對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)新教材16個(gè)易混淆知識(shí)點(diǎn)的解析

1、對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)新教材16 個(gè)易混淆知識(shí)點(diǎn)的解析隨著課程改革的不斷深入，新課程理念已為越來(lái)越多的一線數(shù)學(xué)教師所接受。 對(duì)處于微觀知識(shí)層面的一些現(xiàn)實(shí)性“詰問(wèn) ”， 諸如 “最小的一位數(shù)是0 還是 1 ？ ” 、 “ 為什么0 也是自然數(shù)？” 、 “ 最大的分?jǐn)?shù)單位是多少？” 、 “計(jì)算出勤率可不可以不乘100%？ ” 等等，看似“細(xì)節(jié) ”的問(wèn)題，卻是彰顯數(shù)學(xué)教學(xué)“科學(xué)性 ”“ 嚴(yán)謹(jǐn)性 ” 不可或缺的一環(huán)，處理不好可能直接影響到教學(xué)評(píng)估和考試命題。1 、最小的一位數(shù)是0 還是 1 ？這個(gè)問(wèn)題在很長(zhǎng)一段時(shí)間存在爭(zhēng)論。先來(lái)看看 九年義務(wù)教育六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第八冊(cè)教師教學(xué)用書第98 頁(yè) “ 關(guān)于幾位數(shù)” 的敘述

2、： “ 通常在自然數(shù)里，含有幾個(gè)數(shù)位的數(shù)，叫做幾位數(shù)。例如“ 2”是含有一個(gè)數(shù)位的數(shù)，叫做一位數(shù)；“ 30”是含有兩個(gè)數(shù)位的數(shù)，叫做兩位數(shù)；“ 405”是含有三個(gè)數(shù)位的數(shù)，叫做三位數(shù)但是要注意：一般不說(shuō)0 是幾位數(shù)。再來(lái)聽(tīng)聽(tīng)專家的說(shuō)明：在自然數(shù)的理論中，對(duì)“ 幾位數(shù) ” 是這樣定義的，“ 只用一個(gè)有效數(shù)字表示的數(shù)，叫做一位數(shù)；只用兩個(gè)數(shù)字（其中左邊第一個(gè)數(shù)字為有效數(shù)字）表示的數(shù)，叫做兩位數(shù) 所以，在一個(gè)數(shù)中，數(shù)字的個(gè)數(shù)是幾（其中最左邊第一個(gè)數(shù)字為有效數(shù)字），這個(gè)數(shù)就叫幾位數(shù)。于此，所謂最大的幾位數(shù)，最小的幾位數(shù)，通常是在非零自然數(shù)的范圍研究。所以一位數(shù)共有九個(gè)，即：、。不是最小的一位數(shù)。、為什

3、么0 也是自然數(shù)?課標(biāo)教材對(duì)“也是自然數(shù)”的規(guī)定，顛覆了人們對(duì)自然數(shù)的傳統(tǒng)認(rèn)識(shí)。于此， 中央教科所教材編寫組主編陳昌鑄如是說(shuō)：國(guó)際上對(duì)自然數(shù)的定義一直都有不同的說(shuō)法，以法國(guó)為代表的多數(shù)國(guó)家都認(rèn)為自然數(shù)從0 開(kāi)始，我國(guó)教材以前一直都是遵循前蘇聯(lián)的說(shuō)法，認(rèn)為 0 不是自然數(shù)。2000 年教育部主持召開(kāi)教材改編會(huì)議時(shí)，已明確提出將0 歸為自然數(shù)。這次改版也是與國(guó)際慣例接軌。從教學(xué)實(shí)踐層面來(lái)說(shuō)，將“ ”規(guī)定為 “自然數(shù) ”也有著積極的現(xiàn)實(shí)意義。1.1 “ 0”作為自然數(shù)的“好處 ”。眾所周知，數(shù)學(xué)中的集合被分為有限集合和無(wú)限集合兩類。有限集合是含有有限個(gè)元素的集合，像某班學(xué)生的集合。無(wú)限集合是含有的元

