概率論—樣本空間及其隨機(jī)事件

1、第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件1第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件2目目 錄錄 1.1 樣本空間與隨機(jī)事件樣本空間與隨機(jī)事件 1.2 頻率與概率頻率與概率 1.3 古典概型與幾何概型古典概型與幾何概型 1.4 條件概率條件概率 1.5 隨機(jī)事件的獨(dú)立性隨機(jī)事件的獨(dú)立性第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件3第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件4第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件5隨隨 機(jī)機(jī) 試試 驗(yàn)驗(yàn)對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察和試驗(yàn)稱為觀察和試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件6隨機(jī)試驗(yàn)的例子隨機(jī)試驗(yàn)的例子 擲一枚硬幣；擲一枚硬幣； 擲一顆骰子；擲一顆骰子； 觀察某交通路口在某時(shí)間間隔內(nèi)觀察某交通路口在某時(shí)間間隔內(nèi)通過

2、的汽車數(shù)；通過的汽車數(shù)； 觀察某電子元件的使用壽命；觀察某電子元件的使用壽命； 第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件7隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn) 試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行； 試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；并且不止一個(gè)； 每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果不能肯定會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件8樣本點(diǎn)與樣本空間樣本點(diǎn)與樣本空間 隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果稱為樣本隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，或?yàn)榛?/p>

3、事件，樣本點(diǎn)常用字母點(diǎn)，或?yàn)榛臼录?，樣本點(diǎn)常用字母來表示來表示 樣本點(diǎn)的全體所成集合稱為樣本空間，樣本點(diǎn)的全體所成集合稱為樣本空間，或稱為基本事件空間，通常用字母或稱為基本事件空間，通常用字母來表示來表示第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件9說說 明明 由于隨機(jī)試驗(yàn)的所有結(jié)果是明確的，由于隨機(jī)試驗(yàn)的所有結(jié)果是明確的，從而樣本點(diǎn)也是明確的；從而樣本點(diǎn)也是明確的； 樣本空間與隨機(jī)試驗(yàn)有關(guān)，即不同樣本空間與隨機(jī)試驗(yàn)有關(guān)，即不同的隨機(jī)試驗(yàn)有不同的樣本空間；的隨機(jī)試驗(yàn)有不同的樣本空間； 刻畫一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是學(xué)刻畫一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是學(xué)好概率論的基礎(chǔ)好概率論的基礎(chǔ)第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件10例例 1

4、第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件11例例2654321i,則該試驗(yàn)的樣本空間為6，2，1i點(diǎn)i出現(xiàn)擲一枚骰子，令：第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件12例例3 656454635343625242326151413121634212242，樣本空間為則該試驗(yàn)的號(hào)球，號(hào)球和表示取出，令號(hào)球號(hào)球至個(gè)黑球分別為記號(hào)球；號(hào)球和個(gè)白球分別為記球從中任意取出個(gè)黑球，個(gè)白球，袋中有jiji第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件13例例4，：則該試驗(yàn)的樣本空間為輛車在該時(shí)間間隔內(nèi)通過令：的汽車數(shù)觀察通過某交通路口從上午21000:900:8nnnn第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件14例例5第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件15注注 意意 在上述例題

5、中，例在上述例題中，例1例例3中樣本空間中的中樣本空間中的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)都是有限個(gè)；而例樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)都是有限個(gè)；而例4與例與例5中中樣本空間中的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為無限個(gè)樣本空間中的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為無限個(gè) 例例4中的樣本空間中的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為可中的樣本空間中的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為可列無窮個(gè)；而例列無窮個(gè)；而例5中樣本空間中的樣本點(diǎn)中樣本空間中的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為不可列的的個(gè)數(shù)為不可列的第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件16可列無窮與不可列無窮可列無窮與不可列無窮第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件17第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件18隨隨 機(jī)機(jī) 事事 件件 定義了樣本空間與樣本點(diǎn)，我定義了樣本空間與樣本點(diǎn)，我們可以把隨機(jī)事件看作是某些

