求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法_第1頁(yè)
求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法_第2頁(yè)
求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法_第3頁(yè)
求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法_第4頁(yè)
求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法_第5頁(yè)
已閱讀5頁(yè),還剩5頁(yè)未讀, 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡(jiǎn)介

1、求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法 求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式是數(shù)列知識(shí)的一個(gè)重點(diǎn),也是一個(gè)難點(diǎn),高考也往往通過(guò)考查遞推數(shù)列來(lái)考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的探索能力,求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式一般是將遞推公式變形,推得原數(shù)列是一種特殊的數(shù)列或原數(shù)列的項(xiàng)的某種組合是一種特殊數(shù)列,把一些較難處理的數(shù)列問(wèn)題化為中學(xué)中所研究的等差或等比數(shù)列,下面就求遞推數(shù)列通向公式的常用方法舉例一二,供參考:一 公式法:利用熟知的的公式求通項(xiàng)公式的方法稱為公式法,常用的公式有,等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。例一 已知無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和為,并且,求的通項(xiàng)公式?【解析】: , , ,又, .反思:利用相關(guān)數(shù)列與的關(guān)系:,與提設(shè)條件,建立遞推關(guān)系,是本題求解

2、的關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練1.已知數(shù)列的前項(xiàng)和,滿足關(guān)系.試證數(shù)列是等比數(shù)列.二 歸納法:由數(shù)列前幾項(xiàng)用不完全歸納猜測(cè)出數(shù)列的通項(xiàng)公式,再利用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性,這種方法叫歸納法.例二 已知數(shù)列中,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】:,猜測(cè),再用數(shù)學(xué)歸納法證明.(略)反思:用歸納法求遞推數(shù)列,首先要熟悉一般數(shù)列的通項(xiàng)公式,再就是一定要用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性.跟蹤訓(xùn)練2.設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列,其前項(xiàng)和為,并且對(duì)于所有自然數(shù),與1的等差中項(xiàng)等于與1的等比中項(xiàng),求數(shù)列的通項(xiàng)公式.三 累加法:利用求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。累加法是求型如的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法(可求前項(xiàng)和).例三 已知無(wú)窮數(shù)列的的通項(xiàng)公式是,

3、若數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】:,=1+=.反思:用累加法求通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為.跟蹤訓(xùn)練3.已知,求數(shù)列通項(xiàng)公式.四 累乘法:利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱為累乘法,累乘法是求型如: 的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法(數(shù)列可求前項(xiàng)積).例四 已知,求數(shù)列通項(xiàng)公式.【解析】:,又有=1×=,當(dāng)時(shí),滿足,.反思: 用累乘法求通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為.跟蹤訓(xùn)練4.已知數(shù)列滿足,.則的通項(xiàng)公式是.五 構(gòu)造新數(shù)列: 將遞推公式(為常數(shù),)通過(guò)與原遞推公式恒等變成的方法叫構(gòu)造新數(shù)列.例五 已知數(shù)列中, ,求的通項(xiàng)公式.【解析】:利用,求得,是首項(xiàng)為,公比為2的等比數(shù)列,即

4、,反思:.構(gòu)造新數(shù)列的實(shí)質(zhì)是通過(guò)來(lái)構(gòu)造一個(gè)我們所熟知的等差或等比數(shù)列.跟蹤訓(xùn)練5.已知數(shù)列中, ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.六 倒數(shù)變換:將遞推數(shù)列,取倒數(shù)變成 的形式的方法叫倒數(shù)變換.例六 已知數(shù)列中, ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】:將取倒數(shù)得: ,是以為首項(xiàng),公差為2的等差數(shù)列. ,.反思:倒數(shù)變換有兩個(gè)要點(diǎn)需要注意:一是取倒數(shù).二是一定要注意新數(shù)列的首項(xiàng),公差或公比變化了.跟蹤訓(xùn)練6.已知數(shù)列中, ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.小結(jié):求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法很多,以上只是提供了幾種常見(jiàn)的方法,如果我們想在求遞推數(shù)列中游刃有余,需要在平時(shí)的練習(xí)中多觀察,多思考,還要不斷的總結(jié)經(jīng)驗(yàn)甚至教訓(xùn).參考答案:1.

