測繪數(shù)據(jù)處理-自由網(wǎng)平差課件

1、2022-1-121測繪數(shù)據(jù)處理測繪數(shù)據(jù)處理 2022-1-122一、自由網(wǎng)平差概述一、自由網(wǎng)平差概述 在控制網(wǎng)的經(jīng)典間接平差中，必須具有足夠的起算數(shù)據(jù)在控制網(wǎng)的經(jīng)典間接平差中，必須具有足夠的起算數(shù)據(jù)。例如，在水準(zhǔn)網(wǎng)的間接平差中，必須至少已知某一點的高程。例如，在水準(zhǔn)網(wǎng)的間接平差中，必須至少已知某一點的高程；在測角網(wǎng)的間接平差中，必須至少已知某一點的坐標(biāo)、某一；在測角網(wǎng)的間接平差中，必須至少已知某一點的坐標(biāo)、某一條邊的坐標(biāo)方位角即某一條邊的邊長，等等。下面將討論無起條邊的坐標(biāo)方位角即某一條邊的邊長，等等。下面將討論無起算數(shù)據(jù)的平差方法，即自由網(wǎng)平差。算數(shù)據(jù)的平差方法，即自由網(wǎng)平差。當(dāng)網(wǎng)中有足夠

2、的起算數(shù)據(jù)時，經(jīng)典間接平差的誤差方程為當(dāng)網(wǎng)中有足夠的起算數(shù)據(jù)時，經(jīng)典間接平差的誤差方程為 (1-7-1）系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣B最大線性無關(guān)的行（列）向量的個數(shù)，及最大線性無關(guān)的行（列）向量的個數(shù)，及B矩陣矩陣的秩的秩R(B)等于未知參數(shù)等于未知參數(shù) 的個數(shù)的個數(shù)t.即即 (1-7-2)2022-1-123在最小二乘準(zhǔn)則下，得其法方程為在最小二乘準(zhǔn)則下，得其法方程為 (1-7-3)其中其中N= PB,W= 。此時，系數(shù)陣。此時，系數(shù)陣N為滿秩方陣，即為滿秩方陣，即det(N) ,N為非奇異陣，有唯一解，其解為為非奇異陣，有唯一解，其解為 (1-7-4)當(dāng)平差網(wǎng)沒有起算數(shù)據(jù)時，網(wǎng)中所有的點均為待定點。

3、設(shè)未知當(dāng)平差網(wǎng)沒有起算數(shù)據(jù)時，網(wǎng)中所有的點均為待定點。設(shè)未知參數(shù)的個數(shù)為參數(shù)的個數(shù)為u,誤差方程為誤差方程為 (1-7-5)組成的法方程為組成的法方程為2022-1-124 (1-7-6) 由于由于det(N)=0,故故N為奇異陣，其凱利逆為奇異陣，其凱利逆 不存在，此時如不存在，此時如仍按經(jīng)典平差公式接，將不可能得出唯一的解。仍按經(jīng)典平差公式接，將不可能得出唯一的解。 令令B的列滿秩數(shù)為的列滿秩數(shù)為 （B）,B的實際秩數(shù)為的實際秩數(shù)為R(B)，d= (B)-R(B),d即為秩虧數(shù)。對于法方程系數(shù)矩陣即為秩虧數(shù)。對于法方程系數(shù)矩陣N，必然也，必然也有有d=(N)-R(N). 如果如果d=0,就

4、是經(jīng)典平差問題；當(dāng)就是經(jīng)典平差問題；當(dāng)d 時，就是所謂的秩虧時，就是所謂的秩虧自由網(wǎng)平差問題。自由網(wǎng)平差問題。 在實用上，產(chǎn)生秩虧得主要原因是不設(shè)起算數(shù)據(jù)，而且選定在實用上，產(chǎn)生秩虧得主要原因是不設(shè)起算數(shù)據(jù)，而且選定網(wǎng)中高程、坐標(biāo)等作為平差的未知參數(shù)，所以秩虧自由網(wǎng)平差網(wǎng)中高程、坐標(biāo)等作為平差的未知參數(shù)，所以秩虧自由網(wǎng)平差也叫無固定數(shù)據(jù)的的自由網(wǎng)平差，簡稱自由網(wǎng)平差。也叫無固定數(shù)據(jù)的的自由網(wǎng)平差，簡稱自由網(wǎng)平差。 具體問題中矩陣具體問題中矩陣B或或N的秩虧數(shù)的秩虧數(shù)d，雖然可以通過計算，雖然可以通過計算R(B)或或R(N)求出，實際上并不需要這樣做，究其原因可知，秩虧數(shù)求出，實際上并不需要這樣

