趙振華高等數(shù)學(xué)專題講座

1、2022-1-11電子商務(wù)基礎(chǔ)與實訓(xùn) 1高等數(shù)學(xué)專題講座高等數(shù)學(xué)專題講座高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)講座高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)講座重慶理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講2 2綱綱 要要p 學(xué)習(xí)重點難點學(xué)習(xí)重點難點p 常見錯解分析常見錯解分析p 典型方法與例題典型方法與例題 p 能力提升與技巧能力提升與技巧 高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講3 3向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算 知識體系圖p 學(xué)習(xí)重點難點學(xué)習(xí)重點難點-向量代數(shù)與空間解向量代數(shù)與空間解析幾何析幾何 向向量量代代數(shù)數(shù)向量的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)模、方向余弦的坐標(biāo)表示法模、方向余弦的坐標(biāo)表示法向量平行和垂直的充要條件向量平行和垂直的充要條件空間

2、直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講4 4曲面及其方程曲面及其方程 知識體系圖p 學(xué)習(xí)重點難點學(xué)習(xí)重點難點-向量代數(shù)與空間解向量代數(shù)與空間解析幾何析幾何 空空間間解解析析幾幾何何平面及其方程平面及其方程曲面一般方程曲面一般方程旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面柱面柱面二次曲面二次曲面空間曲線及其方程空間曲線及其方程直線及其方程直線及其方程空間曲線一般方程、參數(shù)方程空間曲線一般方程、參數(shù)方程在坐標(biāo)面上的投影曲線方程在坐標(biāo)面上的投影曲線方程 點法式方程點法式方程一般方程一般方程高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講5p學(xué)習(xí)重點難點學(xué)習(xí)重點難點-向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何 向量代數(shù)向量代數(shù)1

3、1、向量的概念、向量的概念2 2、向量的線性運(yùn)算、向量的線性運(yùn)算3 3、空間直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系4 4、向量的坐標(biāo)表示、向量的坐標(biāo)表示kzjyixr),(zyx5 5、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算abab6 6、 向量的模與兩點間的距離公式向量的模與兩點間的距離公式高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講6p學(xué)習(xí)重點難點學(xué)習(xí)重點難點-向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何7 7、方向角與方向余弦、方向角與方向余弦方向角方向角：方向余弦：方向角的余弦方向余弦：方向角的余弦 高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講7p 學(xué)習(xí)重點難點學(xué)習(xí)重點難點-向量代數(shù)與空間解向量代數(shù)與空間解析幾何析幾

4、何 8 8、兩向量的數(shù)量積、兩向量的數(shù)量積9 9、兩向量的向量積、兩向量的向量積高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講8一般式點法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三點式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx),( :000zyx點0)()()(000zzCyyBxxA),(:CBAn 法向量p學(xué)習(xí)重點難點學(xué)習(xí)重點難點-向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何 空間解析幾何空間解析幾何1. 1. 空間直線與平面的方程空間直線與平面的方程空間平面空間平面高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講9為直線的方向向量.一般式對稱式參數(shù)式0022221111DzCyBx

5、ADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000),(000zyx),(pnms 為直線上一點; p 學(xué)習(xí)重點難點學(xué)習(xí)重點難點-向量代數(shù)與空間解向量代數(shù)與空間解析幾何析幾何 空間直線空間直線高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講10面與面的關(guān)系面與面的關(guān)系0212121CCBBAA212121CCBBAA平面平面垂直:平行:夾角公式:),( , 0:111111111CBAnDzCyBxA),( , 0:222222222CBAnDzCyBxA021nn021nn2121cosnnnn p 學(xué)習(xí)重點難點學(xué)習(xí)重點難點-向量代數(shù)與空間解向量代數(shù)與空間解析幾何析幾何 2.線面之間的相互關(guān)

6、系高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講11,1111111pzznyymxxL：直線0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm線與線的關(guān)系直線垂直:平行:夾角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss021ss2121cosssss p 學(xué)習(xí)重點難點學(xué)習(xí)重點難點-向量代數(shù)與空間解向量代數(shù)與空間解析幾何析幾何 高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講12CpBnAm平面:垂直：平行：夾角公式：0CpBnAm面與線間的關(guān)系直線:),(, 0CBAnDCzByAx),(,pnmspzznyymxx0ns0nsnsnssinp 學(xué)習(xí)重點難點學(xué)習(xí)重點難點-