6、們可以把隨機(jī)事件看作是某些樣本點(diǎn)組成的集合樣本點(diǎn)組成的集合 我們稱一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生當(dāng)且我們稱一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)它所包含的一個(gè)樣本點(diǎn)在僅當(dāng)它所包含的一個(gè)樣本點(diǎn)在試驗(yàn)中出現(xiàn)試驗(yàn)中出現(xiàn)第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件19隨機(jī)事件的表示隨機(jī)事件的表示我們常用大寫的英文字我們常用大寫的英文字母母 A A、B B、C C、 等來等來表示隨機(jī)事件表示隨機(jī)事件第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件20隨機(jī)事件的例子隨機(jī)事件的例子 在本節(jié)在本節(jié)例例2中，我們定義了擲一顆骰子這一中，我們定義了擲一顆骰子這一隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，若定義隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，若定義A= 出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn) 則則A就是一個(gè)隨機(jī)事件就是一個(gè)隨機(jī)事件

7、事件事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)在試驗(yàn)中或者出現(xiàn)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)在試驗(yàn)中或者出現(xiàn)2點(diǎn)，點(diǎn)，或者出現(xiàn)或者出現(xiàn)4點(diǎn)，或者出現(xiàn)點(diǎn)，或者出現(xiàn)6點(diǎn)點(diǎn)第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件21隨機(jī)事件的例子隨機(jī)事件的例子 在本節(jié)在本節(jié)例例4中，我們定義了在某一時(shí)間中，我們定義了在某一時(shí)間間隔內(nèi)觀察通過某交通路口的車輛數(shù)這間隔內(nèi)觀察通過某交通路口的車輛數(shù)這一隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，若定義一隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，若定義A= 至少通過至少通過50輛汽車輛汽車 B=至多通過至多通過200輛汽車輛汽車 則則A、B都是隨機(jī)事件都是隨機(jī)事件第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件22隨機(jī)事件的例子隨機(jī)事件的例子 在本節(jié)在本節(jié)例例5中，我們定義了觀察某一電中，我們定

8、義了觀察某一電子元件使用壽命這一隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空子元件使用壽命這一隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，若定義間，若定義A= 該元件的使用壽命介于該元件的使用壽命介于10002000小時(shí)之間小時(shí)之間 則則A是隨機(jī)事件是隨機(jī)事件第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件23注注 意意第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件24第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件251 1事件的包含關(guān)系事件的包含關(guān)系 若隨機(jī)事件若隨機(jī)事件A的所有樣本點(diǎn)都包的所有樣本點(diǎn)都包含在隨機(jī)事件含在隨機(jī)事件B中，這時(shí)隨機(jī)事中，這時(shí)隨機(jī)事件件A發(fā)生必然導(dǎo)致隨機(jī)事件發(fā)生必然導(dǎo)致隨機(jī)事件B發(fā)發(fā)生，我們稱隨機(jī)事件生，我們稱隨機(jī)事件A包含在隨包含在隨機(jī)事件機(jī)事件B中，或者稱隨機(jī)事件中，或者稱

9、隨機(jī)事件B包含隨機(jī)事件包含隨機(jī)事件A，記作：，記作：BA第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件26事件包含關(guān)系的例子事件包含關(guān)系的例子 在本節(jié)在本節(jié)例例4中，若定義中，若定義A= 至少通過至少通過200輛汽車輛汽車 B= 至少通過至少通過100輛汽車輛汽車 則：則：BA 第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件27注意此結(jié)論注意此結(jié)論 ! 對(duì)任何隨機(jī)事件對(duì)任何隨機(jī)事件A，都有，都有A第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件282 2隨機(jī)事件的相等關(guān)系隨機(jī)事件的相等關(guān)系 若隨機(jī)事件若隨機(jī)事件A與與B滿足滿足則稱隨機(jī)事件則稱隨機(jī)事件A與與B相等，記作：相等，記作：第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件29隨機(jī)事件相等關(guān)系的例子隨機(jī)事件相等關(guān)系的例子