5、做，究其原因可知，秩虧數(shù)2022-1-125d就是網(wǎng)中必要的起算數(shù)據(jù)個數(shù)。且有：就是網(wǎng)中必要的起算數(shù)據(jù)個數(shù)。且有： 二二、秩虧自由網(wǎng)平差思路秩虧自由網(wǎng)平差思路 為了求得未知參數(shù)的唯一確定解，除了遵循最小二乘準(zhǔn)則外為了求得未知參數(shù)的唯一確定解，除了遵循最小二乘準(zhǔn)則外，還必須增加新的約束條件，從而達(dá)到求得唯一解的目的，還必須增加新的約束條件，從而達(dá)到求得唯一解的目的。由于約束條件不同，秩虧自由網(wǎng)平差可分為如下幾種情。由于約束條件不同，秩虧自由網(wǎng)平差可分為如下幾種情況：況：（1）、經(jīng)典自由網(wǎng)平差）、經(jīng)典自由網(wǎng)平差。它是在假設(shè)網(wǎng)中有。它是在假設(shè)網(wǎng)中有d個必要起算數(shù)據(jù)個必要起算數(shù)據(jù)的條件下，求定未知參數(shù)

6、的最佳估計。這種方法早就已為的條件下，求定未知參數(shù)的最佳估計。這種方法早就已為人們所熟知。不難理解，該法的平差結(jié)果（未知參數(shù)人們所熟知。不難理解，該法的平差結(jié)果（未知參數(shù)X的解的解及其協(xié)因數(shù)陣及其協(xié)因數(shù)陣 ）將隨著假設(shè)的）將隨著假設(shè)的d個必要起算數(shù)據(jù)的不同而個必要起算數(shù)據(jù)的不同而不同，即隨著已知點位置的改變而改變。不同，即隨著已知點位置的改變而改變。2022-1-126（2）、秩虧網(wǎng)平差）、秩虧網(wǎng)平差。它是在最小二乘。它是在最小二乘 和最小范數(shù)和最小范數(shù)的條件的條件 下求定未知參數(shù)的最佳估值。下求定未知參數(shù)的最佳估值。（3）、加權(quán)秩虧網(wǎng)平差）、加權(quán)秩虧網(wǎng)平差。它是在最小二乘。它是在最小二乘 和

7、加權(quán)最和加權(quán)最小范數(shù)的條件小范數(shù)的條件 下求定未知參數(shù)的最佳估值。式下求定未知參數(shù)的最佳估值。式中，中， 為表示未知參數(shù)穩(wěn)定程度的先驗權(quán)矩陣。為表示未知參數(shù)穩(wěn)定程度的先驗權(quán)矩陣。（4）、擬穩(wěn)平差）、擬穩(wěn)平差。若將平差網(wǎng)中的未知參數(shù)分為兩類，即。若將平差網(wǎng)中的未知參數(shù)分為兩類，即 (sd) (1-7-7) 式中，式中， 是非擬穩(wěn)點的未知參數(shù)，是非擬穩(wěn)點的未知參數(shù)， 是擬穩(wěn)點的未知參數(shù)。這樣是擬穩(wěn)點的未知參數(shù)。這樣擬穩(wěn)平差是在擬穩(wěn)平差是在 和和 求定未知參數(shù)的最佳估求定未知參數(shù)的最佳估值。值。2022-1-127 由上可知，三種秩虧自由網(wǎng)平差均遵循由上可知，三種秩虧自由網(wǎng)平差均遵循 的原則，對的原

8、則，對于同一平差問題，它們將有相同的法方程，三種自由網(wǎng)平差的解于同一平差問題，它們將有相同的法方程，三種自由網(wǎng)平差的解均能滿足法方程式均能滿足法方程式(1-7-6)，它它們都是這一相同法方程多組解，它它們都是這一相同法方程多組解中的一個特解。它們之間的不同只是由于各自對解向量中的一個特解。它們之間的不同只是由于各自對解向量x所加的所加的限制條件不同引起的，即由于各自所加的最小范數(shù)條件不同，因限制條件不同引起的，即由于各自所加的最小范數(shù)條件不同，因此得到了不同的解向量。此得到了不同的解向量。 由于秩虧網(wǎng)平差與擬穩(wěn)平差都是加權(quán)秩虧網(wǎng)平差的特殊情況，由于秩虧網(wǎng)平差與擬穩(wěn)平差都是加權(quán)秩虧網(wǎng)平差的特殊情