7、向量代數(shù)與空間解向量代數(shù)與空間解析幾何析幾何 高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講13(1) 過直線00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束)(1111DzCyBxA0)(2222DzCyBxA方程0,21不全為12機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 p 學(xué)習(xí)重點難點學(xué)習(xí)重點難點-向量代數(shù)與空間解向量代數(shù)與空間解析幾何析幾何 3. 與平面、直線相關(guān)的幾個問題高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講14(2)點點的距離為DzCyBxA000 222CBA到平面 ：A x+B y+C z+D = 0),(0000zyxMd0M1MnnnMMd01p 學(xué)習(xí)重點難點學(xué)習(xí)重點難點-向量代數(shù)與空間解向量代

8、數(shù)與空間解析幾何析幾何 高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講15 kji),(0000zyxM到直線的距離pzznyymxxL111:為(3) 點點2221pnm010101 zzyyxxpnm dssMMd10),(pnms ),(1111zyxM),(0000zyxMLp 學(xué)習(xí)重點難點學(xué)習(xí)重點難點-向量代數(shù)與空間解向量代數(shù)與空間解析幾何析幾何 高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講16三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋轉(zhuǎn)曲面如, 曲線00),(xzyf繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母線平行 z 軸的柱面.又如,橢圓柱面, 雙

9、曲柱面, 拋物柱面等 .4、空間曲面p學(xué)習(xí)重點難點學(xué)習(xí)重點難點-向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講17),(同號qp 橢球面1222222czbyax 拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面zqypx2222zqypx2222 雙曲面: 單葉雙曲面2222byax22cz1雙葉雙曲面2222byax22cz1 橢圓錐面: 22222zbyaxp 學(xué)習(xí)重點難點學(xué)習(xí)重點難點-向量代數(shù)與空間解向量代數(shù)與空間解析幾何析幾何 二次曲面二次曲面高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講18設(shè)空間曲線 C 的一般方程為消去 z 得投影柱面則C 在xoy 面上的投影曲線 C為消去 x 得C 在y

10、oz 面上的投影曲線方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲線方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxT5、 空間曲線三元方程組空間曲線在坐標(biāo)面上的投影高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講1919基基本本概概念念 知識體系圖p 學(xué)習(xí)重點難點學(xué)習(xí)重點難點-多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 多多元元函函數(shù)數(shù)微微分分學(xué)學(xué)應(yīng)應(yīng) 用用偏導(dǎo)數(shù)的求法偏導(dǎo)數(shù)的求法復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法曲線的切線與法線平面曲線的切線與法線平面曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線極值存在的必要條件與充分條件極值存在的必要條件與充分條件方向?qū)?shù)方向?qū)?/p>

11、數(shù)高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講201. 區(qū)域 鄰域 :, ) ,(0PU) ,(0PU 區(qū)域連通的開集 空間nR2. 多元函數(shù)概念n 元函數(shù)),(21nxxxf常用二元函數(shù) (圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)DP)(Pfu nRp 學(xué)習(xí)重點難點學(xué)習(xí)重點難點-多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 基本概念高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講21APfPP)(lim0,0 ,0 時，當(dāng)00 PP有)( APf3. 多元函數(shù)的極限4. 多元函數(shù)的連續(xù)性1) 函數(shù)連續(xù)在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)p 學(xué)

12、習(xí)重點難點學(xué)習(xí)重點難點-多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講221. 偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論 定義; 記號; 幾何意義 函數(shù)在一點偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點連續(xù) 混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無關(guān)2. 偏導(dǎo)數(shù)的計算方法 求一點處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義 求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無關(guān)時, 應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)偏導(dǎo)數(shù)高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講231. 微分定義:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(dz yyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要關(guān)系:)( o函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連

13、續(xù)全微分高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講241. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t“分段用乘, 分叉用加, 單路全導(dǎo), 叉路偏導(dǎo)”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不變性, ),(vufz 對不論 u , v 是自變量還是因變量,vvufuvufzvud),(d),(d復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講251. 隱函數(shù)( 組) 存在定理2. 隱函數(shù) ( 組) 求導(dǎo)方法方法1. 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計算 ;方法2. 代公式隱函數(shù)求導(dǎo)法高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講26 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxP沿方向 l (方向

