淺談高中數(shù)學(xué)不等式的證明方法

1、淺談高中數(shù)學(xué)不等式的證明方法姜堰市羅塘高級(jí)中學(xué) 李鑫摘要：不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，本文介紹了幾種不等式的證明方法，并舉例進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)各種不等式的理解。關(guān)鍵字：比較法，分析法，綜合法，反證法，放縮法，數(shù)學(xué)歸納法，換元法，均值不等式，柯西不等式，導(dǎo)數(shù)法不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要地位，因此在歷年高考中頗為重視。由于不等式的形式各異, 所以證明沒有固定的程序可循，技巧多樣，方法靈活，因此有關(guān)不等式的證明是中學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一。本文從不等式的各個(gè)方面進(jìn)行講解和研究。一比較法所謂比較法，就是通過兩個(gè)實(shí)數(shù)與的差或商的符號(hào)（范圍）確定與大小關(guān)系的方法，即通過“，；或，”來確定，大小關(guān)系的方法，前者為作差法，

2、后者為作商法。例1 已知：，求證：.分析：兩個(gè)多項(xiàng)式的大小比較可用作差法證明 ，故得 .例2 設(shè)，求證：.分析：對(duì)于含有冪指數(shù)類的用作商法證明 因?yàn)?，所以 ，.而 ，故 二分析法從求證的不等式出發(fā)，分析這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明這個(gè)不等式的問題轉(zhuǎn)化為證明這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式成立，這種方法叫做分析法。例3：求證證明：為了證明原不等式成立，只需證明即 ，只需證明成立原不等式成立運(yùn)用分析法時(shí)，需積累一些解題經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)一些常規(guī)思路，這樣可以克服無目的的亂碰，從而加強(qiáng)針對(duì)性，較快地探明解題途。三綜合法 從已知或證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不

3、等式的性質(zhì)及公理推導(dǎo)出欲證的不等式，這種證明方法叫做綜合法。例4：已知，求證：證明： 1= 又 四反證法從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，證實(shí)結(jié)論的否定是錯(cuò)誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的，這種證明方法叫做反正法.用反證法證明不等式時(shí)，必須將命題結(jié)論的反面的各種情形一一導(dǎo)出矛盾這里作一簡(jiǎn)單介紹。反證法證明一個(gè)命題的思路及步驟：1）假定命題的結(jié)論不成立；2）進(jìn)行推理，在推理中出現(xiàn)下列情況之一：與已知條件矛盾；與公理或定理矛盾;3）由于上述矛盾的出現(xiàn)，可以斷言，原來的假定“結(jié)論不成立”是錯(cuò)誤的;4）肯定原來命題的結(jié)論是正確的。例5：已知，求證：至少有一個(gè)小于等分析：本題從正面考慮情況較多，可考慮

4、選用反證法，“小于等于”的反面是“大于”“至少有一個(gè)”的反面是“一個(gè)也沒有”。證明：假設(shè)都大于，則 根據(jù)平均值不等式，有，同理 ，顯然矛盾.所以結(jié)論成立。五放縮法放縮法就是在證明過程中,利用不等式的傳遞性,作適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小,證明比原不等式更好的不等式來代替原不等式的證明.放縮法的目的性強(qiáng),必須恰到好處, 同時(shí)在放縮時(shí)必須時(shí)刻注意放縮的跨度，放不能過頭，縮不能不及.否則不能達(dá)到目的。例6：設(shè)、是三角形的邊長，求證證明：由不等式的對(duì)稱性，不妨設(shè)，則 且， 六數(shù)學(xué)歸納法對(duì)于含有的不等式，當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)不等式成立，如果使不等式在時(shí)成立的假設(shè)下，還能證明不等式在時(shí)也成立，那么肯定這個(gè)不等式對(duì)取第一個(gè)值

5、以后的自然數(shù)都能成立.例7 已知：，求證：.證明 （1）當(dāng)時(shí)，不等式成立；（2）若時(shí)，成立，則=，即成立.根據(jù)（1）、（2），對(duì)于大于1的自然數(shù)都成立.七換元法在證題過程中，以變量代換的方法，選擇適當(dāng)?shù)妮o助未知數(shù)，使問題的證明達(dá)到簡(jiǎn)化.例8： 已知：，求證：.證明 設(shè)，則， 所以 例9：已知，求證：。本題在前面綜合法中證明過，但觀察到已知條件中的，可考慮用換元法，設(shè).證明：， (求證式中分母含)可設(shè)，其中，其中，于是：當(dāng)時(shí)，分子取最小值，分母取最大值.八利用均值不等式均值不等式公式：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）。均值不等式是高考中一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，其變形多，約束條件“苛刻“（一正、

6、二定，三相等）。例10： 已知a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. 分析：觀察要證不等式的兩端都是關(guān)于a，b，c的3次多項(xiàng)式，左側(cè)6項(xiàng)，右側(cè)6項(xiàng)，左和右積，具備均值不等式的特征。 證明: b2+c22bc, a>0, a(b2+c2)2abc 同理，b(c2+a2)2bac, c(a2+b2)2cab, 又 因?yàn)閍，b，c不全相等， 所以上述三個(gè)不等式中等號(hào)不能同時(shí)成立，因此 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc。例11.若，求證：證明：因?yàn)樗?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立九導(dǎo)數(shù)法當(dāng)屬于某區(qū)間，有，則單調(diào)遞增；若，則單調(diào)遞減.推廣之，若證，只須證及即可.例 12 證明不等 ，證明 設(shè)則故當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)遞減.則當(dāng)時(shí)， 從而證得 十利用柯西不等式設(shè)均為實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.例13.若，求證：此題在前面用均值不等式解的，也可以用柯西不等式解答。證明： 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立不等式知識(shí)在高中尤為重要，在學(xué)術(shù)上也有很大的研究的余地，本文只是淺顯的舉