4、素個(gè)數(shù)是非有限的集合，如分?jǐn)?shù)的集合。因?yàn)樽匀粩?shù)具有“基數(shù) ”的性質(zhì)，因此用自然數(shù)來(lái)描述有限集合中元素的個(gè)數(shù)是很自然的。但在有限集合中，有一個(gè)最主要也是最基本的集合，叫空集 ， 元素個(gè)數(shù)為0。如果不把0 作為自然數(shù)，那么空集的元素的個(gè)數(shù)就無(wú)法用自然數(shù)來(lái)表示了。如果把 “ 0”作為一個(gè)自然數(shù)，那么自然數(shù)就可以完成刻畫“ 有限集合元素個(gè)數(shù)” 的任務(wù)了。 于此， 從 “ 自然數(shù)的基數(shù)性”這個(gè)角度，我們看到了把“ 0”作為自然數(shù)的好處。1.2 把 “ 0”作為自然數(shù)，不會(huì)影響自然數(shù)的“運(yùn)算功能 ”?！?0”加入傳統(tǒng)的自然數(shù)集合，所有的“ 運(yùn)算規(guī)則 ” 依舊保持，如新自然數(shù)集合0,1,2, , , 中的任

5、何兩個(gè)自然數(shù)都可以進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，而運(yùn)算結(jié)果仍然是自然數(shù)。同時(shí)，加法、乘法運(yùn)算的結(jié)合律和交換律，以及乘法的分配律也不會(huì)受到影響。所以， “ 0”加盟到自然數(shù)集合實(shí)屬理所當(dāng)然，而不僅僅是人為的“ 規(guī)定 ” 。 它讓我們更好地理解自然數(shù)和它的功能，同時(shí)也讓我們意識(shí)到教學(xué)時(shí)不僅要知道和記住數(shù)學(xué)的 “定義 ”和 “規(guī)定 ”，還應(yīng)該思考“規(guī)定 ”背后的數(shù)學(xué)涵義。3、什么是有效數(shù)字一無(wú)效數(shù)字？有效數(shù)字是對(duì)一個(gè)數(shù)的近似值的精確程度而提出的。同一個(gè)近似數(shù)如果在取舍時(shí)，保留的有效數(shù)字多，就比保留的有效數(shù)字少更精確。一般說(shuō)，一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位。這時(shí)， 從左邊第一個(gè)非零的數(shù)字

6、起，到那一位上的所有數(shù)字都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。如近似數(shù)0 有三個(gè)有效數(shù)字：、；也有三個(gè)有效數(shù)字：、。而中左邊的三個(gè)零，中左邊的一個(gè)零，都叫做無(wú)效數(shù)字。、加法與減法、乘法與除法是否互為逆運(yùn)算？“ 加法與減法互為逆運(yùn)算、乘法與除法互為逆運(yùn)算” 這似乎成了許多老師的口頭禪，這其實(shí)是一種誤解。例如：加法 “”，其逆算為“”， “”。故此，加法的逆運(yùn)算只有減法；減法 “”，其逆算有“”，“”。故此，減法的逆運(yùn)算有減法和加法兩種運(yùn)算。綜上可知，只能說(shuō)減法是加法的逆運(yùn)算，而不能說(shuō)加法與減法互為逆運(yùn)算。同理，也只能說(shuō)除法是乘法的逆運(yùn)算，而不能說(shuō)乘法與除法互為逆運(yùn)算。5、為什么不寫“倍 ”？在學(xué)習(xí) “求一個(gè)數(shù)

7、是另一個(gè)數(shù)的幾倍”應(yīng)用題時(shí)，很多小朋友會(huì)自然提出這樣的疑問(wèn)，如：“飼養(yǎng)小組養(yǎng)了12 只小雞，3 只小鴨，小雞的只數(shù)是小鴨的幾倍？ ”為什么 “ 123 4” 的后面不寫“倍 ”呢？我們首先應(yīng)該肯定學(xué)生的質(zhì)疑（學(xué)生有較強(qiáng)的解題規(guī)范意識(shí)）。 但同時(shí)又該對(duì)學(xué)生說(shuō)明：在解答應(yīng)用題時(shí)，得數(shù)后面一般要寫上的是數(shù)的單位名稱。如：12 只的 “只 ”； 8 克的 “克 ”。一個(gè)數(shù)只有帶上單位名稱，才能準(zhǔn)確地表示出一個(gè)物體的多少、大小、長(zhǎng)短、輕重等等。但是，“倍 ”不是單位名稱，它表示兩個(gè)數(shù)量之間的一種關(guān)系。例如，上面的計(jì)算結(jié)果“ 4”，表示12 里面有 4 個(gè) 3，就是 12只小雞是3 只小鴨的4 倍。所以，

