雙曲線的漸近線和離心率

1、第34練雙曲線的漸近線和離心率題型一雙曲線的漸近線問題例1 （2013課標全國I ）已知雙曲線 C: x2-y2= 1（a>0, b>0）的離心率為迎，則C的漸近線 a b2方程為（）1 1A . y=# B. y = WxC. y= =x D . y= ±x破題切入點根據(jù)雙曲線的離心率求出a和b的比例關系，進而求出漸近線.答案 C解析a=2k, c=75k(kC R+),b 1由 b2=c2-a2=k2,知 b=k.所以b = 1 a 2.即漸近線方程為y=4x.故選C.題型二雙曲線的離心率問題例2已知O為坐標原點，雙曲線y2=1（a>°，b>0）

2、的右焦點為F,以OF為直徑作圓與雙曲線的漸近線交于異于原點的兩點A,B,若（AO+AF） oF=0,則雙曲線的離心率 3為（）A. 2 B. 3C. 2 D. ,3破題切入點數(shù)形結合，畫出合適圖形，找出 a, b間的關系.答案 C解析如圖，設OF的中點為T,由(AO+AF)加=0 可知 ATI OF, c c又A在以OF為直徑的圓上，Ac, c ,又A在直線y='x上， aa = b,e= 2J2.題型三雙曲線的漸近線與離心率綜合問題例3 已知A(1,2), B(1,2),動點P滿足APiBP.若雙曲線*= 1(a>0, b>0)的漸近線與動點P的軌跡沒有公共點，則雙曲線離

3、心率的取值范圍是 .破題切入點先由直接法確定點 P的軌跡(為一個圓)，再由漸近線與該軌跡無公共點得到不等關系，進一步列出關于離心率e的不等式進行求解.答案(1,2)解析 設P(x, v),由題設條件，得動點 P 的軌跡為(x 1)(x+1)+(y2) (y2)=0,即x2+ (y- 2/=1,它是以(0,2)為圓心，1為半徑的圓.又雙曲線， y1= 1(a>0, b>0)的漸近線方程為y= gx,即bxiay= 0,由題意，可得"7=>1,即2a>1Va2+b2c所以e= ；<2,又 e>1,故 1<e<2.總結提高(1)求解雙曲線的離

4、心率的關鍵是找出雙曲線中a, c的關系，a, c關系的建立方法直接反映了試題的難易程度，最后在求得e之后注意e>1的條件，常用到數(shù)形結合.(2)在求雙曲線的漸近線方程時要掌握其簡易求法.由 y= x? |+y = 0? 9(=0，所以可 以把標準方程，一£=1(a>0，b>0)中的“1”用“0”替換即可得出漸近線方程.雙曲線的離 心率是描述雙曲線“張口 “大小的一個數(shù)據(jù)，由于日=修=亞，當e逐漸增大時，b的值就逐漸增大，雙曲線的“張口”就逐漸增大.X2 y2y2 x21,已知雙曲線$ *1(a>0, b>0)以及雙曲線y2-/=1的漸近線將第一象限三等分

5、，則雙22曲線x2匕=1的離心率為()a b"2_3A. 2或 3B.46或 3C. 2或鎘 D.43或乖答案 A解析 由題意，可知雙曲線 與一y|=1的漸近線的傾斜角為30?；?0。，a b則b=?或3.a 301+a2=斗或2,故選a.2.已知雙曲線C:222 ya2 b2=1 (a>0, b>0)的左,右焦點分別為F1, F2,過F2作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為H,若F2H的中點M在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為()A.5 B.y3 C. 2 D. 3答案 A解析 取雙曲線的漸近線 y = bx,則過F2與漸近線垂直的直線方程為y=-a(x-c),可解得a

6、b點H的坐標為a；,ab ,則F2H的中點M的坐標為a:c, ab，代入雙曲線方程x2-y2=1c c2c 2ca ba2+ c2 2a2h2,n _可得Sac K=1'整理得c2=2a2,即可得e=a=<2，故應選A.X2 y23. (2014綿陽模擬)已知雙曲線x2 b2=1(a>0, b>0)的兩條漸近線均和圓C: x2+y2-6x+5=0相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為22A. 1一寧=15422B./y"=145答案 A解析雙曲線x2救=1的漸近線方程為y= 以 圓C的標準方程為(x- 3)2+y2=4,圓心為 C(3,0).

