矩陣分解的研究及應(yīng)用

1、矩陣分解的研究及應(yīng)用摘要：將一矩陣分解為若干個矩陣的和或積，是解決某些線性問題的重要方法，其技巧性、實用性強。本文首先分成四部分內(nèi)容來闡述矩陣分解的形式及一些很常見的分解。最后舉例說明矩陣分解的應(yīng)用。 關(guān)鍵詞：特征值分解 秩分解 三角分解 和分解關(guān)于矩陣分解的形式的文獻(xiàn)已有很多，但對于這個問題的分析各不相同。本文從四個方面來論述矩陣的分解的形式，并以一些具體的例子來說明矩陣分解在實際應(yīng)用中的重要性。一、特征值分解*1 性質(zhì)1：任意n階矩陣A，存在酉矩陣T，使得A=T-1 T，其中1, ,n為矩陣A的0n特征值。稱形如這樣的分解叫做矩陣A的特征值分解。J1 性質(zhì)1'：任意n階矩陣A，存在

2、酉矩陣T，使得A=T-1 T，其中Jsi 1i，i=1,2, ,s且1, ,s為矩陣A的特征值。 Ji= 1inini對于對稱矩陣有如下結(jié)論：1 定理1.1：若A為n階實對稱矩陣，則存在正交矩陣T，使得A=T-1 其中1, ,n T，n為矩陣A的特征值。*1 證明 由性質(zhì)1,知 存在酉矩陣T，使得A=T-1 T0n又由于A為n階實對稱矩陣，因此*'0*111 -1 -1 A'= T-1 T=T T=A=T T0 * 0 nnn*101 從而，得 = 0 nn*1 因此A=T-1 T 得證。n定理1.2：矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是存在非奇異矩陣B，使得A=B'B。證

3、明 必要性 因為A為正定矩陣，由定理1.1，得 存在可逆的正交矩陣T，使得1 A=T-1 T，且i>0，i=1,2, ,nn令B=T-1 T，則'' T=T -1'-1 (T)=T T -1B'= T 0 從而有B'B=T-1 -1 TT T =T-1 2 1 T=T-1 T=A 2n充分性 因為A=B'B， 則 A'=(B'B)'=B'(B')'=B'B=A因此A為對稱矩陣。又任意不為零的向量x，有 x'Ax=x'B'Bx=(Bx)'(Bx)令Bx=(

4、x1, ,x2)，又B為非奇異矩陣， 從而知 Bx=(x1, ,x2)0因此 x'Ax=(Bx)'(Bx)=x12+x22+ +xn2>0所以A為正定矩陣。 得證。定理1.3：設(shè)A是n階實對稱矩陣，則A是正定矩陣的充分必要條件是存在正定矩陣B，使得A=Bk，k為任意正整數(shù)。證明 必要性 因為A為正定矩陣，由定理1.1，得 存在可逆的正交矩陣T，使得1 A=T-1 T，且i>0，i=1,2, ,nn對任意的正整數(shù)k，令B=T-1 T，則有 Bk= T-1Tk-1 =T k1T=T-1 T=A kn必要性 由于B為正定矩陣，因此對任意的非零向量x，有x'Bx&g

5、t;0。k又A=Bk，則有A'=Bk'=(B')=Bk=A 即A為對稱矩陣()且有 x'Ax=x'Bkx當(dāng)k為奇數(shù)時， x'Ax=x'Bkx=(Bx)'B(Bx)又B為正定矩陣，因此Bx0，即有 x'Ax=x'Bkx=(Bx)'B(Bx)>0當(dāng)k為偶數(shù)時， x'Ax=x'Bkx=(Bx)'(Bx)又B為正定矩陣，因此Bx0，即有 x'Ax=x'Bkx=(Bx)'(Bx)>0從而，知對任意不為零的向量x，有x'Ax>0。因此A是正定矩陣

6、。 得證。定理1.4：設(shè)A為一個n階可逆矩陣，則存在一個正定矩陣S和一個正交矩陣U，使得A=US或A=SU。證明 由定理1.2，知 B=A'A為正定矩陣由定理1.3,得 存在正定矩陣S，使得B=S2令U=AS-1，則 U'=AS-1'=S-1A' 從而有kk-1k-1k-1kkkk()U'U=S-1A'AS-1=S-1S2S-1=E 因此U=AS-1為正交矩陣。且又US=AS-1S=A 同理可證A=SU的結(jié)論。 得證。 定理1.5：設(shè)A是n階實對稱矩陣，1,2, ,n是A的n個單位正交特征向量，對應(yīng)的特征值為'''1,2,

7、 ,n。則A=111+222+ +nnn。證明 因為A為n階實對稱矩陣，由定理1.1,知 存在正交矩陣T，使得1A=T-1 Tn12設(shè)T= ，其中i為T的的第i個行向量，則 T-1=T'=(1',2', ,n')，于是有 n11 2'2+ +nn'n =11'1+22n nA=(1',2', ,n')因T的行向量是A的特征向量，且T為正交矩陣，故1,2, ,n為A的單位正交特征向量。 得證。定理1.5：A為正定矩陣的充分必要條件是存在n個線性無關(guān)的向量1,2, ,n，使得'2+ +n'n。 A=1&

