高等數(shù)學(xué)課件：1-6 極限存在的準(zhǔn)則和兩個(gè)重要極限

1、11.6 1.6 極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則和極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則和 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限21sinlim. 10 xxx兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限ennn 11lim. 23準(zhǔn)則準(zhǔn)則 I稱為稱為夾逼準(zhǔn)則（兩邊夾法則）夾逼準(zhǔn)則（兩邊夾法則）.函數(shù)的極限存在的夾逼準(zhǔn)則函數(shù)的極限存在的夾逼準(zhǔn)則.4例例).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn5AC)20(, xxAOBO 圓心角圓心角設(shè)單位圓設(shè)單位圓,tan

2、,sinACxBDx 于于是是有有xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 我們先對(duì)這個(gè)極限大致估計(jì)一下，來(lái)我們先對(duì)這個(gè)極限大致估計(jì)一下，來(lái)證明一個(gè)不等式證明一個(gè)不等式: : 顯顯然然 AOCAOBAOBSSS 扇扇, 即即 xxxtan2121sin210 , ,tansinxxx ,tansinxxx 2/0 x6xxxtansin , 1sincos xxxxxxxcossinsin )3 . 2(,sinlim0定定理理由由極極限限的的保保號(hào)號(hào)性性存存在在若若極極限限xxx ,sinlimcoslim100 x

3、xxxx ?1sinlim0 xxx1sinlim0 xxxxxxcos1sin1 7xxysin 由夾逼定理，由夾逼定理，1sinlim0 xxx1sinlim0 xxx1sinlim0 xxx?sinlim xxx8yykxyysinlim0 tttsinlim0 原原式式.1 例例1 1 變量代換的例子變量代換的例子 )0(sinlim)1(0 kkxkxx.1 220sinlim)2(xxx. 0,0,2 txxt時(shí)時(shí)則則令令9)4(sinlim20 yyyxyy4)2sin(lim)3(22 xxx4141sinlim0 yyyy1)()(sinlim xx 就就有有為為某某極極限限

4、過(guò)過(guò)程程的的無(wú)無(wú)窮窮小小只只要要實(shí)實(shí)際際上上,)(,x )2)(2()2sin(lim2 xxxx.arcsinlim)4(0 xxx解解: 令令,arcsin xt 則則,sintx 因此因此原式原式tttsinlim0 1lim0tttsin1112)4sin(lim)2(22 xxx)4()4sin(lim222 xxx?2sinlim)1(0 xxx)2( xxxx22sinlim0 2 例例2 2 恒等變形的例子恒等變形的例子 .tanlim)3(0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim0113解解2202sin

5、2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 202/2/sinlim21 xxx2121 .21 )0( 21cos12 xxx?cos1lim)4(20 xxx14xxx)2cos(lim)3(0 課堂練習(xí)課堂練習(xí)nnn1sinlim)1( 1)1sin(lim)2(21 xxx求下列極限。求下列極限。152.2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則滿足條件滿足條件如果數(shù)列如果數(shù)列nx,121 nnxxxx稱單調(diào)增加稱單調(diào)增加,121 nnxxxx稱單調(diào)減少稱單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列準(zhǔn)則準(zhǔn)則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 具體：?jiǎn)握{(diào)增加有上界，或單調(diào)減少有下界。具體：?jiǎn)握{(diào)

6、增加有上界，或單調(diào)減少有下界。16e)11(lim nnn下面利用準(zhǔn)則下面利用準(zhǔn)則證明另一個(gè)重要的極限證明另一個(gè)重要的極限: : 先先證證明明nx單單調(diào)調(diào)增增加加: : ,21 x,249)23(122xx ,2 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) nnnnnnnnnnCnCnCnCnx111111133221 nnnnnnnnnnnn1)1(!1)2)(1(! 31)1(! 21232 17nnnnnnnnnnnnbCabCbaCbaCaba 1122211)(mmm )1(321!)1()1(mmnnnCmn 二項(xiàng)式展開(kāi)公式：二項(xiàng)式展開(kāi)公式：其中其中 18e)11(lim nnn下面利用準(zhǔn)則下面利用準(zhǔn)則證明另一個(gè)重