7、又漸近線方程與圓 C相切，即直線bx-ay=0與圓C相切，7a2 =2,，比2=44.又一學3=1的右焦點F2(4a2+b2, 0)為圓心C(3,0),a2+ b2= 9.由得a2=5, b2 = 4.x2v2雙曲線的標準方程為t=1.4.已知雙曲線x2 5= 1(a>0, b>0)的左，右焦點分別為 Fi(-c,0), F2(c,0),若雙曲線上存在點P使sn*E= sn,則該雙曲線的離心率的取值范圍是(A. (1,啦+ 1)B. (1, V3)C. (V3, i )D. (V2+ 1,+8 )答案 A解析根據(jù)正弦定理得sn|PPF|iF2|PF1|sin/ PF2F1asin/

8、 PF1F2csin/ PF2F1a c|PF i| c可信|PF2|= |PFi口 |PF2|= a=e,所以 |PFi|=e|PF2|.因為e>l,所以|PFi|>|PF2|,點p在雙曲線的右支上.又 |PFi| |PF2|=e|PF2| |PF2|= |PF2|(e 1) = 2a,解得|PF2| =2ae 1F1PF2ei, e2,m= r_2=c24r2r2+ r2 rir2r21+ r;r2ri因為|PF2|>ca（不等式兩邊不能取等號，否則題中的分式中的分母為0,無意義），所以 Sa7>c-a,即 -7>e-1,e- 1e1即（e 1）2<2,

9、解得 e<J2+1.又 e>1,所以 eC （1, 72+1）.5. （2014湖北）已知Fi, F2是橢圓和雙曲線白公共焦點，P是它們的一個公共點，且/=機則橢圓和雙曲線的離心率白倒數(shù)之和的最大值為（）3A433 B.守C. 3 D. 2答案 A解析 設 |PFi|=c, |PF2|= r2（ri>r2）,|FiF2|=2c,橢圓長半軸長為ai,雙曲線實半軸長為 a2,橢圓、雙曲線的離心率分別為,44cTT由(2c)1 ai + a2 ri所以 一十-= 一 ei e2 c c= r2+ r2 2rir2cos 3,得 4c2= r2+ 一rir2.ri + r2= 2ai

10、,ri = ai + a2,由得ri r2=2a2,r2 = aia2,417712 4“211當不尹mmax=16所以4.3 max= 3 ,即1+1的最大值為ei e24133 .x2 y2=1,雙曲線C2的方程為34r 1, c1又a2= b2+ c2,c2= a2+b2,x2 y26. （2014山東）已知a>b>0,橢圓 Ci的方程為 亞十京與C2的離心率之積為號,則C2的漸近線方程為（）A. x±V2y=0 B.必±y=0C. xi2y=0 D. 2x±y= 0答案 A解析由題意知v vC1 C2_ C1C2a2.c2=a2c2c2 a4-

11、b4=1-(/即 i（a）4=b .2解得一= ±ta 2入x2 y2-0"一b26解得bx由y= 0,.x±y2y=0.x27.若橢圓0i十卜1（a>b>0）與雙曲線/一b2=1的離心率分別為e1, 口,則e1e2的取值范圍為答案（0,1）解析可知e2=1-b!aa2 a!±bf 4e2= a2 =1 +b2 a2'所以 e1 + e2 = 2>2e1e1? 0<e1e2<1.v2 、/2a 28 .過雙曲線-2-匕=1 (a>0, b>0)的左焦點F作圓x2 + y2=O的切線，切點為 E,延長FE交