8、#39;1+2證明 因為A為正定矩陣，由定理1.2，知 存在可逆的矩陣B，使得A=B'B令B=(1,2, ,n)'，又由于B為可逆矩陣，因此1,2, ,n線性無關(guān)。1 ' ''B'1'2+=(1',2,)2=+2 +'nn又 A=B 得證。 n1 2定理1.6：秩為r的n階實對稱矩陣A可表示成r個秩為小于等于1的對稱矩陣之和。其組合系數(shù)為A的特征值。1 證明 由定理1.1，知 存在正交矩陣T，使得 A=T-1 Tn2,r,0,i=1,令T=(1,2, ,n)'，且設(shè)A的秩為r，則不妨令 i= 有r,+ 2,n,0,

9、i=r+11r-1A=T1 r'T=T0 0T0 01r''' =(1,2, ,n)1 2'2+ +rr'r =11'1+220 n0由于秩(i'i)min秩',ii1，i=1,2, ,r'',ii1， 且 從而有 秩(iii)min秩'''A=111+222+ +rrr組合系數(shù)為A的特征值。 得證。二、矩陣的秩分解E性質(zhì)2：任一矩陣Amn，都存在可逆矩陣P、Q，使得A=P r0稱形如這樣的分解為矩陣的秩分解。定理2.1：秩為r的實矩陣Amn都可分解成A=PmrQrn。 0Q，其中r

10、為矩陣A的秩。0E證明 由性質(zhì)2，知 存在可逆矩陣P、Q，使得A=P r0E 因此，得 A=P r00ErQ=P (Er000Q 00)Q=PmrQrn 得證。定理2.2：秩為r的實矩陣Amn可分解成r個秩為1的矩陣之和。E證明 由性質(zhì)2，知 存在可逆矩陣P、Q，使得A=P r00Q 0Er因此，得 A=P 0 0 0 r 0 Q=P1 Q 0i=1 0 0 inn00 00 Q=而秩 P 秩11 =1，i=1,2, ,r 00 00 iinnnn得證。三、三角分解性質(zhì)3：設(shè)A為n階實可逆矩陣，則可分解為A=QR，其中Q為正交矩陣，R為一個對角線上全為正數(shù)的上三角形矩陣。稱形如這樣的分解為矩陣

11、的三角分解。定理3.1：實矩陣Amn可以分解成一個正交矩陣和一個對角矩陣及一個正交矩陣的積。即A=URV，a1ar其中U、V為正交矩陣，r為A的秩且R=，ai>0，i=1,2, ,r。0 0E證明 由性質(zhì)2，知 存在可逆矩陣P、Q，使得A=P r00Q 0由性質(zhì)3，對P、Q'作三角分解，使得P=Q1R1，Q'=Q2R2，其中Q1、Q2為正交矩陣，R1、R2為上三角矩陣，從而有EA=Q1R1 r00R2'Q2' 0B1將R1、R2'分塊成與等價標(biāo)準(zhǔn)形能積的形式：R1=0B2C1C2'、R= ，B1、C1為r階方2B30C3陣。記G=B1C1&

12、#39;，由定理1.2，得 G'G為實對稱的正定矩陣。且有ErA=Q1R100B1''R2Q2=Q1 00B2ErB3 0BC'0C1'C2'' Q2=Q1 11 000C'3B1C2''Q2 （1） 0由定理1.1，得 存在r階正交矩陣P1，使得1-1 -1P=PG'G=P1 11r 記R1= ， 可得 çi=1,2, ,r其中i>0，P1，-11-1'1-1'1'(R1)-1)，從而知GP'1-1'GPEr=(R1)-1PG=(GP11(R)1(R

13、)(GP1(R)為正交矩陣。GP'(R1)-1P11 11 顯然U、V為正交矩陣。 現(xiàn)令U1=、V1= 11 11nnmm由（1）式，得BC'A=Q1 110(GP'(R1)-1)R1P0R10R10B1C2''11Q2=Q1 Q2'=QUV1Q2'=U V11 0000000a1 ar'i=1,2, ,r其中U=QU、為正交矩陣，現(xiàn)令，則R=aV=VQ 11i12 且A=URV。 得證。 ，0 0四、和分解性質(zhì)4：任一n階矩陣A都可表示成一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣之和。 證明 令B=(A+A')、C=(A-A'

14、)，則 1212'111B'= (A+A')=(A'+A)=(A+A')=B 222'111C'= (A-A')=(A'-A)=-(A-A')=-C 222知 B為對稱矩陣，C為反對稱矩陣。且有11B+C=(A+A')+(A-A')=A。 得證。 22五、矩陣分解的應(yīng)用308 例1：設(shè)矩陣A= 316，求A100-2A50。（東南大學(xué)06）-20-5解 對矩陣E-A作如下的初等變換0-8-3-1-6-1-1-1-3 E-A= -3-1-6-30-8-30-8 2 0+520+520+5-1-100-