9、況，其區(qū)別僅在于各自選擇了不同的先驗權(quán)陣其區(qū)別僅在于各自選擇了不同的先驗權(quán)陣 。所以我們將先介。所以我們將先介紹加權(quán)秩虧網(wǎng)平差，然后再介紹秩虧網(wǎng)平差和擬穩(wěn)平差。自由網(wǎng)紹加權(quán)秩虧網(wǎng)平差，然后再介紹秩虧網(wǎng)平差和擬穩(wěn)平差。自由網(wǎng)平差的方法很多，本節(jié)我們只介紹附加條件法。平差的方法很多，本節(jié)我們只介紹附加條件法。2022-1-128 三三、自由網(wǎng)平差基準(zhǔn)自由網(wǎng)平差基準(zhǔn)（一）經(jīng)典自由網(wǎng)平差基準(zhǔn)（一）經(jīng)典自由網(wǎng)平差基準(zhǔn) 實際上是固定某個實際的點的位置，固定一個實際的方位角，實際上是固定某個實際的點的位置，固定一個實際的方位角，一條實際的邊長等來定義的。一條實際的邊長等來定義的。（二）秩虧自由網(wǎng)平差基準(zhǔn)（二

10、）秩虧自由網(wǎng)平差基準(zhǔn) 與經(jīng)典的自由網(wǎng)不同，秩虧自由網(wǎng)平差基準(zhǔn)是通過對整個網(wǎng)點與經(jīng)典的自由網(wǎng)不同，秩虧自由網(wǎng)平差基準(zhǔn)是通過對整個網(wǎng)點的坐標(biāo)或部分網(wǎng)點的坐標(biāo)進(jìn)行某種約束（條件）來定義的，這種的坐標(biāo)或部分網(wǎng)點的坐標(biāo)進(jìn)行某種約束（條件）來定義的，這種約束實際上是固定某個虛擬點的位置，固定某個虛擬方向、虛擬約束實際上是固定某個虛擬點的位置，固定某個虛擬方向、虛擬距離等。距離等。 2022-1-129對三維網(wǎng)對三維網(wǎng)，這種約束將要求：，這種約束將要求：.平差前后網(wǎng)點重心不變（即固定重心點坐標(biāo)）；平差前后網(wǎng)點重心不變（即固定重心點坐標(biāo)）；.平差前后控制網(wǎng)相對其重心不繞平差前后控制網(wǎng)相對其重心不繞X、Y、Z軸

11、旋轉(zhuǎn)（即固定重心軸旋轉(zhuǎn)（即固定重心 與所有網(wǎng)點連線的平均方位角與天頂距）；與所有網(wǎng)點連線的平均方位角與天頂距）；.平差前后所有網(wǎng)點相對重心的平均距離不變（即固定與重心的平差前后所有網(wǎng)點相對重心的平均距離不變（即固定與重心的 平均距離）。平均距離）。對平面網(wǎng)對平面網(wǎng)，這種約束將要求：，這種約束將要求：.平差前后網(wǎng)點重心坐標(biāo)不變；平差前后網(wǎng)點重心坐標(biāo)不變；.平差前后各網(wǎng)點與重心連心的平均方位角不變；平差前后各網(wǎng)點與重心連心的平均方位角不變；.平差前后所有網(wǎng)點相對重心的平均距離不變（即固定與重心的平差前后所有網(wǎng)點相對重心的平均距離不變（即固定與重心的 平均距離）。平均距離）。對于一維的高程網(wǎng)對于一維

