八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)12.5因式分解《完全平方公式法分解因式》典型例題素材(新版)華東師大版

1、完全平方公式法分解因式典型例題例題 1 1 判斷下列各式能否用完全平方公式分解因式，為什么？2 2(1 1)a -6a 9；(2 2)x -8x 9；(3 3)4x212x-9； (4 4)- 12xy x236 y2. .例題 2 2 把下列各式分解因式：1-x24x4；222(m -2n) -6(2n -m)(m n) 9( m n)；3a4-8a2b216b4；43ax26axy 3ay2. .例題 3 3 分解因式：2 2 2(1 1)16x 9x； (2 2)-m4n 4mn；(3)(m -n)2-12(m-n) 36；(4)(m22m)22(m22m) 1. .例題 4 4 若x2

2、2(a4)x 25是完全平方式，求a的值. .1212例題 5 5 已知a，b=2，求一a ab b的值. .2 2例題 6 6 已知x-y=1，xy=2，求x3y2x2y2 xy3的值. .例題 7 7 用幾何圖形的面積來(lái)說(shuō)明a2-b2= (a b)(a - b).例題 8 8 能否利用因式分解說(shuō)明：當(dāng)n是整數(shù)時(shí)，兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差數(shù).8 8 的倍參考答案例題 1 1 分析 可否用公式，就要看所給多項(xiàng)式是否具備公式的特點(diǎn) 此題，即看是否是三項(xiàng)式，又看是否可湊成a2_2ab b2的形式，可以按“先兩頭，后中間”的步驟進(jìn)行， 即先看首末兩項(xiàng)是否同號(hào)且能寫(xiě)成a2、b2的形式，再看中間項(xiàng)能否寫(xiě)成_

3、2ab的形式. .解答 (1 1)幕a2=(a)2，9=32，6a =-2 a 3，2 2a -6a，9=(a-3)能用完全平方公式分解2 2 2(2)x=(x),9=3,-8x=-2 x 3，X2-8X，9 不能用完全平方公式分解(3)；4x2=(2x)2，- 9=一32，但(2x)2與-32符號(hào)不同，24x -12x-9不能用完全平方公式分解因式(4)先將多項(xiàng)式整理為：X2-12x 36y22 2 2 2x =(x)，36y =(6y)，-12xy =-2 x 6y，2 2-12xy x - 36y能用完全平方公式分解因式. .例題 2 2 解法 一x2+4x_4 = -(x2_4x+4)

4、- -(x -2)2(提取負(fù)號(hào))2(m -2n)2-6(2n - m)(m n) 9( m n)22 2=(m -2n)6(2n)(m n) 9(m 5)(交換形式，保持項(xiàng)的一致，注意符號(hào)(2n -m)二-(m -2n)=(m -2n) 3(m - n)2(添加括號(hào)，避免出錯(cuò))= (m-2n 3m 3n)2(能合并同類(lèi)項(xiàng)的要合并)2= (4m n)3a4-8a2b216b42 2 2 2 2 2=(a ) -2 a 4b (4b )= (a2-4b2)2(能分解的要繼續(xù)分解)=(a 2b)2(a 2b)22243ax 6axy 3ay2 2= 3a(x 2xy y )(先提公因式)2 _= 3

5、a(x y)(分解要徹底)說(shuō)明解題前需先分析多項(xiàng)式特點(diǎn)，針對(duì)特點(diǎn)選擇公式另外在因式分解時(shí)還應(yīng)注意：分解因式時(shí)，首先考慮有無(wú)公因式可提，當(dāng)有公因式時(shí)，先提取，再進(jìn)一步分解 分解因式必須進(jìn)行徹底，如式，提公因式3a后，再運(yùn)用完全平方公式分解，直至每個(gè)因式都不能再分解為止 . .例題 3 3 分析 從表面看，上面四個(gè)多項(xiàng)式都不能直接套公式，但可以根據(jù)題目結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把每一個(gè)多項(xiàng)式整理成a2_2ab b2=(a _b)2公式原型的形式，再觀(guān)察a、b分別相 當(dāng)于題目中的哪些量，從而可以順利套用公式2 2 2 2解答 (1 1)1 -6x 9x =1 -2 3 x (3x) =(13x)(2)-m2-4n2

6、4mn2 2 2-(m -4mn 4n ) - -(m-2n)(3)(m -n)2-12(m - n) 36=(m -n)2-2 (m -n) 6 62=(m -n -6)2(4)(m22m)22(m22m) 12 2 2 2二(m 2m) 2 (m 2m) 1 1(m22m - 1)2(把m2- 2m看作a，把 1 1 看作b，仍要繼續(xù)分解，不可忽略)-(m 1)2 2=(m 1)4解答x22(a 4)x 252 2=x 2(a 4)x 5此多項(xiàng)式是完全平方式，.2(a 4)x = 2 x 5，2(a 4) =：10當(dāng)2(a 4) =10時(shí)，a=1；當(dāng)2(a 4) - -10時(shí)，a - -9

7、 .說(shuō)明 熟練公式中2ab的a、b兩量便可自如求解 例題 5 5 分析 將所求的代數(shù)式變形，使之成為a b的表達(dá)式，然后整體代入求值. .121212 2解答a ab b (a 2ab b )2 2 2(a b)22a b= 2，12原式2 =22例題 6 6 分析這類(lèi)問(wèn)題一般不適合通過(guò)解方程組求出x、y的值再代入計(jì)算，巧妙的方法是先對(duì)所求的代數(shù)式進(jìn)行因式分解，使之轉(zhuǎn)化為關(guān)于xy與x-y的式子，再整體代入求值. .解答；x - y =1，xy = 2，.x3y -2x2y2xy3= xy(x2-2xy y2)2 2二xy(x-y) =2 1 =2. .說(shuō)明 通過(guò)因式分解實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化. .例題 7

8、7 分析 因?yàn)檎叫蔚拿娣e是邊長(zhǎng)的平方，所以我們把a(bǔ)2和b2分別看成是邊長(zhǎng)為a和b的兩個(gè)正方形的面積(aAb)，故可用正方形的面積來(lái)說(shuō)明這個(gè)等式.a2-b2的面積，再把右邊的矩形拼到左邊矩形的頂上，就構(gòu)成了一個(gè)長(zhǎng)為a b，寬為a- b的長(zhǎng)方形，因此面積為(a b)(a -b).22故a -b = (a b)(a -b)說(shuō)明本題我們找到平方差公式的一個(gè)幾何圖形，這是我們研究數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的方法數(shù)形結(jié)合.例題 8 8 解答 設(shè)兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)為(2n -1), (2n 1),2 2則(2n1) -(2n -1)4(2n 1) (2n -1)( 2n 1)-(2n -1) =8n.當(dāng)n是整數(shù)時(shí)(2n 1)(2n