第7講,平面向量應(yīng)用教師

1、本文格式為word版，下載可任意編輯第7講,平面向量應(yīng)用教師 第七講 平面對(duì)量的應(yīng)用 玩轉(zhuǎn)典例 題型一 一 與向量的模有關(guān)的問(wèn)題 例 例 1 (1)已知向量 a，b 夾角為 45，且|a|1，|2ab| 10，則|b|_. (2)已知|a|2，|b|4，a，b 的夾角為 3 ，以 a，b 為鄰邊作平行四邊形，求平行四邊形的兩條對(duì)角線中較短一條的長(zhǎng)度 (1)解析 依題意，可知|2ab| 2 4|a| 2 4ab|b| 2 44|a|b|cos 45|b| 2 42 2|b|b| 2 10，即|b| 2 2 2|b|60，|b| 2 2 3223 2(負(fù)值舍去) 答案 3 2 (2)解 平行四邊形

2、的兩條對(duì)角線中較短一條的長(zhǎng)度為|ab|， |ab| (ab) 2 a 2 2abb 2 4224cos 3 162 3. 例 例 2 若向量 a(2x1,3x)，b(1x，2x1)，則|ab|的最小值為_(kāi) 解析 a(2x1,3x)，b(1x,2x1)， ab(2x1,3x)(1x,2x1)(3x2，43x)， |ab| (3x2) 2 (43x) 2 18x 2 36x20 18(x1) 2 2， 當(dāng) x1 時(shí)，|ab|取最小值為 2. 題型練透 1.已知向量 a、b 滿意|a|2，|b|3，|ab|4，求|ab|. 解：由已知，|ab|4，|ab| 2 4 2 ，a 2 2abb 2 16.

3、(*) |a|2，|b|3，a 2 |a| 2 4，b 2 |b| 2 9，代入(*)式得 42ab916， 即 2ab3.又|ab| 2 (ab) 2 a 2 2abb 2 43910，|ab| 10. 2.設(shè) xr，向量 a(x,1)，b(1，2)，且 ab，則|ab|( ) a. 5 b. 10 c2 5 d10 解析：選 b 由 ab，可得 ab0，即 x20，得 x2，所以 ab(3，1)，故|ab| 3 2 (1) 2 10. 題型二 二 兩個(gè)向量的夾角問(wèn)題 例 例 3 3 已知向量 a，b 滿意(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，則 a 與 b 的夾角為_(kāi) 解析 設(shè) a

4、與 b 的夾角為 ，依題意有：(a2b)(ab)a 2 ab2b 2 72cos 6，所以 cos 12 ，由于 0，故 3 . 例 例 4 4 已知平面對(duì)量 a(3,4)，b(9，x)，c (4，y)，且 ab，ac. (1)求 b 與 c； (2)若 m2ab，nac，求向量 m，n 的夾角的大小 解 (1)ab，3x49，x12.ac，344y0， y3，b(9,12)，c(4，3) (2)m2ab(6,8)(9,12)(3，4)，nac(3,4)(4，3)(7,1) 設(shè) m、n 的夾角為 ，則 cos mn|m|n| 37(4)1(3) 2 (4) 2 7 2 1 2 2525 2 2

5、2.0， 34，即 m，n 的夾角為 34. 題型練透 1.已知 a(1， 3)，b( 31， 31)，則 a 與 b 的夾角為_(kāi) 解析：由 a(1， 3)，b( 31， 31)， 得 ab 31 3( 31)4，|a|2，|b|2 2. 設(shè) a 與 b 的夾角為 ，則 cos ab|a|b| 22，又 0，所以 4 . 答案： 4 2.若|a|1，|b|2，cab，且 ca，則向量 a 與 b 的夾角為_(kāi) 解析：ca，ca0，(ab)a0，即 a 2 ab0. |a|1，|b|2，12cosa，b0，cosa，b 12 . 又0a，b180，a，b120. 答案：120 題型三 三 兩個(gè)向量

