常微分方程試題及答案

1、1常微分方程模擬試題一、填空題(每小題 3 分，本題共 15 分)1 1一階微分方程的通解的圖像是2 2_ 維空間上的一族曲線.2 2二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解yx), y2(x)為方程的基本解組充分必要條件是方程y 2y y 0的基本解組是 個(gè)不可延展解的存在在區(qū)間一定是 方程矽dx.1 y2的常數(shù)解是、單項(xiàng)選擇題(每小題 3 分，本題共 15 分)136 6 方程dyx dx(A A)上半平面7 7 方程矽.y.ydx(A A)有一個(gè)區(qū)間.y滿足初值問題解存在且唯一定理?xiàng)l件的區(qū)域是(B(B) xoyxoy 平面(C(C)下半平面)(D(D)除 y y 軸外的全平面1()奇解.(B(B)有

2、兩個(gè)8 8f (y)連續(xù)可微是保證方程 塑dx(A A )必要(B B)充分9 9 二階線性非齊次微分方程的所有解(A A )構(gòu)成一個(gè) 2 2 維線性空間(C C)不能構(gòu)成一個(gè)線性空間2(C(C)無(D(D) ) 有無數(shù)個(gè)f(y)解存在且唯一的(C)(C) 充分必要)(B B)構(gòu)成一個(gè) 3 3 維線性空間(D)構(gòu)成一個(gè)無限維線性空間1010.方程 33y3過點(diǎn)(0,(0, 0)0)有(B B ) dx(A)(A)無數(shù)個(gè)解(B)(B)三、計(jì)算題(每小題6分，)條件.(D(D)必要非充分只有一個(gè)解(C)(C)只有兩個(gè)解本題共 30 分)(D)(D)只有三個(gè)解11.11.凹 ylnydx12.12.

3、dy1(y)2ydxxx13.13.dyy5xydx1414.2xydx(x2y2)dy 01515.y xy2(y)3四、計(jì)算題 (每小題 10 分, 本題共1616.求方程y5y5x2的通解.1717. 求下列方程組的通解.dx1ydtsin tdxxdt五、 證明題(每小題10 分, 本題共1818. 設(shè)f (x)在0,)上連續(xù)，且limx求下列方程的通解或通積分：20 分)20 分)f(x) 0，求證：方程23的一切解y（x），均有l(wèi)im y（x） 0.xdxf(x)1919.在方程y p（x）y q（x）y 0中,p（x）, q（x）在（,）上連續(xù)，求證：若p（x）恒不為零，則該方程

4、的任一基本解組的朗斯基行列式W（x）是（，）上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù).常微分方程模擬試題參考答案一、填空題（每小題 3 分，本題共 15 分）1 1 . 2 22 2 .線性無關(guān)（或：它們的朗斯基行列式不等于零）x x3 3.e , xe4 4.開5 5.y 1二、單項(xiàng)選擇題（每小題 3 分，本題共 15 分）6 6. D D7 7. C C 8 8. B B 9 9. C C 1010. A A三、計(jì)算題（每小題6分，本題共 30 分）1111解：y 1為常數(shù)解當(dāng)y 0,y 1時(shí)，分離變量取不定積分，得出dx Cyln y通積分為ln y Cex注：y 1包含在常數(shù)解中，當(dāng)c 0時(shí)就是常數(shù)解，因此常

5、數(shù)解可以不專門列出。51313.解：方程兩端同乘以y，得5dyydx4yx令y4z，則4y5dy空，代入上式，得dxdx1 dzz x4 dx這是一階線形微分方程，對應(yīng)一階線形齊次方程的通解為4xce利用常數(shù)變易法可得到一階線形微分方程的通解為4xz Ce因此原方程通解為44xy Ce” r , M1414.解：因?yàn)?-y取（x。，y。）（0, 0），原方程的通積分為2x1x -4N，所以原方程是全微分方程.xxo2xydxy20y dy C計(jì)算得213x y -y3C1515.解：原方程是克來洛方程，通解為（1 1 分）（3 3 分）（6 6 分）（1 1 分）（3 3 分）（4 4 分）（

6、5 5 分）（6 6 分）（2 2 分）（4 4 分）（6 6 分）453y Cx 2C四、計(jì)算題（每小題 10 分，本題共 20 分）1616.解： 對應(yīng)齊次方程的特征方程為0，特征根為1齊次方程的通解為CiC2e5xy因?yàn)?是特征根。所以，設(shè)非齊次方程的特解為C）2y1（x） x（ Ax Bx代入原方程，比較系數(shù)確定出11 c-，B，C 3一原方程的通解為C11717解：特征根為25C2e5x122x x525齊次方程的特征方程為1求得特征向量為1i因此齊次方程的通解為costy令非齊次方程特解為x-sintcostCi(t)cost-sintC2(t)sintcostCi(t),C2(t

7、)滿足costsin tsin t C1cost C2(t)(t)解得Ci(t)cost,C2(t)sin tsin t0積分，得G （t）In sint,C2(t)通解為costy五、證明題C1-si ntC2sin tcostcost In sin t-sint In sintt sin tt cost（6 6 分）（1 1 分）（2 2 分）（4 4 分）（6 6 分）（9 9 分）（1010分）（1 1 分）（2 2 分）（3 3 分）（4 4 分）（5 5 分）（6 6 分）（8 8 分）（9 9 分）（1010 分）（每小題 10 分, 本題共 20 分)61818.證明y(x)y(x)是方程任一解，滿足y(x。)yo，該解的表達(dá)式為y f(s)e(s xo)dsy0 x。Xx0(4(4 分)取極限limxy(x)limxlimx0,= =0X(s xc)f (s)e dsX0 x0(s xo)右 f (s)e dsXo1919.證明基行列式在(f (x)e(x xo)ex xy2(x)是方程的基本解組，則對任意x (10(10 分)由于W(x。)故W(x)是(limx0,(sXQ)右 f(s)e dsx0設(shè)yjx),)上有定義，且W(x