8、在算式里不寫“ 倍 ” ，以免 “ 倍 ” 與單位名稱發(fā)生混淆。6、 “倍 ”和 “倍數(shù) ”的區(qū)別在第一學(xué)段我們學(xué)習(xí)了“倍的初步認(rèn)識(shí)”， 認(rèn)識(shí)了概念“倍 ”， 而在第二學(xué)段,我們又學(xué)習(xí)到“倍數(shù) ”這個(gè)概念。那么，“倍 ”和 “倍數(shù) ”這兩個(gè)詞到底是不是一回事呢？這兩個(gè)詞之間有什么區(qū)別呢？“倍 ”指的是數(shù)量關(guān)系，它建立在乘除法概念的基礎(chǔ)上。例如：男生有10 人，女生有 30 人，因?yàn)?“ 10 3=30”或者“ 30 10=3”，我們就說(shuō)，女生人數(shù)（30）是男生人數(shù) （ 10） 的 3 倍， 也可以說(shuō)，男生人數(shù) （ 10） 的 3 倍等于女生人數(shù)（ 30） 。勿寧說(shuō)， “倍 ”其實(shí)表示的是兩個(gè)數(shù)

9、的商（這個(gè)商可以是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等各種表現(xiàn)形式）。“ 倍數(shù) ” 指的是數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，它建立在整除概念的基礎(chǔ)上。例如，30 能被6 整除， 30 就是 6 的倍數(shù)?？梢?jiàn)，“ 倍數(shù) ” 是不能獨(dú)立存在的（具有特定的指向性），而且對(duì)數(shù)的形式有特別的要求（必須為整數(shù)）。同時(shí)我們又看到，30 也是 6 的 5 倍，因?yàn)?5 30 ， “ 6 5”表示6 的 5 倍。所以從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，“倍 ”的涵義應(yīng)寬泛于“倍數(shù) ”，后者可以視為前者在特定情形下的一種表現(xiàn)。7 、 “時(shí) ”和 “小時(shí) ”有什么不同？怎樣使用“時(shí) ”和 “小時(shí) ”？首先應(yīng)該明確的是，小時(shí)并非國(guó)際時(shí)間單位。在1984 年國(guó)務(wù)院發(fā)布的關(guān)

10、于我國(guó)統(tǒng)一法定計(jì)量單位的命令中， 把秒作為時(shí)間的基本單位，把非國(guó)際單位制的時(shí)間單位天（日）、小時(shí)、分作為輔助單位。（注：里的字，在不致混淆的情況下，可以省略）。這樣，在我國(guó)范圍內(nèi)使用的法定時(shí)間單位就有：天（日）、小時(shí)、分、秒。由此， “時(shí) ”既可以表示時(shí)間，又可以表示時(shí)刻。由于“時(shí)間 ”和 “時(shí)刻 ”這兩個(gè)不同的概念容易產(chǎn)生混淆，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)間單位“ 時(shí) ”時(shí)，現(xiàn)行教材作了如下處理：7 1 當(dāng)列式計(jì)算出時(shí)間的長(zhǎng)短時(shí)，在得數(shù)的括號(hào)里寫上時(shí)間的單位“時(shí) ”。 例如：超市營(yíng)業(yè)時(shí)間：21-9=12 （時(shí)）。（此處可省略“ 小 ” 字）8 2 在用語(yǔ)言表述時(shí)間的長(zhǎng)短時(shí)，為避免 “時(shí)間 ”和 “時(shí)刻 ”這

11、兩個(gè)概念產(chǎn)生混淆，則在 “時(shí) ”的前面加上一個(gè)“小 ”字。例如：超市營(yíng)業(yè)時(shí)間12 小時(shí)。9 3 在用語(yǔ)言表示時(shí)刻時(shí)，一律不得出現(xiàn)“小時(shí) ”字樣。例如：公園每天早上7 時(shí) 30 分開(kāi)園（而非7 小時(shí) 30 分）。10 “改寫 ”和 “省略 ”是一樣的嗎？先來(lái)看的教材例題截圖（人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第七冊(cè)22 頁(yè)）。從形式上看，此例將 “改寫 ”與 “省略 ”兩種對(duì)數(shù)的變化置于了同一個(gè)要求之下（即改寫成用 “億 ”作單位的數(shù)）。 我們真希望編者不是有意而為之，因?yàn)?“改寫 ”與 “省略 ” 其本質(zhì)是完全不同的。表現(xiàn)在：10.1 目的不同。“改寫 ”的目的是方便對(duì)大數(shù)的讀寫，而“省略 ”則是取數(shù)的近似值。1

