李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)的應(yīng)用

1、目 錄摘要1關(guān)鍵詞1ABSTRACT1KEYWORDS1前言11預(yù)備知識21.1李雅普諾夫第一法51.2李雅普諾夫第二法21.3線性系統(tǒng)的特征22李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性22.1穩(wěn)定與一致穩(wěn)定32.2 漸進穩(wěn)定和一致漸近穩(wěn)定32.3 不穩(wěn)定33李雅普諾夫穩(wěn)定性定理34線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析5小結(jié)8參考文獻8李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用摘要：在判定線性系統(tǒng)穩(wěn)定性時，李雅普諾夫方法的優(yōu)點在于無須求解系統(tǒng)方程的解，就能對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析文章介紹了李雅普諾夫穩(wěn)定性分析在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用關(guān)鍵詞： 正定矩陣；標量函數(shù)；漸近穩(wěn)定Application of Lyapunovs method

2、in linear systemAbstract: In determining the stability of linear systems, the advantages of the Lyapunovs method is without solving the system equation, which can analyze the stability of the systems .we introduce the application in linear system analysis in Lyapunov stability in the paper.Keywords:

3、 positive definite matrix; Scalar function; asymptotic stability前言自動控制系統(tǒng)最重要的特性之一是穩(wěn)定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，表示在遭受外界擾動偏離原來的平衡狀態(tài)，而在擾動消失后，系統(tǒng)自身仍有能力恢復(fù)到原來平衡狀態(tài)的一種“頑性”本文中，我們把研究對象集中到線性系統(tǒng)上，來討論線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題對于這個問題的討論，都是建立在李雅普諾意義的穩(wěn)定性的基本概念之上的預(yù)備知識1.1李雅普諾夫第一法李雅普諾夫第一法又稱間接法，它的基本思路是通過系統(tǒng)狀態(tài)方程的解來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性對于線性定常系統(tǒng)，只需解出特征方程的解即可作出穩(wěn)定性判斷1.2李雅普諾夫第

4、二法李雅普諾夫第二法又稱直接法，是通過構(gòu)造一個類似于“能量”的李雅普諾夫函數(shù)，并分析它和其一次導(dǎo)數(shù)的定號性，直接對系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性作出判斷1.3線性系統(tǒng)的特征線性系統(tǒng)的特征，現(xiàn)以線性持續(xù)系統(tǒng)為例來說明設(shè)系統(tǒng)輸入為與時，其輸出分別為與， 即 (1) (2)對于線性系統(tǒng)，有 (3)所以線性系統(tǒng)具有疊加性若有個相同的輸入，即 (4)對于線性系統(tǒng)有 (5)比較式（1）與式（5）可知，為比例因子，故線性系統(tǒng)具有比例性有以上分析可知，線性系統(tǒng)是同時具有疊加性與比例性的系統(tǒng)2. 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，實質(zhì)上是研究系統(tǒng)平衡狀態(tài)的情況一般來說，系統(tǒng)可以描述為 式中 為維狀態(tài)向量當在任

5、意時間都能滿足 (6)時，稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)反之滿足式(6)的一切值均是系統(tǒng)的平衡點，對于線性定常系統(tǒng)，為非奇異矩陣，是其唯一的平衡狀態(tài)；如果是奇異的，則式(6)有無窮多解，系統(tǒng)有無窮多個平衡狀態(tài)2.1穩(wěn)定與一致穩(wěn)定設(shè)為的一個孤立平衡狀態(tài)如果對球域或任意正實數(shù),都可找到另一個正實數(shù)或球域，當初始狀態(tài)滿足時，對有，則此系統(tǒng)為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定如果與初始時刻無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)為一致穩(wěn)定2.2 漸進穩(wěn)定和一致漸近穩(wěn)定設(shè)為系統(tǒng)方程的孤立平衡狀態(tài)，如果它是穩(wěn)定的，且充分靠近的任一初始狀態(tài)都有或，即收斂用于平衡狀態(tài)，則稱平衡狀態(tài) 為漸近穩(wěn)定如果與初始時刻無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)為一致穩(wěn)定如果對于狀態(tài)空間中的

