數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模

1、數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模第一講第一講數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模現(xiàn)代數(shù)學(xué)：現(xiàn)代數(shù)學(xué)： 在理論上更抽象；在理論上更抽象； 在方法上更加綜合；在方法上更加綜合； 在應(yīng)用上更為廣泛。在應(yīng)用上更為廣泛。一、一、 現(xiàn)代科技人員應(yīng)具有的數(shù)學(xué)能力現(xiàn)代科技人員應(yīng)具有的數(shù)學(xué)能力* 數(shù)學(xué)很重要的一方面在于數(shù)學(xué)知識與數(shù)數(shù)學(xué)很重要的一方面在于數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用學(xué)方法的應(yīng)用. . * *更重要的方面是數(shù)學(xué)的思維方式的確立更重要的方面是數(shù)學(xué)的思維方式的確立. .數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模21世紀科技人才應(yīng)具備的數(shù)學(xué)素質(zhì)與能力世紀科技人才應(yīng)具備的數(shù)學(xué)素質(zhì)與能力 數(shù)學(xué)運算能力數(shù)學(xué)運算能力 邏輯推理能力邏輯推

2、理能力數(shù)學(xué)建模能力數(shù)學(xué)建模能力數(shù)據(jù)處理能力數(shù)據(jù)處理能力空間想象能力空間想象能力抽象思維能力抽象思維能力更新數(shù)學(xué)知識能力更新數(shù)學(xué)知識能力使用數(shù)學(xué)軟件能力使用數(shù)學(xué)軟件能力數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模二、數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模二、數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型( (Mathematical Model):):重結(jié)果；重結(jié)果； 模型模型: :所研究的客觀事物有關(guān)屬性的模擬所研究的客觀事物有關(guān)屬性的模擬, ,具有事物中感興趣的主要性質(zhì)。具有事物中感興趣的主要性質(zhì)。* * 對實體本身的模擬對實體本身的模擬 如如: :飛機形狀進行模擬的模型飛機；飛機形狀進行模擬的模型飛機；數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模(Mathematical

3、Modeling):重過程重過程.數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模 * * 對實體某些屬性的模擬對實體某些屬性的模擬 如如: :對飛機性能進行模擬的航模比賽飛機對飛機性能進行模擬的航模比賽飛機； * * 對實體某些屬性的抽象對實體某些屬性的抽象 如如: :一張地質(zhì)圖是某地區(qū)地貌情況的抽象一張地質(zhì)圖是某地區(qū)地貌情況的抽象 任何一個模型僅為一個真實系統(tǒng)某一任何一個模型僅為一個真實系統(tǒng)某一方面的理想化，決不是真實系統(tǒng)的重現(xiàn)方面的理想化，決不是真實系統(tǒng)的重現(xiàn).數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型(E.A.Bendar 定義定義)：關(guān)于部分現(xiàn)實世界為一定目的而做的抽關(guān)于部分現(xiàn)實世界為一定目的而做的抽象、簡化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

4、。象、簡化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)實世界的簡化而本質(zhì)的描述數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)實世界的簡化而本質(zhì)的描述。 是用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)公式、程序、圖、是用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)公式、程序、圖、表等刻畫客觀事物的本質(zhì)屬性與內(nèi)在聯(lián)系表等刻畫客觀事物的本質(zhì)屬性與內(nèi)在聯(lián)系的理想化表述的理想化表述.數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模治愈治愈 癱瘓癱瘓 死亡死亡 狀態(tài)（可能）狀態(tài)（可能） 行動行動（人能控制）（人能控制）等待等待治療治療例例1 大夫的決策問題大夫的決策問題 此模型此模型(數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu))表達了大夫能做什么表達了大夫能做什么,可能出現(xiàn)的結(jié)果可能出現(xiàn)的結(jié)果.數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模 可幫助我們明確大夫的決策取決于目標的可幫助我們明確大夫的

5、決策取決于目標的設(shè)定及治療原則等設(shè)定及治療原則等. 數(shù)學(xué)模型是思考的工具數(shù)學(xué)模型是思考的工具 構(gòu)造一個數(shù)學(xué)模型可幫助我們進行交流、構(gòu)造一個數(shù)學(xué)模型可幫助我們進行交流、獲得理解、加強對所采取的行動及結(jié)果的獲得理解、加強對所采取的行動及結(jié)果的預(yù)測能力，它應(yīng)有助于思考過程預(yù)測能力，它應(yīng)有助于思考過程.數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模 例例2. .廠長經(jīng)理們籌劃出一個合理安排生廠長經(jīng)理們籌劃出一個合理安排生產(chǎn)和銷售的數(shù)學(xué)模型，是為了獲取盡可能產(chǎn)和銷售的數(shù)學(xué)模型，是為了獲取盡可能高的經(jīng)濟效益高的經(jīng)濟效益. 例例3. .生物醫(yī)學(xué)專家有了藥物濃度在人體生物醫(yī)學(xué)專家有了藥物濃度在人體內(nèi)隨時間和空間變化的數(shù)學(xué)模型后，可以內(nèi)隨