6、的垂直問(wèn)題 例 例 5 5 已知|a|3，|b|2，向量 a，b 的夾角為 60，c3a5b，dma3b，求當(dāng) m 為何值時(shí)，c 與 d 垂直？ 解：由已知得 ab32cos 603.由 cd，則 cd0，即 cd(3a5b)(ma3b) 3ma 2 (5m9)ab15b 2 27m3(5m9)6042m870， m 2914 ，即 m2914 時(shí)，c 與 d 垂直 例 例 6 6 已知向量 oa (3，4)， ob (6，3)， oc (5m，(3m)若abc 為直角三角形，且a 為直角，求實(shí)數(shù) m 的值 解：若abc 為直角三角形，且a 為直角， 則 ab ac ，由已知 ab (3,1)

7、， ac (2m,1m)， 3(2m)(1m)0，解得 m 74 . 題型練透 1. 已知向量 oa (1,2)， ob (3，m)，若 oa ab ，則 m 的值是( ) a. 32 b 32 c4 d4 解析：選 c oa (1,2)， ob (3，m)， ab ob oa (4，m2)， 又 oa ab ， oa ab 142(m2)82m0，解得 m4. 2.已知非零向量 a，b，滿意 ab，且 a2b 與 a2b 的夾角為 120，則 |a|b| _. 解析：(a2b)(a2b)a 2 4b 2 ，ab，|a2b| a 2 4b 2 ，|a2b| a 2 4b 2 . 故 cos 1

8、20 (a2b)(a2b)|a2b|a2b|a 2 4b 2( a 2 4b 2 ) 2 a 2 4b 2a 2 4b 2 12 ， 得 a2b 2 43 ，即|a|b| 2 33. 答案： 2 33 題型四 四 平面幾何中向量的方法 【例 7】（1）（2021澧縣第一中學(xué)單元測(cè)試）點(diǎn) p 是 abc 所在平面上一點(diǎn)，滿意 pb pc - -2 pb pc pa + - =0，則 abc 的外形是（ ） a.等腰直角三角形 b.直角三角形 c.等腰三角形 d.等邊三角形 （2）（2021江西）如圖，設(shè) p、q 為abc 內(nèi)的兩點(diǎn)，且2 15 5ap ab ac = + ，2 13 4aq ab

9、 ac = + ，則abp 的面積與abq 的面積之比為 【答案】（1）b （2）45 【解析】（1） p 是 abc 所在平面上一點(diǎn)，且 pb pc - - 2 pb pc pa + - =0， | cb |（ ( ) ) pb pa pc pa - + - |=0，即| cb |=| acab +|，| acab -|=| acab +|， 兩邊平方并化簡(jiǎn)得 ac ab×=0， acab （此處也可由| acab -|=| acab +|結(jié)合向量加減法的幾何意義得到）， a =90，則 abc 是直角三角形 （2）由于2 15 5ap ab ac = + ，所以4 15 2 5a

10、bap ac = +，取 ab 中點(diǎn) m，則 p 點(diǎn)在線段 cm 上，且 cp=4pm，因此1 1 12 22 15 5 25acm abcabp apmabc abc abc abcs ss ss s s sd dd dd d d d´ ´ ´= = = =; 由于2 13 4aq ab ac = + ，所以3 8 14 9 4aq ab ac = × + ，取點(diǎn) n 滿意89an ab = 中，則 q 點(diǎn)在線段 cn 上，且 cq=3qn，因此9 9 1 9 1 818 8 4 8 4 94aqn acn abcabqabc abc abc abcs

11、 s sss s s sd d ddd d d d´ ´ ´= = = =; 因此abp 的面積與abq 的面積之比為45 【題型練透】 1（2021寧夏高三月考）已知正方形 abcd 的邊長(zhǎng)為 2 ， m 為平面 abcd 內(nèi)一點(diǎn)，則( ) ( ) ma mb mc md + × + 的最小值為( ) a 4 - b 3 - c 2 - d 1 - 【答案】a 【解析】以 d 為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示， ( ) ( ) ( ) 0,2 , 2,0 , 2,2 c a b ，設(shè) ( ) , m x y ，故( ) ( ) ma mb mc md

