一元二次方程根的分布情況歸納總結2010722

1、一元二次方程ax2 bx 0根的分布情況2 2設方程ax bx c = 0 a = 0的不等兩根為 為，x?且人：x，相應的二次函數為 f x二ax bx 0 , 方程的根即為二次函數圖象與 x軸的交點，它們的分布情況見下面各表（每種情況對應的均是充要條件）表一：（兩根與0的大小比較即根的正負情況）分布情況兩個負根即兩根都小于0為:0,x2 : 0兩個正根即兩根都大于0捲0, x2 0一正根一負根即一個根小于 0，一個大于0捲：:：0 ： x2得出的結論o OO .:f 0 ： 0得出的結論£0f 0 <0b；:02af 0 <0綜合結論不討論aA >0亠0aa f

2、 00.=02aa f 0 ： 0表二：（兩根與k的大小比較）分布情況兩根都小于k即x1 : k, x2 : k兩根都大于k即x1 k, x2 . k一個根小于k，一個大于k即捲：k ： x2(>0)I /13 v/kX得出的結論.：0b<k2af k 0.=0b>k2af k 0O大致圖象疳a得出的結論Ta k f k <0A>0一Hk2af k <0綜合結論不討論a.：0b2a:k2a ka f k 0a f k ： 0表三：（根在區(qū)間上的分布）分布情況兩根都在m,n內兩根有且僅有一根在 m, n內（圖象有兩種情況，只畫了一種） 一根在 m,n內，另一根

3、在 p,q 內，m ： ： n ： p qiAm 理 p/ q *得出的結論A >0f m i，0f n 0bmn2af m f n : 0f m 0f n ： 0f P < 0f q 0y得出的結論A >0fm:0fn：0bm ：-:n2af m f n ： 0f (m 0 f (n)>0 f(P)A0 、f(q)<0綜合結論不討論af m f n : 0f m f n ： 0.f P f q : 0根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間m,n夕卜，即在區(qū)間兩側 x<: m, x2n ,（圖形分別如下）需滿足的條件是(1) a 0 時，fm ：

4、76; ;(2)ad 時，fm °J (n )vOif (n )>0對以上的根的分布表中一些特殊情況作說明：(1) 兩根有且僅有一根在 m,n內有以下特殊情況:1 若f m =0或f n =0，則此時f mL f n : 0不成立，但對于這種情況是知道了方程有一根為 m或n , 可以求出另外一根，然后可以根據另一根在區(qū)間 m, n內，從而可以求出參數的值。如方程mx2 - m 2 x 2 = 0 在區(qū)間1,3上有一根，因為f 1 =0,所以mx2 -m，2x，2=x-1 mx-2，另一根為，由1 < =： 3mmZB 2得 m：2即為所求；32 方程有且只有一根，且這個根

5、在區(qū)間m, n內，即人-0，此時由掄-0可以求出參數的值，然后再將參數的值帶入方程，求出相應的根，檢驗根是否在給定的區(qū)間內，如若不在，舍去相應的參數。如方程x2 -4mx 2m 6 =0有且一根在區(qū)間-3, 0內，求m的取值范圍。分析：由f -3Lf 0 ： 0即152314m 15 m 3 ： 0 得出 一3 ： m ；由,-0 即 16m2 -4 2m 6 =0 得出 m - -1 或 m ，當-3”3m - -1時，根x - -2 - i 3,0，即m - -1滿足題意；當 m時，根x = 3，-3,0，故m不滿足題意；15綜上分析，得出-3 m或m二-114函數與方程思想：若y = f

6、(x)與x軸有交點X。二f (x°)=0 若 y = f (x )與 y = g (x )有交點(X°， y° )= f(x) = g(x)有解 x°。根的分布練習題例1、已知二次方程 2m 1 x2 -2mx m-1 =0有一正根和一負根，求實數 m的取值范圍。1解：由(2m+1 |_|f (0 )cO即(2m + 1m- £ 0從而得_一 mcl即為所求的范圍。例2、已知二次函數 y = m 2 x2 - 2m 4 3m 3與x軸有兩個交點，一個大于 1，一個小于1,求實數m的取值范圍。1解：由 m 2 |_f 1 : 0即 m 2 L 2

7、m 1 ： 0 = -2 m即為所求的范圍。f 0 Lf 1 ： 0 = < 3m 1 : 0 -m ： -1即為所3例3、已知二次方程 m£ - 2m-3 x，4=0只有一個正根且這個根小于1，求實數m的取值范圍。解：由題意有方程在區(qū)間0,1上只有一個正根，則求范圍。(注：本題對于可能出現的特殊情況方程有且只有一根且這個根在0,1內，由丄=0計算檢驗，均不復合題例4.已知關于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1) 若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(一1, 0)內，另一根在區(qū)間(1, 2)內，求m的范圍.(2) 若方程兩根均在區(qū)間(0, 1)內，求m的范圍1.若方程4x(m-3) *2x m =0有兩個不相同的實根，求 m的取值范圍。2.已知函數4x m *2x 1有且只有一個零點，求 m的取值范圍，并求出該零點23.關于x的一元二次方程 x -2ax a 2 =