6、時間和空間變化的數(shù)學(xué)模型后，可以用來分析藥物的療效，從而有效地指導(dǎo)臨用來分析藥物的療效，從而有效地指導(dǎo)臨床用藥床用藥. .數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模 諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲得者諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲得者建立了大量的數(shù)建立了大量的數(shù)學(xué)模型，為世界經(jīng)濟發(fā)展做出卓越貢獻：學(xué)模型，為世界經(jīng)濟發(fā)展做出卓越貢獻：人類時間價格模型；人類時間價格模型；教師與畢業(yè)生的增長模型；教師與畢業(yè)生的增長模型；房屋出售問題模型；房屋出售問題模型；最優(yōu)消費和組合投資問題；最優(yōu)消費和組合投資問題；Selton 連鎖店博弈模型；連鎖店博弈模型；平穩(wěn)人口模型；平穩(wěn)人口模型；數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模固定匯率和浮動匯率的貨幣動力學(xué)固定匯率和浮動匯率的貨幣動力

7、學(xué)人類時間價格的度量；人類時間價格的度量；考慮技術(shù)進步的生產(chǎn)函數(shù)考慮技術(shù)進步的生產(chǎn)函數(shù). 數(shù)學(xué)模型是溝通現(xiàn)實世界數(shù)學(xué)模型是溝通現(xiàn)實世界與數(shù)學(xué)世界的理想橋梁。與數(shù)學(xué)世界的理想橋梁。數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模現(xiàn)現(xiàn)實實世世界界數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)世世界界建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型推理推理演繹演繹求解求解翻譯為實際解答翻譯為實際解答實際解答實際解答：如對現(xiàn)實對象的分析、預(yù)報、如對現(xiàn)實對象的分析、預(yù)報、 決策、控制等結(jié)果。決策、控制等結(jié)果。始于現(xiàn)實世界并終于現(xiàn)實世界始于現(xiàn)實世界并終于現(xiàn)實世界數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模 一個較熱的物體置于室溫為一個較熱的物體置于室溫為180c的房間的房間內(nèi)，該物體最初的溫度是內(nèi)，該物體最初的溫度是60

8、0c，3分鐘以后分鐘以后降到降到500c .想知道它的溫度降到想知道它的溫度降到300c 需要多需要多少時間？少時間？10分鐘以后它的溫度是多少？分鐘以后它的溫度是多少？ 牛頓冷卻（加熱）定律：牛頓冷卻（加熱）定律：將溫度為將溫度為T的的物體放入處于常溫物體放入處于常溫 m 的介質(zhì)中時，的介質(zhì)中時，T的變的變化速率正比于化速率正比于T與周圍介質(zhì)的溫度差。與周圍介質(zhì)的溫度差。作案時間的確定作案時間的確定 三、建模范例三、建模范例數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模 分析：分析：假設(shè)房間足夠大，放入溫度較低或假設(shè)房間足夠大，放入溫度較低或較高的物體時，室內(nèi)溫度基本不受影響，即較高的物體時，室內(nèi)溫度基本不受影響，即室

9、溫分布均衡室溫分布均衡, ,保持為保持為m，采用牛頓冷卻定律，采用牛頓冷卻定律是一個相當(dāng)好的近似。是一個相當(dāng)好的近似。 建立模型：建立模型：設(shè)物體在冷卻過程中的溫度為設(shè)物體在冷卻過程中的溫度為T(t)，t0， “T的變化速率正比于的變化速率正比于T與周圍介質(zhì)的溫度差與周圍介質(zhì)的溫度差” 翻譯為翻譯為成成正正比比與與mTdtdT 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模 .60)0(),(TmTkdtdT建立微分方程建立微分方程其中參數(shù)其中參數(shù)k 0，m=18. 求得一般解為求得一般解為 ln(Tm) = k t+c,代入條件，求得代入條件，求得c=42 ，k = , 最后得最后得2116ln31, 0, tcemT

