2011屆高考數(shù)學(xué)權(quán)威預(yù)測(cè) 3函數(shù)性質(zhì) 新人教A版

1、第三講 函數(shù)性質(zhì)高考在考什么【考題回放】1 設(shè)函數(shù)定義在實(shí)數(shù)集上，它的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，則有（B）2 設(shè)是奇函數(shù)，則使的的取值范圍是（A）3定義在上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，是它的一個(gè)正周期若將方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)記為，則可能為（ ）A0B1C3D54 對(duì)于函數(shù)，判斷如下三個(gè)命題的真假：命題甲：是偶函數(shù)；命題乙：在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；命題丙：在上是增函數(shù)能使命題甲、乙、丙均為真的所有函數(shù)的序號(hào)是（）5 已知與是定義在上的連續(xù)函數(shù)，如果與僅當(dāng)時(shí)的函數(shù)值為0，且，那么下列情形不可能出現(xiàn)的是（ ）A0是的極大值，也是的極大值 B0是的極小值，也是的極小值C0是的極大值，但不是

2、的極值 D0是的極小值，但不是的極值6若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 高考要考什么一、 單調(diào)性：1.定義：一般地，（1）對(duì)于給定區(qū)間上的函數(shù)f（x），如果對(duì)于屬于這個(gè)區(qū)間的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，（2）當(dāng)x1x2時(shí)，（3）都有f（x1）f（x2）或都有f（x1）f（x2），那么就說(shuō)（4）f（x）在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)（或減函數(shù)）.要注意定義引申：（1）、（2）、（4）（3）；（1）、（3）、（4）（2）如：是定義在上的遞減區(qū)間，且<，則x的取值范圍_二、 奇偶性：1.優(yōu)先考慮定義域：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是具體奇偶性的必要條件。2.奇函數(shù)在處有意義，則。3.奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單

3、調(diào)性一致，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反。三、 周期性：1.若，則的周期是；2.若，則的周期是；3. 若，則的周期是；4.若是偶函數(shù)，且圖象關(guān)于對(duì)稱，則的周期是； 突 破 重 難 點(diǎn)【范例1】設(shè)函數(shù)定義在R上，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，總有，且當(dāng)時(shí)，。（1）證明：，且時(shí)（2）證明：函數(shù)在R上單調(diào)遞減（3）設(shè)，若，確定的取值范圍。（1）解：令，則，對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，設(shè)，則，由得，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí), ,（2）證法一：設(shè)，則，,函數(shù)為減函數(shù)證法二：設(shè)，則=,故 ,函數(shù)為減函數(shù)（3）解：， 若，則圓心到直線的距離應(yīng)滿足，解之得，變式：已知定義在R上的函數(shù)滿足：，當(dāng)x0時(shí)，。 （1）求證：為奇函數(shù)；（2）求證：為R上的

4、增函數(shù)； （3）解關(guān)于x的不等式：。（其中且a為常數(shù)）解：（1）由，令，得： ，即 再令，即，得： 是奇函數(shù)4分 （2）設(shè)，且，則 由已知得： 即在R上是增函數(shù)8分 （3） 即 當(dāng)，即時(shí)，不等式解集為 當(dāng)，即時(shí)，不等式解集為 當(dāng)，即時(shí)，不等式解集為13分【范例2】已知f(x)=(xR)在區(qū)間1，1上是增函數(shù).，（1）求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A；（2）設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個(gè)非零實(shí)根為x1、x2.試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m2+tm+1|x1x2|對(duì)任意aA及t1，1恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）f(x)= ，f(x)在1，1上是增函數(shù)，f(x)0對(duì)x

5、1，1恒成立，即x2ax20對(duì)x1，1恒成立. 設(shè)j (x)=x2ax2， 1a1， 對(duì)x1，1，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時(shí)，f(-1)=0以及當(dāng)a=1時(shí)，f(1)=0A=a|1a1. （2）由=，得x2ax2=0， =a2+8>0x1，x2是方程x2ax2=0的兩非零實(shí)根， x1+x2=a， 從而|x1x2|=.x1x2=2，1a1，|x1-x2|=3.要使不等式m2+tm+1|x1x2|對(duì)任意aA及t1，1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)m2+tm+13對(duì)任意t1，1恒成立，即m2+tm20對(duì)任意t1，1恒成立. 設(shè)g(t)=m2+tm2=mt+(m22)，方法一： g(1)=m2m20，

6、 g(1)=m2+m20，m2或m2.所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m2+tm+1|x1x2|對(duì)任意aA及t1，1恒成立，其取值范圍是m|m2，或m2.方法二：當(dāng)m=0時(shí)，顯然不成立；當(dāng)m0時(shí)， m>0， m<0， 或 g(1)=m2m20 g(1)=m2+m20 m2或m2.所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m2+tm+1|x1x2|對(duì)任意aA及t-1，1恒成立，其取值范圍是m|m2，或m2. 【點(diǎn)晴】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.在解決函數(shù)綜合問(wèn)題時(shí)要靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法化歸為基本問(wèn)題來(lái)解決.變式：設(shè)函數(shù)，其中（1）解不等式（2）求的取值范圍，使在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)。解：（1）不等式即

7、為當(dāng)時(shí)，不等式解集為當(dāng)時(shí)，不等式解集為當(dāng)時(shí)，不等式解集為（2）在上任取，則所以要使在遞減即，只要即故當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)。【范例3】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且同時(shí)滿足：；恒成立；若，則有（1）試求函數(shù)的最大值和最小值；（2）試比較與的大小N）；（3）某人發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x=(nÎN)時(shí)，有f(x)<2x+2.由此他提出猜想：對(duì)一切xÎ(0,1,都有，請(qǐng)你判斷此猜想是否正確，并說(shuō)明理由解: (1)設(shè)0x1<x21,則必存在實(shí)數(shù)tÎ(0,1),使得x2=x1+t, 由條件得,f(x2)=f(x1+t)³f(x1)+f(t)-2, f(x2)-f(x1)

8、³f(t)-2, 由條件得, f(x2)-f(x1)³0, 故當(dāng)0x1時(shí),有f(0)f(x)f(1). 又在條件中,令x1=0,x2=1,得f(1)³f(1)+f(0)-2,即f(0)2,f(0)=2, 故函數(shù)f(x)的最大值為3,最小值為2. (2)解:在條件中,令x1=x2=,得f()³2f()-2,即f()-2f()-2, 故當(dāng)nÎN*時(shí)，有f()-2f()-2f()-2···f()-2=, 即f()+2. 又f()=f(1)=32+, 所以對(duì)一切nÎN,都有f()+2. (3)對(duì)一切xÎ(0,1,都有. 對(duì)任意