12、 ab4雙曲線的右支于點 P,若E為PF的中點，則雙曲線的離心率為解析 設雙曲線的右焦點為 F',由于E為PF的中點，坐標原點 。為FF'的中點，所以aEO/PF ,又 EOXPF,所以 PF ± PF,且 |PF |=2X/=a,故 |PF|=3a,根據(jù)勾股 te 理 得|FF' |=#0a.所以雙曲線的離心率為 磐=邛.b2=1(a>0, b>0)的兩條漸近線分別交x29 . (2014浙江)設直線x3y + m=0(mw0)與雙曲線-2 a于占4 八、A, B.若點P(m,0)滿足|PA|=|PB|,則該雙曲線的離心率是答案5"2&

13、quot;解析雙曲線x2a231的漸近線方程為廠爭b由片井x 3y+ m= 0得A(含bm3ba'by = -x, 由 ax 3y+ m = 0一am 得不bm a+3b),所以AB的中點C坐標為(滯-ma23b2m9b2 a2)設直線 l: x3y+m= 0(mw 0),因為 |PA|=|PB|,所以 PCL,所以kpc=-3,化簡得a2=4b2 在雙曲線中，c2=a2+b2=5b2,x2 y210. (2013湖南)設F1, F2是雙曲線C:魂一y2=1(a>。，b>0)的兩個焦點，P是C上一點，若 a b |PFi|十|PF2|=6a,且 PF1F2的最小內角為 30

14、°,則雙曲線 C的離心率為答案 3解析不妨設|PF1|>|PF2|,則 |PFi| |PF2|=2a,又 丁51|+52|=62, .|PFi|=4a, |PF2|=2a.又在PF1F2 中，/ PFiF2=30°,由正弦定理得，/ PF2Fi=90°,|FiF2|=2>/3a,，雙曲線C的離心率e=今憚=43.2ax2 y2E的左,11. P(xo, yo)(xow ia)是雙曲線 E：b2=1(a>0, b>0)上一點，M, N 分別是雙曲線右頂點，直線PM, PN的斜率之積為1.5(1)求雙曲線的離心率；(2)過雙曲線E的右焦點且斜率

15、為1的直線交雙曲線于 A, B兩點，O為坐標原點,(OC= DA + OB,求入的值.x2 y2y0)(x°w ±a)在雙曲線/一號=1上，線上一點，滿足解(1)點 P(x0,C為雙曲心xo a xo + a 5'可得 a2 = 5b2, c2= a2+ b2= 6b2, 貝U e=c=°a 5 .x2 一 5y2 = 5b2,(2)聯(lián)立得 4x2-10cx+35b2=0.y=x-c,設A(x1, yi), B(x2, y2).5c x1 + x2= 2 ,35b2X1X2=-.設OC=(X3, y3), OC= OA + OB,X3 =入箕+ X2,即y

16、3 =入葉y2.又C為雙曲線上一點，即 X2-5y2=5b2,有(入X2)2 5(入葉 y2)2= 5b2.化簡得 %(才一5y2)+(X2 5y2)+ 2 Xxix2 5yiy2)= 5b2.又“小，yi), B(x2, y2)在雙曲線上，所以 X2-5y2=5b2, X2-5y2= 5b2.由(1)可知 c2=6b2,由式又有 xix2 5yiy2= xix2 5(xi c)(x2 c) = 4xix2+ 5c(xi + X2) 5c2= 10b2得於十4上0,解得入=0或Q - 4.12. (2014江西)如圖，已知雙曲線 C: M y2=1(a>0)的右焦點為F.點A, B分別在

17、C的兩條 a漸近線上，AFx軸，ABXOB, BF/OA(O為坐標原點).(1)求雙曲線C的方程；(2)過C上一點P(X0, y0)(y0W0)的直線l:學一yoy=1與直線AF相交于點M,與直線x= 3相交于點N.證明：當點P在C上移動時，耨恒為定值，并求此定值.解(1)設 F(c,0),直線OB方程為y = - -xa直線BF的方程為y = x c),解得B(c, - cr.a2 2a又直線OA的方程為y = -x,ac_ _ c_ 則 A(c, c), kAB = a_C2a c2又因為ABXOB,所以1(一1)=i,解得a2 = 3,故雙曲線C的方程為x-y2 = 1.3(2)由(1)知a =3,則直線l的方程為X0Xrxox 37 y0y =1(y0w0),即 y= 3y0 .因為c= 苻工京=2,所以直線A