12、的高程網(wǎng)，這種約束是使平差前后網(wǎng)店的平均高程保持，這種約束是使平差前后網(wǎng)店的平均高程保持 不變。不變。這些約束條件我們稱之為這些約束條件我們稱之為重心基準(zhǔn)條件重心基準(zhǔn)條件。2022-1-1210（三）加權(quán)秩虧自由網(wǎng)平差基準(zhǔn)（三）加權(quán)秩虧自由網(wǎng)平差基準(zhǔn)和秩虧自由網(wǎng)平差基準(zhǔn)類似，但應(yīng)考慮各網(wǎng)點的權(quán)重，采用了帶和秩虧自由網(wǎng)平差基準(zhǔn)類似，但應(yīng)考慮各網(wǎng)點的權(quán)重，采用了帶權(quán)重心基準(zhǔn)條件。權(quán)重心基準(zhǔn)條件。（四）擬穩(wěn)平差基準(zhǔn)（四）擬穩(wěn)平差基準(zhǔn)也和秩虧自由網(wǎng)平差基準(zhǔn)類似，但僅僅是采用所有擬穩(wěn)點的重心也和秩虧自由網(wǎng)平差基準(zhǔn)類似，但僅僅是采用所有擬穩(wěn)點的重心基準(zhǔn)條件?；鶞?zhǔn)條件。 四、四、加權(quán)秩虧自由網(wǎng)平差加權(quán)秩虧自

13、由網(wǎng)平差（一）平差計算公式（一）平差計算公式 加權(quán)秩虧網(wǎng)平差就是求相容法方程：加權(quán)秩虧網(wǎng)平差就是求相容法方程： (1-7-8) 的加權(quán)最小范數(shù)解。的加權(quán)最小范數(shù)解。 附加條件法的基本思想是：由于網(wǎng)中沒有起始數(shù)據(jù)，平差時多附加條件法的基本思想是：由于網(wǎng)中沒有起始數(shù)據(jù)，平差時多選了選了d個未知參數(shù)。現(xiàn)在個未知參數(shù)?，F(xiàn)在u個未知參數(shù)之間適當(dāng)給定個未知參數(shù)之間適當(dāng)給定d個附加條件個附加條件2022-1-1211式，即在平差問題的函數(shù)模型中加入式，即在平差問題的函數(shù)模型中加入d個未知參數(shù)的限制條件個未知參數(shù)的限制條件方程，從而可以按附有限制條件的間接平差法求解。方程，從而可以按附有限制條件的間接平差法求

14、解。 等價于約束條件等價于約束條件 的限制條件方程為的限制條件方程為 (1-7-9)式中式中 BG=0 (1-7-10)故加權(quán)秩虧網(wǎng)平差函數(shù)模型為故加權(quán)秩虧網(wǎng)平差函數(shù)模型為 (1-7-11)2022-1-1212此處的系數(shù)矩陣此處的系數(shù)矩陣B不是列滿矩陣，而是列虧矩陣。不是列滿矩陣，而是列虧矩陣。將式將式（1-7-11）組成法方程，得組成法方程，得 (1-7-12)式中式中 ， 因因N為降秩方陣，無正常逆，所以為降秩方陣，無正常逆，所以必須對法方程作適當(dāng)變動。將式必須對法方程作適當(dāng)變動。將式(1-7-12)中第二個方程左乘后再中第二個方程左乘后再加到第一個方程上去，即得變形后的法方程為加到第一

15、個方程上去，即得變形后的法方程為 (1-7-13)式中，式中，解法方程，得解法方程，得 (1-7-14)2022-1-1213 (1-7-15)可以證明（證明略），當(dāng)可以證明（證明略），當(dāng)G滿足條件滿足條件BG=0時，連系數(shù)向量時，連系數(shù)向量K必必等于零。故可簡化為等于零。故可簡化為 (1-7-16)將代入式將代入式(1-7-11)，可求得，可求得V，再根據(jù)，再根據(jù) 即可求得個未即可求得個未知參數(shù)的平差值知參數(shù)的平差值 需要說明的是，在實際計算時，附加陣需要說明的是，在實際計算時，附加陣G不僅不僅要滿足要滿足BG=0的條件，還要滿足條件的條件，還要滿足條件 (1-7-17)也即在實際計算前，尚