10、kt或或數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模結(jié)果結(jié)果 ：T(10)=18+42 =25.870，102116ln31 e該物體溫度降至該物體溫度降至300c 需要需要8.17分鐘分鐘. T(t)=18+42 , t 0. te2116ln31數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模 將一張四條腿一樣長的方桌放在不平的將一張四條腿一樣長的方桌放在不平的地面上地面上, 問是否總能設(shè)法使它的四條腿同時問是否總能設(shè)法使它的四條腿同時著地？著地？ 假設(shè)假設(shè) *1 地面為連續(xù)曲面地面為連續(xù)曲面.（在（在Oxyz坐標系中，地坐標系中，地 面可用一個連續(xù)二元函數(shù)面可用一個連續(xù)二元函數(shù) z=z(x, y)表示）表示）*2 相對于地面的彎曲程度相對于地

11、面的彎曲程度, 方桌的腿足夠長方桌的腿足夠長.*3 將與地面的接觸看成幾何上的點接觸將與地面的接觸看成幾何上的點接觸.穩(wěn)定的椅子穩(wěn)定的椅子數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模 建模建模 繪制方桌的俯視圖，設(shè)想桌子繞中心繪制方桌的俯視圖，設(shè)想桌子繞中心O點點旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動角度記為旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動角度記為.OABCDAC數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模引進函數(shù)變量：引進函數(shù)變量：f() A、C 兩腿到地面的距離之和；兩腿到地面的距離之和；g() B、D 兩腿到地面的距離之和；兩腿到地面的距離之和；由假設(shè)由假設(shè)* *1 1，f()、g()都是連續(xù)函數(shù)。都是連續(xù)函數(shù)。 由由* *2，方桌腿足夠長，至少有三條腿總能，方桌腿足夠長，至少有三條腿總

12、能同時著地，故有同時著地，故有 f() g()=0，0，2不妨設(shè)不妨設(shè) f(0)=0、g(0)0.數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方桌問題歸結(jié)為方桌問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題：數(shù)學(xué)問題： 已知已知 f() 和和 g() 都是連續(xù)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù), f(0)=0、g(0)0,且對任意且對任意0, 2, 都有都有f()g( )=0， 分析：分析：當(dāng)當(dāng)=/2時時，即即AC 和和 BD互換位置互換位置, 故有故有 f(/2)0， g(/2)=0令令 h()=f()g()，則有則有 求證：求證：存在存在0，使得使得f(0) = g(0).數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模 因因 h() 在在 0, /2上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上

13、連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在上連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在00,/2，使使h(0)=f(0)g(0)=0 h(0)0，h(/2)0， f(0) = g(0)因?qū)θ我庖驅(qū)θ我庥杏? f()g()=0 f(0)g(0)=0 f(0)=g(0)=0數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模 結(jié)論結(jié)論 對于四條腿等長，四腳呈正方形對于四條腿等長，四腳呈正方形的桌子，在光滑地面上做原地旋轉(zhuǎn)，在不的桌子，在光滑地面上做原地旋轉(zhuǎn)，在不大于大于/2的角度內(nèi)，必能放平的角度內(nèi)，必能放平.思考題：思考題：任意矩形的桌子會怎樣？任意矩形的桌子會怎樣？數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模一場筆墨官司（放射性廢物的處理問題）一場筆墨官司（放射性廢物的處理問題） 美國原

14、子能委員會（現(xiàn)為核管理委員會）美國原子能委員會（現(xiàn)為核管理委員會）處理濃縮放射性廢物，是將廢物放入密封處理濃縮放射性廢物，是將廢物放入密封性能很好的圓桶中，然后扔到水深性能很好的圓桶中，然后扔到水深300英英尺的海里尺的海里. .他們這種做法他們這種做法安全安全嗎？嗎？ 分析：分析：可從各個角度去分析造成危險的可從各個角度去分析造成危險的因素，這里僅考慮圓桶泄露的可能因素，這里僅考慮圓桶泄露的可能. . 聯(lián)想：聯(lián)想：安全安全 、危險、危險數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模問題的關(guān)鍵問題的關(guān)鍵 * *圓桶至多能承受多大的圓桶至多能承受多大的沖撞速度沖撞速度？( (40英尺英尺/ /秒秒);); * *圓桶和海底

15、碰撞時的速度有多大？圓桶和海底碰撞時的速度有多大？ 新問題：新問題：求這一種桶沉入求這一種桶沉入300英尺的海英尺的海底時的末速度底時的末速度. .（原問題是什么（原問題是什么? ?）數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模可利用的數(shù)據(jù)條件：可利用的數(shù)據(jù)條件： 圓桶的總重量圓桶的總重量 W=527.327（磅）（磅） 圓桶受到的浮力圓桶受到的浮力 B =470.327（磅）（磅） 圓桶下沉?xí)r受到的海水阻力圓桶下沉?xí)r受到的海水阻力 D=Cv，C= =0.08 可利用牛頓第二定律，建立圓桶下沉位可利用牛頓第二定律，建立圓桶下沉位移滿足的微分方程：移滿足的微分方程： )1(22DBWdtydm 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模vdtd