14、角),為的方向?qū)?shù)為coscoscoszfyfxflf 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxP),的方向?qū)?shù)為coscosyfxflf沿方向 l (方向角為sin方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)p 學(xué)習(xí)重點難點學(xué)習(xí)重點難點-多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講27 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxP處的梯度為zfyfxff,grad 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxP處的梯度為),(, ),(gradyxfyxffyx梯梯 度度p 學(xué)習(xí)重點難點學(xué)習(xí)重點難點-多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講28切線方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1、

15、參數(shù)式情況.)()()(:tztytx空間光滑曲線切向量)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt)(, )(, )(000tttT空間曲線的切線與法平面高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講29切線方程法平面方程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000空間光滑曲線0),(0),(:zyxGzyxFMzyGF),(),(切向量2、一般式情況,),(),(MzyGF,),(),(MxzGFMyxGF),(),()(0 xxMxzGF),(),()(0yyMyxGF),(),(0)(0 zzT高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講30空間光滑曲面0),(:

16、zyxF曲面 在點法線方程法線方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1、 隱式情況 .的法向量法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx曲面的切平面與法線高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講31空間光滑曲面),(:yxfz )( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法線方程法線方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxx

17、yx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff法線的方向余弦方向余弦2211cosyxff法向量法向量) 1 ,(yxffn2、 顯式情況 高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講321. 函數(shù)的極值問題函數(shù)的極值問題第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點.即解方程組第二步 利用充分條件 判別駐點是否為極值點 .2. 函數(shù)的條件極值問題函數(shù)的條件極值問題(1) 簡單問題用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如對二元函數(shù)(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法函數(shù)的極值與最值問題函數(shù)的極值與最值問題高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講33第二步第二步 判別判別 比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小

18、根據(jù)問題的實際意義確定最值第一步第一步 找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件)3. 3. 函數(shù)的最值問題函數(shù)的最值問題p 學(xué)習(xí)重點難點學(xué)習(xí)重點難點-多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講3434重重積積分分 知識體系圖p 學(xué)習(xí)重點難點學(xué)習(xí)重點難點-多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 多多元元函函數(shù)數(shù)積積分分學(xué)學(xué)曲曲面面積積 分分第一類曲線積分第一類曲線積分第二類曲線積分第二類曲線積分兩類曲線積分的關(guān)系兩類曲線積分的關(guān)系第一類曲面積分第一類曲面積分斯斯托托克克斯斯公公式式第二類曲面積分第二類曲面積分兩類曲面積分的關(guān)系兩類曲面積分的關(guān)系格林公式格林公式高斯公式高斯公式高等數(shù)學(xué)（下

19、）復(fù)習(xí)趙振華主講351. 二重積分的定義Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2. 二重積分的性質(zhì) (與定積分性質(zhì)相似)3. 曲頂柱體體積的計算二次積分法高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講36(1) 二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形直角坐標(biāo)系情形 : 若積分區(qū)域為)()(,),(21xyyxybxayxD則)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若積分區(qū)域為)()(,),(21yxxyxdycyxD則xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)

20、習(xí)趙振華主講37)()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(則)()(21d)sin,cos(drrrrf(2) 一般換元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且則DDvuvuyvuxfyxfdd ),(),(d),(J極坐標(biāo)系情形: 若積分區(qū)域為若積分區(qū)域為ddrrDo)(1r)(2r在變換下高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講38(3) 計算步驟及注意事項 畫出積分域 選擇坐標(biāo)系 確定積分序 寫出積分限 計算要簡便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式( 先積一條線, 后掃積分域

21、)充分利用對稱性應(yīng)用換元公式高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講39zyxdddzddddddsin2rr積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡潔, 或坐標(biāo)系 體積元素 適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系* * 說明說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式換元積分公式:),(),(wvuzyxJ對應(yīng)雅可比行列式為*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf變量可分離.圍成 ;高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講40一、立體體積 曲頂柱體曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面),(yxfz 則其體積為DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空間有界域空間有界域 的立體的體積為zyxVddd高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙

22、振華主講41MAdzdn二、曲面的面積xyzSo設(shè)光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:則面積 A 可看成曲面上各點),(zyxM處小切平面的面積 d A 無限積累而成. 設(shè)它在 D 上的投影為 d ,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(稱為面積元素)則Mnd機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講42故有曲面面積公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程為zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx則有zyD即高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)