16、需要把也即在實際計算前，尚需要把G陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，是的滿足式陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，是的滿足式(1-7-17)所述條件。所述條件。2022-1-1214（二）精度評定公式（二）精度評定公式1、驗后單位權(quán)方差、驗后單位權(quán)方差 (1-7-18)式中，式中， 可以直接計算，也可用可以直接計算，也可用 計算得到計算得到2、協(xié)因數(shù)陣、協(xié)因數(shù)陣（1）未知參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣為）未知參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣為 (1-7-19)當(dāng)對當(dāng)對G陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化后，由于陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化后，由于 ，故，故 式式(1-7-19)可進(jìn)一步簡化為可進(jìn)一步簡化為 (1-7-20) （2）觀測數(shù)據(jù)平差值的協(xié)因數(shù)陣為）觀測數(shù)據(jù)平差值的協(xié)因數(shù)陣為 (1-7-21)20

17、22-1-1215 （三）常見附加陣（三）常見附加陣G采用附加條件法進(jìn)行秩虧自由網(wǎng)平差計算非常容易，但必須預(yù)先采用附加條件法進(jìn)行秩虧自由網(wǎng)平差計算非常容易，但必須預(yù)先構(gòu)建附加陣構(gòu)建附加陣G。下面是幾種常見的附加陣。下面是幾種常見的附加陣G。1、水準(zhǔn)網(wǎng)、水準(zhǔn)網(wǎng)設(shè)有設(shè)有u個點，則個點，則 (1-7-22) 2、平面測角網(wǎng)、平面測角網(wǎng)按角度平差，設(shè)有按角度平差，設(shè)有m個點，則個點，則 (1-7-23)2022-1-12163、平面測角網(wǎng)、平面測角網(wǎng)按方向平差，設(shè)有按方向平差，設(shè)有m個點，則個點，則 （1-7-24）4、三維測角網(wǎng)、三維測角網(wǎng) （1-7-25） 2022-1-1217 對于平面測邊網(wǎng)、

18、邊角網(wǎng)和導(dǎo)線網(wǎng)，只要將式對于平面測邊網(wǎng)、邊角網(wǎng)和導(dǎo)線網(wǎng)，只要將式(1-7-23)或式或式(1-7-24)中的第四行劃去，剩下的三行中的第四行劃去，剩下的三行u列的陣，即分別為按角列的陣，即分別為按角度平差時的附加陣。對于三維測邊網(wǎng)，只要將式度平差時的附加陣。對于三維測邊網(wǎng)，只要將式（1-7-25）的的第七行劃去，剩下的第七行劃去，剩下的6三行三行u列的陣即為三維測邊網(wǎng)平差時的附列的陣即為三維測邊網(wǎng)平差時的附加陣。加陣。 很明顯，上述的附加陣很明顯，上述的附加陣G均未標(biāo)準(zhǔn)化，即只是滿足了均未標(biāo)準(zhǔn)化，即只是滿足了BG=0，但尚未滿足的條件。但尚未滿足的條件。2022-1-1218 陣標(biāo)準(zhǔn)化陣標(biāo)準(zhǔn)化

19、1、用原始陣、用原始陣 和和 陣，求出相應(yīng)的陣陣，求出相應(yīng)的陣 ；2、設(shè)、設(shè) 中第中第i行主對角元素為行主對角元素為gii，把原始陣，把原始陣 相應(yīng)相應(yīng)的第的第i行數(shù)據(jù)均乘以行數(shù)據(jù)均乘以 即可得到標(biāo)準(zhǔn)化陣的相應(yīng)數(shù)據(jù)；即可得到標(biāo)準(zhǔn)化陣的相應(yīng)數(shù)據(jù)；3、原始陣中每一行數(shù)據(jù)均按（、原始陣中每一行數(shù)據(jù)均按（2）所述做同樣變換，即可得）所述做同樣變換，即可得到標(biāo)準(zhǔn)化陣。到標(biāo)準(zhǔn)化陣。例：有測邊網(wǎng)如下圖所示，各點的近似坐標(biāo)列于下表。若又例：有測邊網(wǎng)如下圖所示，各點的近似坐標(biāo)列于下表。若又已知待定點的先驗權(quán)陣為已知待定點的先驗權(quán)陣為2022-1-1219試求加權(quán)秩虧網(wǎng)平差的標(biāo)準(zhǔn)化陣。試求加權(quán)秩虧網(wǎng)平差的標(biāo)準(zhǔn)化陣