16、yCvDgwm ,其其中中)2(. 0)0(),( VBWWgvWcgdtdv或或方程的解為方程的解為0),1()( teCBWtvtWCg數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模 計算碰撞速度，需確定圓桶和海底的碰計算碰撞速度，需確定圓桶和海底的碰撞時間撞時間t0 0 ? ?分析：分析：考慮圓桶的極限速度考慮圓桶的極限速度08. 0327.470436.527)(lim CBWtvt713.86（英尺（英尺/ /秒）秒）40（英尺（英尺/ /秒）秒） 原問題得到解決了嗎原問題得到解決了嗎? ?數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模極限速度極限速度與圓桶的與圓桶的承受速度承受速度相差巨大！相差巨大！ 結(jié)論：結(jié)論：解決問題的方向是正確的

17、解決問題的方向是正確的.解決思路：解決思路：避開求避開求t0的難點的難點 令令 v(t)=v(y(t), 其中其中 y=y(t) 是圓桶下沉深度是圓桶下沉深度. dtdydydvdtdv. 將將代入（代入（1）得）得,.CvBWdtdydydvm 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模 .0)0(,0)0(,yvWgdydvCvBWv或或兩邊積分得函數(shù)方程：兩邊積分得函數(shù)方程： ,ln2WgyBWCvBWCBWCv 若能求出函數(shù)若能求出函數(shù)v=v(y), ,就可求出碰撞速度就可求出碰撞速度v(300).(.(試一試試一試)數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模* 用用數(shù)值方法數(shù)值方法求出求出v(300)的近似值為的近似值為 v(30

18、0)45.41( (英尺英尺/ /秒秒) )40( (英尺英尺/ /秒秒) ) * * 分析分析 v=v(y) 是一個單調(diào)上升函數(shù)，而是一個單調(diào)上升函數(shù)，而v 增大增大, ,y 也增大也增大, ,可求出函數(shù)可求出函數(shù) y = y(v) ),ln(2BWCvBWCBWCWgWy 令令 v=40( (英尺英尺/ /秒秒) )，g=32.2( (英尺英尺/ /秒秒),),算出算出y= 238.4 ( (英尺英尺) )300( (英尺英尺) )數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模問題的實際解答：問題的實際解答： 美國原子能委員會處理放射性廢物的做美國原子能委員會處理放射性廢物的做法是極其危險的，法是極其危險的，必須改變

19、必須改變.數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模四、數(shù)學(xué)建模的教與學(xué)四、數(shù)學(xué)建模的教與學(xué) 創(chuàng)建一個數(shù)學(xué)模型的全過程稱為數(shù)學(xué)創(chuàng)建一個數(shù)學(xué)模型的全過程稱為數(shù)學(xué)建模，即運用數(shù)學(xué)的語言、方法去近似地建模，即運用數(shù)學(xué)的語言、方法去近似地刻畫該實際問題，并加以解決的全過刻畫該實際問題，并加以解決的全過程。程。 數(shù)學(xué)模型是對于現(xiàn)實世界的一個數(shù)學(xué)模型是對于現(xiàn)實世界的一個特定特定對象對象，為了一個，為了一個特定目的特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律在規(guī)律,做出必要的做出必要的簡化假設(shè)簡化假設(shè)，運用適當(dāng)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具建立的一個的數(shù)學(xué)工具建立的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模1. 數(shù)學(xué)建模極富數(shù)學(xué)建模極富創(chuàng)造性創(chuàng)

20、造性； 2. 數(shù)學(xué)建模具有很強的數(shù)學(xué)建模具有很強的綜合性；綜合性； 3. 數(shù)學(xué)建模具有很強的數(shù)學(xué)建模具有很強的實踐性實踐性 ； 不是數(shù)學(xué)知識的簡單應(yīng)用：不是數(shù)學(xué)知識的簡單應(yīng)用：需要全面的綜合素質(zhì)及能力。需要全面的綜合素質(zhì)及能力。數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模 1. 科學(xué)地識別和剖析問題；科學(xué)地識別和剖析問題；2. 建立數(shù)學(xué)模型；建立數(shù)學(xué)模型； 3. 對研究中所選擇的模型求解數(shù)學(xué)問題；對研究中所選擇的模型求解數(shù)學(xué)問題； 4. 對有關(guān)計算提出算法和設(shè)計計算機程序；對有關(guān)計算提出算法和設(shè)計計算機程序； 5. 解釋原問題的結(jié)論并評判這些結(jié)論。解釋原問題的結(jié)論并評判這些結(jié)論。 建立數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵而重要的一步建立數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵而重要的一步. . 數(shù)學(xué)建模是所涉