7、要的極限證明另一個(gè)重要的極限: : 先先證證明明nx單單調(diào)調(diào)增增加加: : ,21 x,249)23(122xx ,2 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) nnnnnnnnnnCnCnCnCnx111111133221 nnnnnnnnnnnn1)1(!1)2)(1(! 31)1(! 21232 19當(dāng)當(dāng)n改改為為n+ +1 1 時(shí)時(shí), ,上上式式通通項(xiàng)項(xiàng) nknnk112111!1增增大大, , nnnnnnnnnnnn1)1(!1)2)(1(! 31)1(! 21232 nnn2111! 3111! 212 nnnnn112111!1.1nnxx 且項(xiàng)數(shù)增加且項(xiàng)數(shù)增加( (每一項(xiàng)均為正每一項(xiàng)均為正),), 20其其

8、次次, ,證證明明nx有有上上界界： nn11131212112 n13 .3 nnnxn2111! 3111! 212 nnnnn112111!1)1(13212112 nn!1! 31! 212n 21綜綜上上所所述述，nx單單調(diào)調(diào)增增加加且且有有上上界界, , 因因此此 nnn 11lim存存在在, ,記記為為e. . 無(wú)無(wú)理理數(shù)數(shù)597182818284. 2e 以以e為底的對(duì)數(shù)稱為為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)自然對(duì)數(shù)， .ln logexx記記作作22再次應(yīng)用夾逼定理可以證明，相應(yīng)的函數(shù)極限有再次應(yīng)用夾逼定理可以證明，相應(yīng)的函數(shù)極限有 e)11(lim xxxexxx )11(limexx

9、x )11(lim由變量代換可得由變量代換可得所以所以23e)1(lim10 xxx1 例例3 3.)1(lim10 xxx 求求解解.,0,1 txxt時(shí)時(shí)則則令令ettt )11(lim原式原式?)1(lim1有有什什么么不不同同此此極極限限與與xxx 注意注意24就就有有為為某某過(guò)過(guò)程程中中的的無(wú)無(wú)窮窮小小只只要要實(shí)實(shí)際際上上,)(,x .e)(1 lim)(1 xx 例例4 4.)11(limxxx 求求解解1)11(lim xxx.1 e1)11(lim xxxxxx)11(lim 原原式式25例例6 6.)23(lim2xxxx 求求解解xxxx221)2(lim 原式原式1 22

10、)2(211lim xxxxx22)2(211lim xxxxx2e 26例例7 7解解 21cos1cos10)1(cos1limxxxxx 2211cosxx 21cos1cos10)1(cos1limxxxxx 21 e27例例8 8.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式eln 解解) 0()1ln( xxxxxx)1ln(lim10 1lim)1ln(0 yyeyxy11elim0 xxx即即) 0(1e xxx另一個(gè)重要作用另一個(gè)重要作用 28將本金將本金0A存入銀行存入銀行, 年利率為年利率為 r, 則一年后本息則一年后本息之和為之和為)1(

11、0rA . 如果年利率仍為如果年利率仍為 r， 但半年計(jì)一次， 但半年計(jì)一次利息利息,且利息不取，前期的本息之和作為下期的本金且利息不取，前期的本息之和作為下期的本金再計(jì)算以后的利息，這樣利息又生利息，由于半年再計(jì)算以后的利息，這樣利息又生利息，由于半年的利率為的利率為2r，故一年后的本息之和為，故一年后的本息之和為20)21(rA , 這種計(jì)算利息的方法稱為這種計(jì)算利息的方法稱為復(fù)式計(jì)息法復(fù)式計(jì)息法. 例例9 9 連續(xù)復(fù)利問(wèn)題連續(xù)復(fù)利問(wèn)題 如一年計(jì)息如一年計(jì)息n次，利息按復(fù)式計(jì)算，則一年后本次，利息按復(fù)式計(jì)算，則一年后本息之和為息之和為 nnrA)1(0 29nnrA)1(0 隨著隨著n無(wú)限增大，一年后本息之和會(huì)不斷增大，但不無(wú)限增大，一年后本息之和會(huì)不斷增大，但不會(huì)無(wú)限增大，其極限值為會(huì)無(wú)限增