10、 在本節(jié)在本節(jié)例例2 2中，若定義中，若定義 第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件303 3并事件并事件 設(shè)設(shè)A與與B為兩個(gè)隨機(jī)事件，則為兩個(gè)隨機(jī)事件，則 AB 表示表示A與與B這兩個(gè)隨機(jī)事件至少有一個(gè)發(fā)生這這兩個(gè)隨機(jī)事件至少有一個(gè)發(fā)生這樣一個(gè)隨機(jī)事件，稱其為隨機(jī)事件樣一個(gè)隨機(jī)事件，稱其為隨機(jī)事件A與與B的的并事件并事件 隨機(jī)事件隨機(jī)事件A與與B 的并事件是由隨機(jī)事件的并事件是由隨機(jī)事件A與與B 中所有的樣本點(diǎn)組成的隨機(jī)事件中所有的樣本點(diǎn)組成的隨機(jī)事件第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件31多個(gè)隨機(jī)事件的并事件多個(gè)隨機(jī)事件的并事件第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件32可列無窮多個(gè)隨機(jī)事件的并事件可列無窮多個(gè)隨機(jī)事件的并事

11、件第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件33并事件的例子并事件的例子 在本節(jié)在本節(jié)例例4中，若定義中，若定義A=通過的汽車數(shù)介于通過的汽車數(shù)介于20輛與輛與150輛之間輛之間 B=通過的汽車數(shù)介于通過的汽車數(shù)介于80輛與輛與300輛之間輛之間 則：則：AB =通過的汽車數(shù)介于通過的汽車數(shù)介于20輛與輛與300輛輛之間之間 第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件344交事件交事件 設(shè)設(shè)A與與B為兩個(gè)隨機(jī)事件，則為兩個(gè)隨機(jī)事件，則 AB 表示表示A與與B這兩個(gè)隨機(jī)事件同時(shí)發(fā)生這樣這兩個(gè)隨機(jī)事件同時(shí)發(fā)生這樣一個(gè)隨機(jī)事件，稱其為隨機(jī)事件一個(gè)隨機(jī)事件，稱其為隨機(jī)事件A與與B的的交事件交事件 隨機(jī)事件隨機(jī)事件A與與B 的交事件是

12、由隨機(jī)事件的交事件是由隨機(jī)事件A與與B 中共同的樣本點(diǎn)組成的隨機(jī)事件中共同的樣本點(diǎn)組成的隨機(jī)事件第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件35ABAB的另外記法的另外記法AB也可記為也可記為 AB第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件36多個(gè)隨機(jī)事件的交事件多個(gè)隨機(jī)事件的交事件第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件37可列無窮多個(gè)隨機(jī)事件的交事件可列無窮多個(gè)隨機(jī)事件的交事件第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件38交事件的例子 在本節(jié)在本節(jié)例例4中，若定義中，若定義A=通過的汽車數(shù)介于通過的汽車數(shù)介于20輛與輛與150輛之間輛之間 B=通過的汽車數(shù)介于通過的汽車數(shù)介于80輛與輛與300輛之間輛之間 則：則：AB =通過的汽車數(shù)介于通過的汽車數(shù)介

13、于80輛與輛與150輛輛之間之間 第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件395互不相容事件互不相容事件第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件40注注 意意第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件41互不相容事件的例子互不相容事件的例子 在本節(jié)在本節(jié)例例4中，中，若定義若定義A= 至少通過至少通過30輛汽車輛汽車 B= 至多通過至多通過20輛汽車輛汽車 則則A與與B為互不相容的隨機(jī)事件為互不相容的隨機(jī)事件第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件426差事件差事件第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件437 7逆事件逆事件第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件44說說 明明第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件45隨機(jī)事件隨機(jī)事件A A與與B B互為逆事件互為逆事件第一節(jié) 樣本空間與

14、隨機(jī)事件46逆事件的例子逆事件的例子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)則A在本節(jié)在本節(jié)例例2中，若定義中，若定義A= 出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn) 第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件47逆事件的例子逆事件的例子在本節(jié)在本節(jié)例例4中，若定義中，若定義A= 至少通過至少通過30輛汽車輛汽車 則則輛車至多通過 29A第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件48第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件491 1冪等律冪等律第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件502 2交換律交換律ABBAABBA第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件513 3結(jié)合律結(jié)合律CBACBACBACBA第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件524 4分配律分配律CABACBACABACBA第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件535 5De MorganDe Morgan定律定律AAAA第一節(jié) 樣本空間與隨機(jī)事件54De MorganDe Morg