12、0.2 方法不同。此處的“改寫 ”是去掉 “億 ”位后面的0，再寫上一個(gè)“億 ”字，而“ 省略 ” 除了要找準(zhǔn)“ 億 ” 位，還要考慮被省略的尾數(shù)的最高位是幾，然后用四舍五入法求出近似數(shù)。10.3 符號(hào)不同?！案膶?”只改變了數(shù)的表現(xiàn)形式，大小并未改變，所以用 “ =”號(hào)連接；而 “省略 ”既改變了數(shù)的形式，又改變的數(shù)的大小，所以用“” 連接。11 “路程 ”就是 “距離 ”嗎？這兩個(gè)詞在許多老師的教學(xué)語(yǔ)言中是替代使用的，其實(shí)不然?！?路程 ” 是指從一個(gè)地點(diǎn)到另一個(gè)地點(diǎn)所經(jīng)過(guò)路線的長(zhǎng)度；而“ 距離 ” 則指連接兩個(gè)地點(diǎn)而成的直線段的長(zhǎng)度。如下圖：可以看到，“路程 ”所經(jīng)過(guò)的路線可以是曲形線，

13、也可以是直形線，還可能是折形線。一般情況下，兩個(gè)地點(diǎn)之間的“路程 ”要大于它們之間的“距離 ”，只有當(dāng)兩個(gè)地點(diǎn)之間的路線為直線時(shí)，路程和距離才相等。雖然老師們都知道這個(gè)等式是成立的, 但我們的學(xué)生卻沒(méi)有相應(yīng)的知識(shí)儲(chǔ)備, 怎樣繞開(kāi) ”極限 ”尋找能為小學(xué)生所理解和接受的證明途徑，我想至少可以考慮幾下幾種方法：12 、最大的分?jǐn)?shù)單位是1/2 還是 1/1 ？先看看分?jǐn)?shù)單位的含義：把單位“ 1”平均分成若干份，表示這樣一份的數(shù)。顯然，在分?jǐn)?shù)意義中，關(guān)鍵是“分 ”，沒(méi)有 “分 ”，就沒(méi)有 “份 ”。因?yàn)榘褑挝弧?1”平均分成的最少份數(shù)是2 份（如果是1 份，也就無(wú)所謂“ 分 ” ），由此得到的分?jǐn)?shù)單位

14、是1/2 ，所以 1/2 是最大的分?jǐn)?shù)單位。盡管就廣義的分?jǐn)?shù)來(lái)說(shuō)，1/1 也可視作分?jǐn)?shù)，但它已不是我們通常意義上認(rèn)識(shí)的與整數(shù)對(duì)立的那種分?jǐn)?shù)（在平均分的基礎(chǔ)上所產(chǎn)生），故此，最大的分?jǐn)?shù)單位應(yīng)以 1/2 為宜。13 、像 0/3 、 0.2/3 、 3/0.2 這樣的數(shù)是不是分?jǐn)?shù)?分?jǐn)?shù)的定義明確告訴我們: 把單位 “ 1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù) , 叫分?jǐn)?shù)。其中，分成的份數(shù)叫做分?jǐn)?shù)的分母，要表示的份數(shù)叫做分子。由此可知， 分?jǐn)?shù)的分子和分母都應(yīng)該是非零自然數(shù)。從這個(gè)意義來(lái)說(shuō)，以上這幾個(gè)數(shù)徒具分?jǐn)?shù)的形式，而不具分?jǐn)?shù)的實(shí)質(zhì)，因此都不應(yīng)該視為分?jǐn)?shù)。進(jìn)而，在考查學(xué)生對(duì)“分?jǐn)?shù) ”涵義的理解時(shí)，

15、應(yīng)著眼于通常意義上的分?jǐn)?shù)，將上述這些變異形式納入思考的范圍，其本身對(duì)訓(xùn)練學(xué)生的思維并無(wú)多大實(shí)際意義，而且會(huì)令諸如“分?jǐn)?shù)都大于0”等命題的真與假陷入尷尬。12、比 6 多 1/2 的數(shù) ”應(yīng)該是 “ 6+1/2”還是 “ 6+（ 1+1/2 ） ”？要弄清這個(gè)問(wèn)題，先得弄清“ 6”的性質(zhì)。顯然，此處的“ 6”其實(shí)質(zhì)是一個(gè)“數(shù) ”，而非一個(gè) “量 ”， 求 “比 6 多 1/2 的數(shù) ”應(yīng)屬于 “求比一個(gè)數(shù)多幾的數(shù)”的范疇， 問(wèn)題中的 “多幾 ”都是確定的具體數(shù)，這里的“幾 ”既可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分?jǐn)?shù)。所以，這里的“ 1/2”是指在 6 的基礎(chǔ)上 “多 1/2” 這個(gè) “ 1/2”數(shù)的本身