6、任意點，不管初始偏差有多大，都有漸進穩(wěn)定特性即對所有點都成立，稱平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定可見，這樣的系統(tǒng)只能有一個平衡狀態(tài)由于線性定常系統(tǒng)有唯一解，所以線性定常系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，則它一定也是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的2.3不穩(wěn)定如果平衡狀態(tài)既不是漸近穩(wěn)定的，也不是穩(wěn)定的，當并無限大時，從出發(fā)的狀態(tài)軌線最終超越域，則稱平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定的3李雅普諾夫穩(wěn)定性定理（1）設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 式中，如果有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù)存在，并且滿足以下條件：是正定的；是負定的則在原點處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的如果，有，則在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的（2）設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中如果存在一標量函數(shù)，它具有連續(xù)的一階偏

7、導(dǎo)數(shù)，且滿足下列條件：是正定的；是半負定的；對任意和任意,在時不恒等于零則在系統(tǒng)原點處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的如果還有時，則為大范圍漸近穩(wěn)定式中表示時從出發(fā)的軌線（3）設(shè)系統(tǒng)方程為式中，如果存在一個標量函數(shù)，它具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且滿足下列條件：是正定的；是半負定的，但在某一值恒為零則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)在李雅普諾夫定義下是穩(wěn)定的，但非漸近穩(wěn)定（4）設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中，如果存在一個標量函數(shù)，它具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足下列條件：在原點的某一鄰域內(nèi)是正定的；在同樣的鄰域內(nèi)是正定的則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析(1)線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性定常系統(tǒng)平衡

8、狀態(tài)漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣的所有特征值均具有負實部例 1 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為： 試分析系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性解 由陣的特征方程：可得特征值，故系統(tǒng)的狀態(tài)不是漸近穩(wěn)定的（用李雅普諾夫第一法計算）(2)線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性分析設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)為： 則平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是：的特征根均具有負實部例 2 已知系統(tǒng)狀態(tài)方程：，試分析系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性解 設(shè)，代入，得將上式展開，并令各對應(yīng)元素相等，可解得：根據(jù)西爾維斯特判據(jù)知：>0, >0故矩陣是正定的，因而系統(tǒng)的平衡點是大范圍漸近穩(wěn)定的或者由于：是正定的，而是負定的也可得出上述結(jié)論(3)線性時變連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析設(shè)系

9、統(tǒng)的矩陣是的函數(shù)（即時變函數(shù)），則系統(tǒng)在平衡點處是大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件為：對于任意給定的連續(xù)對稱正定矩陣，存在一個連續(xù)對稱正定矩陣，使得而系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)是 (4)線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 當系統(tǒng)在平衡點是大范圍漸近穩(wěn)定時，其充要條件是：對于任意給定的對稱正定矩陣，都存在對稱正定矩陣，使得（3-4）而系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)是特別當取時，式（3-4）可寫成例 3 設(shè)線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為 試確定系統(tǒng)在平衡點處漸近穩(wěn)定條件解 由得：展開簡化整理后得：可解出： 要使為正定的實對稱矩陣，必須滿足：和 可見只有當系統(tǒng)的極點落在單位圓內(nèi)時，系統(tǒng)在平衡點處才是大范圍漸近穩(wěn)定的(5)線性時變離散系統(tǒng)穩(wěn)定性分析設(shè)線性時變離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：則平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是，對于任意給定的正定實對稱矩陣，必存在一個正定的實對稱矩陣，使得：成立并且是系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)小結(jié)本文介紹了李雅普諾夫穩(wěn)定性分析在線性系統(tǒng)中的理論和應(yīng)用，它的基本思路是借助于一個李雅普諾夫函數(shù)來直接對系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性作出判斷,在應(yīng)用