23、趙振華主講43zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(三、物體的質(zhì)心zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講441. 定義定義kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性質(zhì)性質(zhì)kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21組成由ls d)3( l 曲線弧 的長度)Lszyxfd),(),(為常數(shù)szyxgLd),(第一類曲線積分第一類曲線積分高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙

24、振華主講453. 計算 對光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 對光滑曲線弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對光滑曲線弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講461. 定義kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性質(zhì)(1) L可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L

25、 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向積分弧段的方向!第二類曲線積分第二類曲線積分高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講473. 計算計算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 對有向光滑弧 對有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講48zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)

26、(t)(t)(t4. 兩類曲線積分的聯(lián)系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 對空間有向光滑弧對空間有向光滑弧 :高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講491. 格林公式LyQxPdd2. 等價條件在 D 內(nèi)與路徑無關(guān).yPxQ在 D 內(nèi)有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd對 D 內(nèi)任意閉曲線 L 有0ddLyQxP在 D 內(nèi)有設(shè) P, Q 在 D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有格林公式格林公式高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講501. 定義:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2

27、. 計算: 設(shè),),( , ),(:yxDyxyxzz則Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他兩種情況類似) 注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對稱性、重心公式簡化計算的技巧. 第一類曲面積分第一類曲面積分高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講51 1、定義:第二類曲面積分第二類曲面積分高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講52其方向用法向量指向方向余弦coscoscos 0 為前側(cè) 0 為右側(cè) 0 為上側(cè) 0 為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè) 設(shè) 為有向曲面,)(yxSSyxS)(側(cè)的規(guī)定 指定了側(cè)的曲面叫指定了側(cè)的曲面叫有向曲面有向曲面, 表示 :其面元在 xoy 面上的投影記為,0)(

28、yxyxS)(的面積為則規(guī)定,)(yx,)(yx,0時當(dāng)0cos時當(dāng)0cos時當(dāng)0cos類似可規(guī)定zxyzSS)( ,)(高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講53yxRxzQzyPddddddyxDyxyxzz),( , ),(:yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上側(cè)取“+”, 下側(cè)取“”)類似可考慮在 yoz 面及 zox 面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式 .2、 計算SRQPdcoscoscos3、 兩類曲面積分的聯(lián)系第二類曲面積分第二類曲面積分高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講544、 常用計算公式及方法面積分第一類 (對面積)第二類 (對坐標(biāo))二重積分(1) 統(tǒng)一積分變量代入曲面方程

29、 (方程不同時分片積分)(2) 積分元素投影第一類： 面積投影第二類： 有向投影(4) 確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面 注注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉(zhuǎn)化高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講55設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd 函數(shù) P, Q, R 在面 所圍成, 的方向取外側(cè), 則有 高斯 ( Gauss ) 公式高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講56設(shè)光滑曲面 的邊界 是分段光滑曲線, yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd (斯托克斯公式斯托克斯公式)個空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)

30、數(shù), 的側(cè)與 的正向符合右手法則, RQP,在包含 在內(nèi)的一則有斯托克斯( Stokes ) 公式高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講5757數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù) 知識體系圖p 學(xué)習(xí)重點難點學(xué)習(xí)重點難點-無窮級數(shù)無窮級數(shù) 無無窮窮級級數(shù)數(shù)傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù)收斂半徑，收斂域的求法收斂半徑，收斂域的求法連續(xù)性，逐項可導(dǎo)性，逐項可積性合函數(shù)求導(dǎo)法連續(xù)性，逐項可導(dǎo)性，逐項可積性合函數(shù)求導(dǎo)法展開成冪級數(shù)方法：直接法，間接法展開成冪級數(shù)方法：直接法，間接法狄利克雷收斂定理狄利克雷收斂定理展開展開周期為周期為22的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)正弦級數(shù)與余弦級數(shù)正弦級數(shù)與余弦級數(shù)周期為周期為2 l2 l的

31、函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講58)(0 xunn 求和)(xS展開(在收斂域內(nèi)進(jìn)行)(0 xunn基本問題基本問題：判別斂散；求收斂域；求和函數(shù)；級數(shù)展開.為傅立葉級數(shù).xnbxnaxunnnsincos)(當(dāng)為傅氏系數(shù)) 時,時為數(shù)項級數(shù);0 xx 當(dāng)nnnxaxu)(當(dāng)時為冪級數(shù);nnba ,(p 學(xué)習(xí)重點難點學(xué)習(xí)重點難點-無窮級數(shù)無窮級數(shù) 高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講591. 利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性2. 正項級數(shù)審斂法必要條件0limnnu不滿足發(fā) 散滿足比值審斂法 limn1nunu根值審斂法nnnulim1收 斂發(fā) 散1不定 比