16、，而非 “6 的 1/2” 。所以， “比 6 多 1/2 的數(shù) ”應(yīng)該是 “ 6+1/2” 。當(dāng)然，如果題目確定為“比 6 多它的 1/2 的數(shù) ”，那答案則屬于后者。13 、計(jì)算出勤率可不可以不乘100%？先來(lái)看看新人教版、北師大版和蘇教版三個(gè)不同版本的教材對(duì)類似問(wèn)題的理解。（截圖為相關(guān)例題的解答部分）同一課程標(biāo)準(zhǔn)下，不同的教材給出了不同的理解，這給執(zhí)教者帶來(lái)了困惑：到底可不可以不乘100%呢？筆者以為，求 “ 率 ”其結(jié)果必定為百分率。以出勤率為例，就是求實(shí)際出勤人數(shù)占應(yīng)出勤人數(shù)的百分之幾。如果公式只寫成：出勤率=實(shí)際出勤人數(shù)應(yīng)出勤人數(shù)，我們說(shuō)這只是分?jǐn)?shù)形式（也即是求實(shí)際出勤人數(shù)占應(yīng)出勤

17、人數(shù)的“幾分之幾 ”） ， 并不是百分?jǐn)?shù)。因此， 在公式后面乘上“”，既可以使計(jì)算數(shù)值大小不變，又能保證結(jié)果形式滿足百分?jǐn)?shù)的要求。因此， 計(jì)算出勤率、發(fā)芽率、出粉率、合格率 的公式中，都應(yīng)乘“ ” 。同時(shí)建議各版本教材的編委統(tǒng)一思想，以免給一線教師造成認(rèn)識(shí)上的混亂。 4、小于度的角都是銳角嗎？根據(jù)課標(biāo)教材定義：小于度的角叫做銳角。答案似乎是肯定的，但由此又產(chǎn)生一個(gè)新的問(wèn)題：度的角是什么角，也是銳角嗎？事實(shí)是， 銳角定義有一個(gè)隱含的前提，就是小學(xué)數(shù)學(xué)中所討論的角都是正角。習(xí)慣上， 我們把射線按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而得到的角叫做正角，射線按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而得到的角叫做負(fù)角，當(dāng)一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，就

18、把它看成零角。如果將角的概念推廣到任意大小的角，就應(yīng)分為正角、負(fù)角、和零角。由此，嚴(yán)格意義上的銳角定義應(yīng)是：大于度而小于度的角叫做銳角。（建議教材作出修改） 5、足球比賽記分牌上的“ ”是數(shù)學(xué)中的“比 ”嗎？我們至少可以從兩個(gè)方面來(lái)理解它們的差別。第一， 球類比賽中的“ ”表示的是比賽雙方的得分情況，是 “差 ”比， 即表示相差關(guān)系，一方得分，另一方得分，雙方相差分；數(shù)學(xué)中的“”表示的是 “ ”，是 “倍 ”比，商為.5 。有鑒于此，球類比賽中的“比 ”（其實(shí)是比分），其后數(shù)可以為的，而數(shù)學(xué)中的“比 ”，其后數(shù)（相當(dāng)于除數(shù)）是不可以為的。第二，數(shù)學(xué)中的“比 ”是可以化簡(jiǎn)的，如“”；同樣的 “ ”放在球類比賽中，卻不可以化簡(jiǎn)，如果化簡(jiǎn)就不能反映雙方在比賽中的實(shí)際得分了。16 、思考與建議通過(guò)以上問(wèn)題的分析，老師們?cè)趯?shí)施新課程的過(guò)程中，的確可能遇到許多知識(shí)性“ 詰問(wèn) ” 。因此，如何盡最大努力減少“ 詰問(wèn) ” 數(shù)量，以保證數(shù)學(xué)教學(xué)的科學(xué)性就值得我們思考。16.1 修改完善新教材與教師教學(xué)用書教材與教師用書是廣大教師實(shí)施新課程所依據(jù)的主要文本資源，也是實(shí)現(xiàn)課改總體目標(biāo)的重要保證。于此，被教師們視為“圣經(jīng) ”的教材與教師用書本身應(yīng)該是高質(zhì)量的。然而，正如前述第5