20、。 表表1-7-1解：解： 計算秩虧網(wǎng)平差時的標(biāo)準(zhǔn)化陣，即計算滿足計算秩虧網(wǎng)平差時的標(biāo)準(zhǔn)化陣，即計算滿足BG=0和和 計算網(wǎng)的加權(quán)重心點坐標(biāo)。計算網(wǎng)的加權(quán)重心點坐標(biāo)。 點號 4 3 2 12022-1-1220（2 2）計算以加權(quán)重心點坐標(biāo)為坐標(biāo)原點的各待定點的坐標(biāo)值列于表）計算以加權(quán)重心點坐標(biāo)為坐標(biāo)原點的各待定點的坐標(biāo)值列于表1-7-2.1-7-2.表表1-7-2點號 /km4321(3)原始陣 確定。由于是測角網(wǎng)，根據(jù)式(1-7-23),即可得到測邊網(wǎng)原始陣 （按角度平差）2022-1-1221（4）求解）求解 （5）標(biāo)準(zhǔn)化陣確定）標(biāo)準(zhǔn)化陣確定把原始陣中的第一行、第二行、第三行分別乘以把原

21、始陣中的第一行、第二行、第三行分別乘以，即可求得標(biāo)準(zhǔn)化陣為，即可求得標(biāo)準(zhǔn)化陣為 2022-1-1222 五、秩虧自由網(wǎng)平差五、秩虧自由網(wǎng)平差 秩虧網(wǎng)是在最小二乘和最小范數(shù)的條件下求定未知參數(shù)的最佳秩虧網(wǎng)是在最小二乘和最小范數(shù)的條件下求定未知參數(shù)的最佳估值。也可敘述為秩虧網(wǎng)平差是求相容法方程在最小范數(shù)估值。也可敘述為秩虧網(wǎng)平差是求相容法方程在最小范數(shù) (1-7-26) 條件下的解。它是加權(quán)秩虧網(wǎng)平差條件下的解。它是加權(quán)秩虧網(wǎng)平差 時的特時的特例。因此，秩虧網(wǎng)平差的各種計算公式均可由加權(quán)秩虧網(wǎng)例。因此，秩虧網(wǎng)平差的各種計算公式均可由加權(quán)秩虧網(wǎng)平差時的計算公式列出。平差時的計算公式列出。（一）（一）

22、平差計算公式平差計算公式等價于約束條件等價于約束條件 的限制條件方程為的限制條件方程為2022-1-1223 （1-7-27）式中 BG=0 （1-7-28）故秩虧網(wǎng)平差的函數(shù)模型為 （1-7-29）此處的系數(shù)矩陣B不是列滿矩陣，而是列虧矩陣。將式（1-7-29）組成法方程，得 (1-7-30)式中，2022-1-1224 因因N N為降秩方陣，無正常逆，所以必須對法方程作適當(dāng)變動。將式為降秩方陣，無正常逆，所以必須對法方程作適當(dāng)變動。將式(1-7-30)(1-7-30)中第二個方程左乘后再加到第一個方程上去，記得變形后的法方程為中第二個方程左乘后再加到第一個方程上去，記得變形后的法方程為 (

23、1-7-31) (1-7-31) ，式中，式中，解法方程，得解法方程，得 (1-7-32)(1-7-32) (1-7-33) (1-7-33)可以證明（證明略），當(dāng)可以證明（證明略），當(dāng)G G滿足條件滿足條件BG=0BG=0時，連系數(shù)向量時，連系數(shù)向量K K必等于零。故可簡必等于零。故可簡化為化為 (1-7-34)(1-7-34)將代入式將代入式(1-7-29)(1-7-29)，可求得，可求得V V，再根據(jù)，再根據(jù) 即可求得個未知參數(shù)的即可求得個未知參數(shù)的平差值。需要說明的是，在實際計算時，附加陣平差值。需要說明的是，在實際計算時，附加陣G G不僅要滿足不僅要滿足BG=0BG=0的條件，還的條

24、件，還要滿足條件要滿足條件 (1-7-35)(1-7-35)也即在實際計算前，尚需要把也即在實際計算前，尚需要把G G陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，滿足式陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，滿足式(1-7-35)(1-7-35)所述條件。所述條件。2022-1-1225（二）精度評定公式（二）精度評定公式（ ）1、驗后單位權(quán)方差、驗后單位權(quán)方差 (1-7-36)式中，式中， 可以直接計算，也可用可以直接計算，也可用 計算得到計算得到2、協(xié)因數(shù)陣、協(xié)因數(shù)陣（1）未知參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣為）未知參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣為 (1-7-37)當(dāng)對當(dāng)對G陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化后，由于陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化后，由于 ，故，故 式式(1-7-19)可進(jìn)一步簡化為可進(jìn)一步簡化為 (

