2007年北京大學(xué)數(shù)學(xué)分析考研試題及解答

1、 2007年北京大學(xué)數(shù)學(xué)分析考研試題及解答 例5.3.39 設(shè)，是的實(shí)根，求證：，且。證明 （1）任意，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)且充分大時(shí)，有，所以的根存在，又，嚴(yán)格遞增，所以根唯一，。（2） 任意，所以的根，（）。因?yàn)槿魰r(shí)，的根，不趨向于。則存在，使得中含有的一個(gè)無(wú)窮子列，從而存在收斂子列，（為某有限數(shù)）；，矛盾。例、 設(shè)，討論級(jí)數(shù)的收斂性。解 顯然當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；由 ，得，（充分?。?，于是，（充分大）（1） 當(dāng)時(shí)，收斂，收斂，收斂，絕對(duì)收斂；（2） 當(dāng)時(shí)，收斂，收斂，于是收斂，從而收斂，收斂，而發(fā)散，由，得發(fā)散，所以發(fā)散，故此時(shí)條件收斂。（3） 當(dāng)時(shí)，發(fā)散，而收斂，此時(shí)發(fā)散。 北京大學(xué)2007年數(shù)學(xué)分

2、析考研試題及解答1、 用有限覆蓋定理證明連續(xù)函數(shù)的介值定理。證明 這里只證明連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理，由此即可推證介值定理。命題：若在上連續(xù)，且，那么必然存在一點(diǎn)，滿足。采用反正法，若對(duì)于任意點(diǎn)，有，那么顯然對(duì)于任意，仍然有。 由于的連續(xù)性，我們對(duì)于任意一點(diǎn)，可以找到一個(gè)鄰域，使得在中保號(hào)，那么區(qū)間被以上形式的，開區(qū)間族所覆蓋，由有限覆蓋定理，可得存在有限個(gè)開區(qū)間就能覆蓋閉區(qū)間，再由覆蓋定理的加強(qiáng)形式可得，存在，滿足當(dāng)，時(shí)，存在中的某個(gè)開集同時(shí)覆蓋。那么我們就證明了當(dāng)時(shí)，有同號(hào)； 現(xiàn)取正整數(shù)，滿足，令，那么我們有，與同號(hào)，從而證明了與同號(hào)，即與同號(hào)，這與題目中的矛盾，證明完畢。2、 設(shè)在有限區(qū)間內(nèi)一

3、致連續(xù)，證明：也在內(nèi)一致連續(xù)。證明 首先證明都在上有界，因?yàn)樵谟邢迏^(qū)間內(nèi)一致連續(xù)，從而存在，滿足當(dāng)此，時(shí)，有 ，現(xiàn)取正整數(shù)，滿足，令，；對(duì)任意，存在，使得 ， ，即得在上是有界的； 同理在上也是有界的； 下面證明，若在區(qū)間上有界，且都一致連續(xù)，則在區(qū)間上一致連續(xù)。 設(shè)，滿足，;那么由得一致連續(xù)性得到，對(duì)于任意，存在，使得當(dāng)，時(shí)，有 ，從而 ，即得在上一致連續(xù)。3、 已知在上有四階導(dǎo)數(shù)，且有，證明：存在，使得。證明 不妨設(shè)（這是因?yàn)榉駝t可以考慮，而的三、四階導(dǎo)數(shù)與的相同）。從而我們要證明存在，使得。下面分兩種情形來(lái)證明之，（1），當(dāng)，由帶Peano余項(xiàng)的Taylor展開式，我們得到 ，那么在足夠

4、小的鄰域內(nèi)有，取，滿足，不妨設(shè)，由于，那么存在，使得，從而取，；當(dāng)時(shí)，同理可得；（2），那么有，可以同樣Taylor展開， ，做法與（1）相同，證畢。4 、構(gòu)造一個(gè)函數(shù)在上無(wú)窮次可微，且，并說(shuō)明滿足條件的函數(shù)有任意多個(gè)。解 構(gòu)造函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，顯然此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，從而可以定義函數(shù)： ，容易驗(yàn)證此函數(shù)滿足：，考慮到函數(shù)，由我們熟知的結(jié)論知，在上無(wú)窮次可微，且，從而也滿足題目要求條件，為任意常數(shù)，結(jié)論得證。5 、設(shè)，是上的連續(xù)函數(shù)，證明滿足的點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)。證明 設(shè) ， 。那么我們有， ，下面分兩種情況討論：（1） 若或有一個(gè)成立時(shí)，當(dāng)，我們有，從而有，從而為常數(shù)，此時(shí)結(jié)論顯然成立；當(dāng)時(shí)，我們有，