15、11 0(-1)(-3)(+1)(-5) 02(-1)3(+1) 0 2(-1)3(+1)0(-1)(-3)(+1)(-5) 1 10000 02(-1)3(+1) 02(-1)6 11220-(+1) 00-(+1) 022 10 061 0-(+1)220100 2(-1) 010 00(-1)(+1)20所以A的初等因子為-1，(+1)2。100 所以A的Jardon標(biāo)準(zhǔn)形為 A=T-1 0-10T01-1從而得100100 A100-2A50=T-1 0-10T-2T-1 0-10T01-1 01-1100200 =T-1 010T-T-1 020T01001 01002-100 =T

16、-1 0-10T=-E00-1即A100-2A50=-E例2：設(shè)A為n階實矩陣，E為n階單位矩陣。證明：rank(A-iE)=rank(A+iE)，其中i為虛數(shù)單位。（清華大學(xué)06） 10050*1 解 由定理1,知 存在可逆的酉矩陣T，使得A=T-1 T0n*1+i 從而有 A+iE=T-1 T0n+i*1-i A-iE=T-1 T0n-i由于A為n階實矩陣，所以A的特征多項式為n次實多項式，又實多項式的復(fù)根是成對共軛出現(xiàn)的，因此A的復(fù)特征值出是成對共軛出現(xiàn)的。當(dāng)A的所有特征值都不是i（或-i），則A的特征值不存在-i（或i）。 則此時k±i0 ，k=1,2, ,n且有 (k=1n

17、k+i)0， (k=1nk-i)01+i而此時 A+iE=T-1* =(k+i)0 n0n+i*k=11-iA-iE=T-1T=(k-i)0 nA從而得 ran(k-i)E=n-ink=1ra(n+kA)=i E當(dāng)A的特征值中存在有i（或-i），則A一定有一特征值-i（或i）存在。并且有幾個i（或-i）存在相應(yīng)的就有幾個-i（或i）存在。*1+i1-i1 -1 又由于 A+iE ，=-T TA-iE=T T0 0n+in-i*1+i1+i 從而 知 rank(A+iE)=rank(T-1 T)=rank( )0 0n+in+i*1-i1-i rank(A-iE)=rank(T-1 T)=ran

18、k( )0 0n-in-i*1+i rank( )=k+i（k=1,2, ,n）中不為零的個數(shù)s0n+i*1-i rank( )=k-i（k=1,2, ,n）中不為零的個數(shù)s0n-i從而可得rank(A-iE)=rank(A+iE)=n-s得證。例3：設(shè)A為n階矩陣，且A2=E，證明：秩(A+E)+秩(A-E)=n。（廈門大學(xué)06） 解 由于A2=E，則A2-E=(A+E)(A-E)=0因此 (x+1)(x-1)=x2-1為A的化零多項式從而有 mA(x)|x2-1所以A的最小多項式的根只能為-1或1又A的特征多項式與最小多項式有相同的根，因此A的特征值為-1或1假設(shè)A的特征值中有r個-1（或

19、1），則A的另外的n-r個特征值必為-1（或1）。-1 -1-1T 由性質(zhì)1，知 存在正交矩陣T，使得 A=T 1 1r-1-1 -1-1-1-1T+E=T T+T-1ET 則有A+E=T 11 11rr-1-1+1 -1-1+1-1-1+ET=T T T 11+1 11+1 rr0 0-1T =T 2 2r0 0=n-r 因此 rank(A+E)=rank 2 2r-1-2 -1-2-1-1T-E=T T 同理可得 A-E=T 10 10rr-2 -2=r 則有 rank(A-E)=rank 0 0r從而有 秩(A+E)+秩(A-E)=n-r+r=n 得證。例4：設(shè)A是秩為r的n級矩陣。 證

20、明: 存在秩為n-r的方陣B和C使得AB=CA=O。 證明 因為A是秩為r的n級矩陣，由性質(zhì)2,得 存在可逆矩陣P、Q，使得EA=P r00Q 00-100-10-1現(xiàn)令B=Q-1 、PC=P Q，則有0En-r0En-rEAB=P r0-100-10Er-1QQP=P 0E00n-r000-1 0EP=0 0n-r0Q=0 000-1ErCA=Q PP 0E0n-r得證。 00Er0-1Q=Q 0E 0n-r0-113 例5：設(shè)A= 1-1-3，求A2002。-226-1131 解 由于rank(A)=1，則由性質(zhì)2，知 A= 1-1-3= -1(-113)=-226 21 其中= -1，=(-113)，則有21=(-113) -1 =42-113 =()2001=42001=42001A=42001 1-1-3-226mm+1所以 A2002=()2002例6：設(shè)A為n級矩陣, 求證: (1) 存在正整數(shù)m使得秩(A) =秩(A); (2) 若存在正整數(shù)m使得秩(Am)=秩(Am+1), 則對于任意正整數(shù)j, 秩(Am)=秩(Am+j)。J1 證明 由性質(zhì)1',知 存在酉矩陣T，使得 A=T-1 T，Jsi 1i其中Ji= ，i=1,2, ,s且1, ,s為矩陣A的特征值。 1i