25、1-7-38) （2）觀測數(shù)據(jù)平差值的協(xié)因數(shù)陣為）觀測數(shù)據(jù)平差值的協(xié)因數(shù)陣為 (1-7-39)2022-1-1226 （三）（三） 陣標(biāo)準(zhǔn)化陣標(biāo)準(zhǔn)化1、用原始陣、用原始陣 和和 陣，求出相應(yīng)的陣陣，求出相應(yīng)的陣 ；2、設(shè)、設(shè) 中第中第i行主對角元素為行主對角元素為gii，把原始陣，把原始陣 相應(yīng)相應(yīng)的第的第i行數(shù)據(jù)均乘以行數(shù)據(jù)均乘以 即可得到標(biāo)準(zhǔn)化陣的相應(yīng)數(shù)據(jù)；即可得到標(biāo)準(zhǔn)化陣的相應(yīng)數(shù)據(jù)；3、原始陣中每一行數(shù)據(jù)均按（、原始陣中每一行數(shù)據(jù)均按（2）所述做同樣變換，即可得）所述做同樣變換，即可得到標(biāo)準(zhǔn)化陣。到標(biāo)準(zhǔn)化陣。例：測角網(wǎng)如下圖，全網(wǎng)例：測角網(wǎng)如下圖，全網(wǎng)4個待定點的坐標(biāo)值列于下表個待定點的

26、坐標(biāo)值列于下表.當(dāng)采當(dāng)采用秩虧網(wǎng)測角平差時，求其標(biāo)準(zhǔn)化陣。用秩虧網(wǎng)測角平差時，求其標(biāo)準(zhǔn)化陣。2022-1-1227點號 /mP1P2P3P42022-1-1228（1）計算網(wǎng)的重心點坐標(biāo)計算網(wǎng)的重心點坐標(biāo) （2）計算以加權(quán)重心點坐標(biāo)為坐標(biāo)原點的各待定點的坐標(biāo)值計算以加權(quán)重心點坐標(biāo)為坐標(biāo)原點的各待定點的坐標(biāo)值 點號 /km P1 P2 P3 P4 2022-1-1229(3)原始 陣確定。（4）求解 （5）標(biāo)準(zhǔn)化陣確定把原始陣中的第一行、第二行、第三行、第四行分別乘以把原始陣中的第一行、第二行、第三行、第四行分別乘以 2022-1-1230 六、擬穩(wěn)平差六、擬穩(wěn)平差 擬穩(wěn)平差是在最小二乘和最小范

27、數(shù)（局部解向量的范數(shù)擬穩(wěn)平差是在最小二乘和最小范數(shù)（局部解向量的范數(shù)最?。┳钚。?的條件下，求定位置參數(shù)的最佳估值。也可的條件下，求定位置參數(shù)的最佳估值。也可敘述為：擬穩(wěn)平差是相容法方程敘述為：擬穩(wěn)平差是相容法方程 ， （1-7-40） 在最小范數(shù)條件下的解?？梢?，它是加權(quán)秩虧網(wǎng)平差取在最小范數(shù)條件下的解。可見，它是加權(quán)秩虧網(wǎng)平差取 時的特例。因此，擬穩(wěn)平差的各種計算公式也可由加權(quán)秩虧時的特例。因此，擬穩(wěn)平差的各種計算公式也可由加權(quán)秩虧網(wǎng)平差的計算公式直接引出。網(wǎng)平差的計算公式直接引出。2022-1-1231 （一）平差計算公式（一）平差計算公式 在式（1-7-40）第二式中，取 （1-7-41） 并設(shè) （1-7-42）則 （1-7-43）若令 （1-7-44）則可得擬穩(wěn)平差的函數(shù)模型為 （1-7-45）此處的系數(shù)矩陣B不是列滿矩陣，而是列虧矩陣。將式（1-7-45）組成法方程，得 2022-1-1232 （1-7-46）式中， ，。 因為降秩方陣，無正常逆，所以必須對法方程做適當(dāng)變動。將（1-7-46）中的第二個方程左乘 后再加到第一個方程上去，既得變形后的法方程為 （ 1-7-47） 式中，。 解法方程，得 （1-7-48） （1-7-49）