三角函數(shù)解各類問題的十種方法

1、三角函數(shù)解各類問題的十種方法 三角函數(shù)的各類問題，由于涉及的三角公式較多，問題的解法也比較靈活，但也會呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，本文擬對其中的解題方法進行總結歸納湊角法一些求值問題通過觀察角之間的關系，并充分利用角之間的關系，往往是湊出特殊角，可以實現(xiàn)順利解答例求的值評注三角求值主要借助消除三個方面的差異解答，即消除函數(shù)名稱差異，或者式子結構的差異，或者角度之間的差異，湊角法體現(xiàn)的就是消除非特殊角與特殊角之間的差異本題注意若將第一步中的分子化為，或者化為，都沒有上面的方法簡捷，請同學們進行操作比較，分析原因，并注意湊角也需謹慎選擇！降冪法一些涉及高次三角式的求值問題，往往借助已知及，或降冪公式等借助

2、降冪策略解答例若，求的值 評注若求出的值后直接簡單代入，則運算量將大得多，而主動降冪后就截然不同了涉及非單角形式的三角函數(shù)問題，有時也需要考慮降冪進而化為一個角的三角函數(shù)形式解答，遇到“高次”問題就特別注意聯(lián)想“降冪法”解答配對法根據(jù)一些三角式的特征，適當進行配對，有時可以實現(xiàn)問題的順利解答例已知，且，求的值評注三角函數(shù)中的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)是一對互余函數(shù)，有很多對稱的結論，如等，因此在解決一些三角求值，求證等問題時，可以構造對偶式，實施配對策略，嘗試進行巧妙解答換元法很多給值求值問題都是給的單角的某一三角函數(shù)值，但有時會出現(xiàn)給出復合角的三角函數(shù)值求值的問題，此時，利用換元法可以將問題轉化為熟

3、悉的已知單角的三角函數(shù)值求值問題例求的值評注教材求值問題往往是已知單角三角函數(shù)值求值，而近幾年的高考和期末考試試題，則青睞于已知復合角的三角函數(shù)值求值，因此備考時要特別注意此點，解答此類問題的換元法或整體思想也都十分重要對本題，若直接將三部分借助兩角和的正弦公式與余弦公式展開，則要繁雜得多方程法 有時可以根據(jù)已知構造所求量的方程解答例若，試求的值評注將已知轉化為關于的方程是解題的關鍵方程的思想方法是解答諸多三角函數(shù)問題的基本大法，如求三角函數(shù)的解析式等問題一般地，若題目中有個需要確定的未知數(shù)，則只要構造個方程解答即可討論法涉及含有參數(shù)或正負情形的三角問題，往往需要借助討論法進行解答例已知中，求

4、評注分類討論是將問題化整為零，進而化難為易的重要思想方法，一般含有絕對值的三角函數(shù)問題，涉及未確定象限的角的問題等，都要首先考慮“討論”！平方法分析已知和所求，有時借助“取平方”的方法可以實現(xiàn)順利解題例已知，求的值評注學習數(shù)學要掌握一些基本的操作技能，而“取”就是其中的重要一種，除了“取平方”外，常見的還有“取對數(shù)”，“取倒數(shù)”等操作，需要注意體會本題就是借助平方關系實現(xiàn)整體消元后解答的猜想法有時根據(jù)已知數(shù)據(jù)的特征進行必要的猜想，能更好的解決求值問題例已知，且為第二象限角，則評注實際上，將與聯(lián)立所得二元二次方程組只有兩組解，即或，依題意只可取前者學習數(shù)學，要培養(yǎng)對數(shù)據(jù)的敏感性，能根據(jù)數(shù)據(jù)特征進

5、行積極聯(lián)想，進而適當猜想，能有效提高解題速度，而且猜想是一種重要的推理形式，并不是“胡猜亂想”，要緊扣已知和所求進行圖象法有時候，借助圖象才能更好的解決對應的三角函數(shù)問題例已知函數(shù)的圖象與直線在軸右側的與軸距離最近的相鄰三個交點的橫坐標成等比數(shù)列，求實數(shù)的值評注數(shù)和形是數(shù)學的兩大支柱，三角函數(shù)的很多問題都有圖形背景，在解決問題時，要充分借助圖形進行直觀分析，往往能更快捷的實現(xiàn)問題的解答，注意培養(yǎng)做草圖的能力比例法借助比例的性質，有時可以實現(xiàn)快速解答三角函數(shù)問題例求證評注本題有多種證法，而借助比例的性質的方法顯得尤為簡捷涉及分式的三角函數(shù)問題，可以考慮借助比例法解答如關于半角的正切公式，按照比例性質，立得三角函數(shù)解各類問題答案例1. 解析原式例2. 解析由，得，（舍去）由，又可得，則，又由，得，故，代值可得例3解析設，令，則，其中，又，故，故可解得則，或，或，又，則或例4. 解析令，則原式例5. 解析令，則，由已知，有，即，得，或（舍去）即，又，整理可得，解得或例6. 解析由，得當時，因為是的內角，需要滿足，有，而余弦函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，得，但，故此情形不合題意可以驗證符合題意，故例7解析有，兩式兩邊平方后對應相加，可得，即例8解析由及，可得例9. 解析如右圖，設三個交點的