5、從而為常數(shù)，此時(shí)結(jié)論顯然成立；（2）我們可以選取無(wú)窮多條連接和的不相交的連續(xù)曲線，；顯然連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在，使得 ，即，結(jié)論得證。6 、求，其中是，方向向上。解法1 設(shè)， ；。解法2 記，利用高斯公式，得。7、 設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，試作一無(wú)界區(qū)域,使在上的廣義積分收斂。解 首先取，使得，滿足 ；再選取，使得，滿足 ；依次選取，使得，滿足 ，取，是一個(gè)無(wú)界區(qū)域，可以驗(yàn)證在上的廣義積分收斂。8、 設(shè)，討論不同的對(duì)在上積分的斂散性。解 顯然在時(shí)，發(fā)散，下面只對(duì)時(shí)討論。由，當(dāng)時(shí)，收斂，時(shí)，發(fā)散，當(dāng)時(shí)，發(fā)散； 時(shí)，收斂；當(dāng)時(shí)，收斂；所以（1）當(dāng)時(shí)，由，得絕對(duì)收斂；（2） 當(dāng)時(shí)，（充分大），

6、收斂，由于發(fā)散，此時(shí)，發(fā)散，于是發(fā)散，而，收斂，收斂；故當(dāng)時(shí)，條件收斂；（3）時(shí)，（充分大）；由于發(fā)散，于是發(fā)散，而收斂，故此時(shí)發(fā)散。9、 記，是否存在以及函數(shù)在上可導(dǎo)，且，。解 首先由級(jí)數(shù)在內(nèi)是收斂的，且是內(nèi)閉一致收斂的；顯然；分別把看成的函數(shù)，由于對(duì)逐項(xiàng)求導(dǎo)后的形式為和兩者都在，（為任意大于0的常數(shù)）內(nèi)都是一致收斂的。從而可在的某個(gè)鄰域的偏導(dǎo)數(shù)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，存在，且是連續(xù)的，又有，到這里我們已經(jīng)驗(yàn)證了隱函數(shù)定理的三條件：（1），為剛剛解答中的某個(gè)鄰域，（2），（3），從而根據(jù)隱函數(shù)定理可知存在這樣的滿足題目中的條件，結(jié)論得證。事實(shí)上，顯然，是方程的唯一解。10 、設(shè)在上黎曼可積，證明：的傅

7、里葉展開式有相同系數(shù)的充要條件是。證明 在這里我們只證明的情況（對(duì)于一般的情況只是區(qū)間的平移和拉伸）。記為的傅里葉系數(shù)；為的傅里葉系數(shù)，先證充分性：設(shè)，那么顯然 ，從而，同理；再證必要性：若的傅里葉展開式有相同的系數(shù)，從而得傅里葉系數(shù)都為0，因?yàn)樵谏侠杪煞e，從而，在上黎曼可積。由等式，我們得到，而又由不等式得到 ，從而，這就證明了必要性。華東師范大學(xué)2000年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)試題一（24分）計(jì)算題：（1）（2）（3）設(shè)是由方程,所確定的可微隱函數(shù)，試求Z.二（14分）二、設(shè) ，；，；證明： （1）是嚴(yán)格遞增的;（2）是嚴(yán)格遞減的;（3）用對(duì)數(shù)函數(shù)的嚴(yán)格遞增性質(zhì)證明： ，對(duì)一切n

8、6;N *成立.三（12分）設(shè)在中任意兩點(diǎn)之間都具有介值性，而且在內(nèi)可導(dǎo)，（正常數(shù)）, 證明在點(diǎn)a右連續(xù)（同理在點(diǎn)b左連續(xù)）.四（14分）設(shè)證明:（1）,n=2,3;（2）n=1,2,3.五（12分）設(shè)S為一旋轉(zhuǎn)曲面，由平面光滑曲線饒軸旋轉(zhuǎn)而成。試用二重積分計(jì)算曲面面積的方法，導(dǎo)出S的面積公式為 （提示：據(jù)空間解幾知道S的方程為）六（24分）級(jí)數(shù)問(wèn)題：（1） 設(shè),求。（2） 設(shè)收斂，證明: 。（3） 設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)序列，且證明：若在上無(wú)零點(diǎn)。則當(dāng)充分大時(shí)在上也無(wú)零點(diǎn)，并有 .華東師大2000年數(shù)分考研試題解答一（1）解： ；（2） 解：；（3） 解：，；二、證明 （1） (應(yīng)用比值法與貝努里

9、不等式)由于 ,于是有,所以是嚴(yán)格遞增的; (2) (應(yīng)用比值法與貝努里不等式)由于 ,于是有,所以是嚴(yán)格遞減的;（3）因?yàn)?，所以，于是，?duì)一切nÎN *成立3 證明，取，當(dāng)時(shí)，若，則在右連續(xù)；否則，使得.不妨設(shè)，滿足：，由題設(shè)條件，使得，于是對(duì)于一切，有 ，所以在右連續(xù).同理可證在左連續(xù).四、證明 （1）因?yàn)?，所以有，；?）由（1），（）?；蛘?利用貝努利不等式,得.五、證明 曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積。 顯然，曲面的方程為，由此得旋轉(zhuǎn)曲面在正方向的方程為，由此得，于是，面積，其中是旋轉(zhuǎn)曲面在平面的投影區(qū)域，于是。六 解 （1）由，得到 ，再由泰勒系數(shù)公式，得到 ，于是求得