12、 + × + ( ) ( ) ( ) ( )2 , 2 ,2 ,2 , x y x y x y x y = - - + - - × - - + - - é ù é ùë û ë û ( ) ( ) 4 2 ,2 2 2 ,2 2 x y x y = - - × - - é ù é ùë û ë û2 28 4 4 8 4 x x y y =- + + - + ( )2 24 2 2 1 x y x y =

13、+ - - +( ) ( )2 24 1 1 4 4 x yé ù= - + - - ³ -ë û.故選 a. 2設(shè) o 是 abc 內(nèi)部一點(diǎn)，且2 oa oc ob + =-，則 aob 與 aoc 的面積之比為_(kāi). 【答案】 1:2 【解析】設(shè) d 為 ac 的中點(diǎn)，如圖所示，連接 od ，則2 oa oc od + =.又2 oa oc ob + =-，所以od ob =-，即 o 為 bd 的中點(diǎn)，且 2aoc aods s = ，即 aob 與 aoc 的面積之比為 1:2 . 3（2021甘肅省甘谷第一中學(xué)高二期末）如圖，已知 ab

14、c 中， bac 90， b 30，點(diǎn) p 在線段bc 上運(yùn)動(dòng)，且滿意 cpcb l =，當(dāng) pa pc×取到最小值時(shí)， l 的值為_(kāi) . 【答案】18 【解析】設(shè) ac a = ，由于 90 bac Ð = ° ， 30 b Ð = ° ，所以3 ab a =， 2 bc a = ； 2 2( ) ( ) pa pc pc ca pc bc ca bc bc bc ca l l l l × = + × = + × = + × ， 所以22 2 2 214 2 cos120 4 ( )8 16apa pc

15、 a a a a l l l × = + × × × °= - - ，故當(dāng)18= l 時(shí)， pa pc×有最小值. 題型五 五 向量在物理中的應(yīng)用 【例 8】（1）如圖，在重 600n 的物體上有兩根繩子，繩子與鉛垂線的夾角分別為 30 60° °， ，物體平衡時(shí)，兩根繩子拉力的大小分別為（ ） a 300 3n 300 3n ， b 150n 150n ， c 300 3n 300n ， d 300n 300n ， (2)河中水流自西向東每小時(shí) 10 km，小船自南岸 a 點(diǎn)動(dòng)身，想要沿直線駛向正北岸的 b 點(diǎn)，

16、并使它的實(shí)際速度達(dá)到每小時(shí) 103 km，該小船行駛的方向和靜水速度分別為( ) a.西偏北 30，速度為 20 km/h b.北偏西 30，速度為 20 km/h c.西偏北 30，速度為 203 km/h d.北偏西 30，速度為 203 km/h 【答案】（1)c(2)b 【解析】(1)作 oacb ，使 30 60 aoc boc° °Ð = Ð = ， .在 oacb 中，60 90 aco boc oac° °Ð =Ð = Ð = ， ，cos30 300 3n oa oc°= =

17、， sin30 300n ac oc°= = ，300n ob ac = = .選 c. (2)由題意得2 2= 10 + 10 3 =20 v 水 （ ） ，方向?yàn)楸逼?30，選 b 【題型練透】 1已知兩個(gè)力1 2f f ， 的夾角為 90，它們的合力大小為 10 n，合力與1f 的夾角為 60，那么2f 的大小為（ ） a. 5 3 n b.5 n c.10 n d. 5 2 n 【答案】a 【解析】由題意可知：對(duì)應(yīng)向量如圖，由于 =60，2f 的大小為| f 合 |sin60=1035 32=故選a 2（2021陜西西安一中高二月考）一艘船以 4 km/h 的速度與水流方向

18、成 120的方向航行，已知河水流速為 2 km/h，則經(jīng)過(guò)3 h，則船實(shí)際航程為( ) a.215 km b.6 km c.221 km d.8 km 【答案】b 【解析】設(shè)船的速度為 a ，水的速度為 b ，則船的實(shí)際航行速度為 ab +，于是有 2 2 2( ) a b a a b b + = + × + =116 2 4 2 ( ) 42+ ´ ´ ´ - + =12 a b + = 2 3 船實(shí)際航程為 2 33 ´=6。答案 b。 玩轉(zhuǎn)練習(xí) 1已知|a|9，|b|6 2，ab54，則 a 與 b 的夾角 為( ) a45 b135 c

