 四、小結(jié)與思索四、小結(jié)與思索 經(jīng)過本課學(xué)習(xí)經(jīng)過本課學(xué)習(xí), 重點(diǎn)掌握柯西古薩根本定重點(diǎn)掌握柯西古薩根本定理理:. 0d)( : )( , )( czzfCBzfBzf的積