32、較審斂法用它法判別部分和極限1數(shù)項級數(shù)的審斂法高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講603. 任意項級數(shù)審斂法任意項級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)1nnuLeibniz判別法判別法: 若,01nnuu且,0limnnu則交錯級數(shù)nnnu1) 1(收斂 ,概念概念:且余項.1nnur1nnu若收斂 ,1nnu稱絕對收斂1nnu若發(fā)散 ,1nnu稱條件收斂高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講61 標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù): 先求收斂半徑 R , 再討論Rx 非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式直接用比值法或根值法處的斂散性 .求冪級數(shù)收斂域的方法高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講62 求部分和式極限求和 映射變換法 逐項求導(dǎo)或求積分nnn

33、xa0)(*xS對和式積分或求導(dǎo))(xS難直接求和: 直接變換,間接求和: 轉(zhuǎn)化成冪級數(shù)求和, 再代值求部分和等 初等變換法: 分解、套用公式（在收斂區(qū)間內(nèi)） 數(shù)項級數(shù) 求和nnnxa0冪級數(shù)和函數(shù)的求法高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講631. 函數(shù)的冪級數(shù)展開法(1) 直接展開法 利用泰勒公式 ;(2) 間接展開法 利用冪級數(shù)的性質(zhì)及已知展開2. 常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11) 1(nnxn式的函數(shù) .函數(shù)的冪級數(shù)展開法高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講64! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55

34、x!77xxcos1!22x!44x!66x! )2() 1(2nxnnmx)1 ( 1xm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(當(dāng) m = 1 時x11,) 1(132nnxxxx),(x),(x) 1, 1(x) 1, 1(x高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講651. 周期為 2 的函數(shù)的傅里里葉級數(shù)及收斂定理 )sincos(2)(10 xnbxnaaxfnnn)(間斷點x其中xxnxfandcos)(1xxnxfbndsin)(1),2, 1 ,0(n),2, 1(n注意注意: 若0 x為間斷點,則級數(shù)收斂于2)()(00 xfxf函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開法高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華

35、主講66為正弦 級數(shù). 2. 周期為2l 的函數(shù)的傅里里葉級數(shù)展開公式)(xf20alxnblxnannnsincos1(x 間斷點)其中naxlxnxfllldcos)(1nbxlxnxfllldsin)(1), 1 ,0(n),2, 1(n當(dāng)f (x)為奇 函數(shù)時,(偶)(余弦)3. 在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里里葉展開法變換延拓高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講67p 常見錯解分析例例1 1錯解高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講68錯解分析p 常見錯解分析高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講69正確解答p 常見錯解分析高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講70例例2 2p 常見錯解分析錯解高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講7

36、1錯解分析p 常見錯解分析高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講72p 常見錯解分析正確解答高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講73例例3 3p 常見錯解分析錯解錯解分析高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講74p 常見錯解分析正確解答高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講75p 常見錯解分析例例4 4錯解高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講76錯解分析p 常見錯解分析高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講77p 常見錯解分析正確解答高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講78p 常見錯解分析例例5 5錯解高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講79錯解分析p 常見錯解分析正確解答高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講80p 常見錯解分析例例6 6錯解高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講8

37、1錯解分析p 常見錯解分析正確解答一高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講82p 常見錯解分析正確解答二高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講83p 常見錯解分析高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講84p 常見錯解分析例例7 7錯解高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講85錯解分析p 常見錯解分析正確解答高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講86p 常見錯解分析高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講87p 常見錯解分析例例8 8錯解錯解分析高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講88p 常見錯解分析正確解答一正確解答二高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講89p 常見錯解分析例例9 9錯解高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講90錯解分析p 常見錯解分析正確解答高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙

38、振華主講91p 常見錯解分析例例1010錯解錯解分析高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講92p 常見錯解分析正確解答高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講93例例1 1 求過點 且與直線12131zyx垂直相交的直線方程.解解: 先求二直線交點 P. 0)3() 1(2)2(3zyx化已知直線方程為參數(shù)方程, 代入 式, 可得交點),(7371372P最后利用兩點式得所求直線方程431122zyx的平面的法向量為故其方程為),(312),(011),(123過已知點且垂直于已知直線, ) 1,2,3(P(2,1,3)p 典型方法與例題高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講94例例2.2. 求過直線L:0405zxzyxz