5、證明:由已知可得:,當(dāng)時(shí),時(shí),滿足上式. 的通項(xiàng)公式,時(shí)為常數(shù),所以為等比數(shù)列.2. 解:由已知可求,猜測(cè).(用數(shù)學(xué)歸納法證明).3. 由已知,= .4.時(shí), ,作差得: ,.5. 6. 數(shù)列一、 求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式基礎(chǔ)類型 類型1 解法:把原遞推公式轉(zhuǎn)化為,利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知數(shù)列滿足,求。解:由條件知:分別令,代入上式得個(gè)等式累加之,即 所以,類型2 解法:把原遞推公式轉(zhuǎn)化為,利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知數(shù)列滿足,求。解:由條件知,分別令,代入上式得個(gè)等式累乘之,即又,例3:已知, ,求。解: 。變式:(2004,全國(guó)I,理15)已知數(shù)列an,滿足a1=1,

6、 (n2),則an的通項(xiàng) 解:由已知,得,用此式減去已知式,得當(dāng)時(shí),即,又,將以上n個(gè)式子相乘,得類型3 (其中p,q均為常數(shù),)。解法(待定系數(shù)法):把原遞推公式轉(zhuǎn)化為:,其中,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例4:已知數(shù)列中,求.解:設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令,則,且.所以是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,則,所以.變式:(2006,重慶,文,14)在數(shù)列中,若,則該數(shù)列的通項(xiàng)_(key:)類型4 (其中p,q均為常數(shù),)。 (或,其中p,q, r均為常數(shù)) 。解法:一般地,要先在原遞推公式兩邊同除以,得:引入輔助數(shù)列(其中),得:再待定系數(shù)法解決。例5:已知數(shù)列中,,,求。解

7、:在兩邊乘以得:令,則,解之得:所以類型5 遞推公式為(其中p,q均為常數(shù))。解 (特征根法):對(duì)于由遞推公式,給出的數(shù)列,方程,叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個(gè)根,當(dāng)時(shí),數(shù)列的通項(xiàng)為,其中A,B由決定(即把和,代入,得到關(guān)于A、B的方程組);當(dāng)時(shí),數(shù)列的通項(xiàng)為,其中A,B由決定(即把和,代入,得到關(guān)于A、B的方程組)。例6: 數(shù)列:, ,求解(特征根法):的特征方程是:。,。又由,于是 故練習(xí):已知數(shù)列中,,,求。變式:(2006,福建,文,22)已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(I)解: 類型6 遞推公式為與的關(guān)系式。(或)解法:利用與消去 或與消去進(jìn)行求解。例7:數(shù)列前n項(xiàng)和.(1)

8、求與的關(guān)系;(2)求通項(xiàng)公式.解:(1)由得:于是所以.(2)應(yīng)用類型4(其中p,q均為常數(shù),)的方法,上式兩邊同乘以得:由.于是數(shù)列是以2為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,所以類型7 解法:這種類型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為,再利用待定系數(shù)法求解。例8:已知數(shù)列中,求數(shù)列解:由兩邊取對(duì)數(shù)得,令,則,再利用待定系數(shù)法解得:。類型8 解法:這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。例9:已知數(shù)列an滿足:,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解:取倒數(shù):是等差數(shù)列,變式:(2006,江西,理,22)已知數(shù)列an滿足:a1,且an 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;解:(1)將條件變?yōu)椋?,因此1為一個(gè)等比數(shù)列,其首項(xiàng)為1,公

9、比,從而1,據(jù)此得an(n³1)類型9周期型解法:由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng),尋找周期。例10:若數(shù)列滿足,若,則的值為_(kāi)。變式:(2005,湖南,文,5)已知數(shù)列滿足,則=( )A0BCD二、數(shù)列的求和:(1)公式法:必須記住幾個(gè)常見(jiàn)數(shù)列前n項(xiàng)和 ; ; 10(遼寧卷)已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為()求q的值;()若a1與a5的等差中項(xiàng)為18,bn滿足,求數(shù)列的bn前n項(xiàng)和. ()解法一:當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.是等差數(shù)列,············4分解法二:當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),.又

10、,所以,得.············4分()解:,.又,············8分又得.,即是等比數(shù)列.所以數(shù)列的前項(xiàng)和 (2)分組求和:如:求1+1,的前n項(xiàng)和(注:) (3)裂項(xiàng)法:如求Sn 常用的裂項(xiàng)有; ; (湖北卷)已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),其導(dǎo)函數(shù)為,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上。()、求數(shù)列的通項(xiàng)公式;()、設(shè),是數(shù)列的前n項(xiàng)和,求使得對(duì)所有都成立的最小正整數(shù)m;解:()設(shè)這二次函數(shù)f(x)ax2+bx (a0) ,則 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖像上,所以3n22n.當(dāng)n2時(shí),anSnSn1(3n22n)6n5.當(dāng)n1時(shí),a1S13×1226×15,所以,an6n5 ()()由()得知,故Tn(1).因此,要使(1)<()成立的m

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

最新文檔

評(píng)論

0/150

提交評(píng)論