19、120 d150 答案 b 解析 cos ab|a|b| 5496 2 22，0180，135. 2|a|2，|b|4，向量 a 與向量 b 的夾角為 120，則向量 a 在向量 b 方向上的投影等于( ) a3 b2 c2 d1 答案 d 解析 a 在 b 方向上的投影是|a|cos 2cos 1201. 3已知 a b，|a|2，|b|3，且 3a2b 與 ab 垂直，則 等于( ) a. 32 b32 c32 d1 答案 a 解析 (3a2b)(ab)3a 2 (23)ab2b 2 3a 2 2b 2 12180. 32 . 4已知向量 a，b 滿意 ab0，|a|1，|b|2，則|2a

20、b|等于( ) a0 b2 2 c4 d8 答案 b 解析 |2ab| 2 (2ab) 2 4|a| 2 4ab|b| 2 414048，|2ab|2 2. 5如圖所示，一力作用在小車上，其中力 f 的大小為 10 n ，方向與水平面成 60 角.當(dāng)小車向前運(yùn)動(dòng) 10 m 時(shí)，則力 f 做的功為( ) a.100 j b.50 j c. 50 3j d.200 j 【答案】b 【解析】由題意，一力作用在小車上，其中力 f 的大小為 10n，方向與水平面成060 角，且小車向前運(yùn)動(dòng) 10m時(shí)，此時(shí)依據(jù)向量的數(shù)量積的定義， 可得則力 f 做的功為010 10cos60 50 w f s j = &

21、#215; = ´ = ，故選 b。 6四邊形 abcd 中， ac bd 且 2 3 ac bd = = ， ，則 ab cd×的最小值為_(kāi). 【答案】134- 【解析】設(shè) ac 與 bd 的交點(diǎn)為 o ，以 o 為原點(diǎn)， ac ， bd 為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系， 設(shè) ( ) ( ) 0 0 c a d b ， ， ， ，則 ( ) ( ) 2 0 0 3 a a b b - - ， ， ， ，所以( ) ( ) 2 3 ab a b cd a b = - - = - ， ， ， 所以( ) ( ) ( )22 3 132 3 12 4ab cd a a b b a

22、bæ ö× = - + - = - + - -ç ÷è ø， 當(dāng)312a b = = ， 時(shí)， ab cd×取得最小值134- ，故填：134- 。 7（2021江蘇高三開(kāi)學(xué)考試（理）在銳角 abc d 中， tan 2 a= ，點(diǎn) d 在邊 bc 上，且 abd d 與 acd d面積分別為 2 和 4，過(guò) d 作 de ab 于 e ， df ac 于 f ，則 de df×的值是_. 【答案】1615- 【解析】由于 tan 2 a= ，且 a 為銳角，所以2 1sin ,cos5 5a a = =

23、，依據(jù)三角形面積得122142ab deac dfì× =ïïíï× =ï î，所以4 8, de dfab ac= =，所以 ( ) cos de df de df a × = × × -4 8 32coscosaaab ac ab ac= - × × = -×.而1sin 62abcs ab ac ad= × × × = ，化簡(jiǎn)得12sinab aca× = .所以 de df× =32 32

24、 2 1 16sin cos12 12 15 5 5a a - = - × × = -. 8（2021河南省試驗(yàn)中學(xué)高一期中）已知向量 (2,0) a = ， (1,4) b = .若向量 kab +與2 a b +的夾角為銳角，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍為_(kāi) 【答案】9 1 1( , ) ( , )2 2 2- +¥ 【解析】由于 ( ) 2,0 a = ， ( ) 1,4 b = ，所以 (2 1,4) ka kb+ = + ， 2 (4,8) ab+ = . 由于向量 kab +與2 a b +的夾角為銳角，所以 ( ) ( 2 ) 0 ka a b b + × + > 且 kab +與2 a b +不同向. 由( ) ( 2 ) 8 36 0 ka a k b b + × + = + > 得92k > - ； kab +與2 a b +不同向時(shí)得12k = ；所以實(shí)數(shù)