39、yx84 且與平面4夾成角的平面方程.解解:過直線 L 的平面束方程04)1 (5)1 (zyx其法向量為已知平面的法向量為選擇使43. 012720zyx從而得所求平面方程n1n4012 114cosnnnn.1,5,11nL8,4, 1n高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講95例例3 3 求( , )(0,0)lim93x yxyxyp 典型方法與例題( , )(0,0)lim93x yxyxy2( , )(0,0)(93)lim(9)9x yxyxyxy解解:( , )(0,0)lim(93)6x yxy高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講96例4.22( , , ),cos ,xy zuf x y z

40、ezxyyuxu,求解解:xu2xy zye2(4cos )xy zyxzy ezyxyxuyuxfxzzf22xy zzeyfyzzf2 cosxy2xy zxe22xy zze2(sin )xy 22(2sin )xy zxx zy e高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講97例例5 5 求曲線0453203222zyxxzyx在點(1,1,1) 的切線解解: 點 (1,1,1) 處兩曲面的法向量為)2,2, 1(因此切線的方向向量為)1,9,16(由此得切線:111zyx1691法平面:0) 1() 1(9) 1(16zyx024916zyx即與法平面.) 1 , 1 , 1 (1)2,2,32(

41、zyxn)5,3,2(2n21nnl高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講98指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向?qū)?shù) .在點A( 1 , 0 , 1) 處沿點Axd d例6 求函數(shù))ln(22zyxu解解:31,32,32則cos,cos,cosAxu) 1ln( x1x,21yd dAyu) 11ln(2y0y,0, ) 1 ,2,2(AB0ABl 21Azucoscoscoszuyuxulu21高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講99例例7 7（20122012考研）考研） 解：解： p 典型方法與例題高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講100p 典型方法與例題高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講101同理同理 p

42、 典型方法與例題高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講102Ddxdyyx)(22( , ) 01,2 Dx yxxyx65310)()(1032221022dxxdyyxdxdxdyyxxxD12222122210)()(yyydxyxdydxyxdy例例8 8：計算解解 作為“X型”注意：如果作為“Y型”，化為的二次積分式，則：Ddxdyyx)(22p 典型方法與例題高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講103例例9 9：計算解解p 典型方法與例題Ddxdyyx44222,.(0Dx y xyRR2444444002660()(cossin)31 (cos 4 )6444RDxydddRdR Ddyxf),(

43、220 xaxycos2acos2020sin,cos),(adfddyxf例例1010：將二重積分 D:半圓 解解：半圓的極點坐標(biāo)方程為在極坐標(biāo)系中化為二次積分高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講104例例1111：計算解解p 典型方法與例題dvzyx2zyx由和坐標(biāo)平面所圍成 在xoy面上的投影為 : 02,xyDxxy20在 內(nèi)，yxz 20z上表面為，下表面為2220002x yxxyz dvdxdyxyz dz 2zyx22o高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講105例12. 計算曲線積分 ,d)(222szyx其中為螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t k

44、tatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax線高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講106例例1313 求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,2122zyxyx從 z 軸正向看為順時針方向.解解: 取 的參數(shù)方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(costt d)cos41 (220)sin)(cos2(tt 2高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講107p 典型方法與例題例

45、14（2012考研） 解：解： 高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講108例例15 15 設(shè) 是四面體的表0,0,0,1zyxzyx面, 計算.d)1 (12SyxI解解: : 在四面體的四個面上yxz1yxdd3xyxDyx10,10:1zyx11o0zyxdd0yxzddzxzDxz10,10:0 xzyddzyzDzy10,10:同上平面方程Sd投影域高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講109yyzzd)1 (1d10210 xxzzd)1 (1d102102ln) 13(233yyxxIxd)1 (1d)13(10210p 典型方法與例題高等數(shù)學(xué)（下）復(fù)習(xí)趙振華主講110例16.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI設(shè) 為曲面21,222zyxz取上側(cè), 求 解解: : 作取下側(cè)的輔助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD) 1(20d10dr221drz202dcos103drr12131zoxy211用柱坐標(biāo)用柱坐標(biāo)用極坐標(biāo)用極坐標(biāo)高高斯斯公公式