10、；（2）設(shè)，由，都存在，因此，即；（3）因?yàn)闉檫B續(xù)函數(shù)序列，在上一致收斂于，故在上連續(xù)，又因?yàn)椋?，記，則有，對(duì)，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，都有 ，從而 ，由此可見，當(dāng)時(shí)，都無(wú)零點(diǎn)，又因?yàn)?，故由，即?，故在上一致收斂于。華東師范大學(xué)2003年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)試題一（30分）簡(jiǎn)答題（只需寫出正確答案）。1.；2.，則3.4.，則5.，則6.方向?yàn)轫槙r(shí)針方向，則二.（20分）判別題（正確的說(shuō)明理由，錯(cuò)誤的舉出反例）1.若則.2.若在上可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)有界，則在上一致連續(xù)。3.若在上可積，在上可導(dǎo)，則4.若收斂，且則收斂。三.（17分）求極限,記此極限為，求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判別間斷點(diǎn)類型.四.（17分

11、）設(shè)在上連續(xù)，且證明,其中。五.（17分）若函數(shù)在上對(duì)連續(xù)，且存在，對(duì)，.求證：在上連續(xù).六.（17分）求下列積分:其中.七（17分）設(shè)（1）求證：；（2）求證：。八（15分）求證：收斂。華東師大2003年數(shù)學(xué)分析考研試題解答1 （1） ； （2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） .2 （1）錯(cuò).例如，但.（2） 正確. 設(shè)，對(duì)于任意，有，由此可知，在上一致連續(xù).（3） 錯(cuò). 例如，顯然在上可積，且，但.（4） 正確. 設(shè)，則，故有.3 解： ，由于， 不存在，因此為的可去間斷點(diǎn)，為的第二間斷點(diǎn).4 證明：有題設(shè)條件，得，于是.5 證明：，有 ，由條件，利用夾逼定理，即得，亦即在處連續(xù)

12、，從而在上連續(xù).6 證明：記，因?yàn)樵谏希谏?，故有，又因?yàn)樵谄矫嫔系耐队皡^(qū)域?yàn)?，又的方程為，所以可求?7 證明（1）把欲證明的不等式經(jīng)移項(xiàng)后寫為：，只要把此式左邊的分母乘至右邊，經(jīng)過(guò)整理后可得.主要過(guò)程如下：，于是成立，故成立；（2） 記，由（1）中的等式，可得如下等式成立，由，在上連續(xù)，故，即，.8 由于時(shí)，；故時(shí)，.估計(jì) ,，其中正常數(shù)或者是，或者，由此又得 ，所以根據(jù)Cauchy收斂準(zhǔn)則為收斂數(shù)列.華東師范大學(xué)2008年數(shù)學(xué)分析考研試題一、 判別題（6*6=30分）（正確的說(shuō)明理由，錯(cuò)誤的舉出反例）1數(shù)列收斂的充要條件是對(duì)任意，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，恒有。2若在處可微，則在的某個(gè)鄰域

13、內(nèi)存在。3設(shè)在上連續(xù)，且，則在上有零點(diǎn)。4設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則收斂。5設(shè)在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義且，則在處連續(xù)。6. 對(duì)任意給定的，任意給定的嚴(yán)格增加正整數(shù)列，存在定義在上的函數(shù)使得，（表示在點(diǎn)處的階導(dǎo)數(shù)）。二、計(jì)算題 （10*3=30分）（計(jì)算應(yīng)包括必要的計(jì)算步驟）1求 2設(shè) 為由方程組所確定的隱函數(shù)。求3計(jì)算 其中，積分沿曲面的外側(cè)。三、證明題（14*6=84分）1設(shè)級(jí)數(shù)收斂于（有限數(shù)）。證明：2設(shè)在上的不連續(xù)點(diǎn)都是第一類間斷點(diǎn)。證明：在上有界。求證：存在,使得在上有3已知在上，函數(shù)列一致收斂于，函數(shù)列一致收斂于。證明：函數(shù)列一致收斂于。4設(shè)數(shù)列為中互不相同的點(diǎn)列，為函數(shù)在上的唯一間斷點(diǎn)。設(shè)在上一致

14、有界，即存在正數(shù)使得對(duì)所有的與所有均成立。證明：函數(shù)在內(nèi)的間斷點(diǎn)集為。5設(shè)，證明：（1） 在上連續(xù)； （2）在上存在且連續(xù)；（3）。6（1）設(shè)在上可導(dǎo)。若存在，使，證明:存在,使得。（2）設(shè)，在上可導(dǎo)，設(shè)存在，,使 .設(shè)，證明：存在,使。華東師大2008年數(shù)學(xué)分析考研試題解答1 1、解 設(shè)數(shù)列收斂，則對(duì)任意，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，恒有。反之不真，反例 設(shè)，顯然有 ，但發(fā)散.2. 解 錯(cuò)誤.若在處可微，則在處，存在，但不能確定在的某個(gè)鄰域內(nèi)，存在.3. 解 正確.因?yàn)樵谏线B續(xù)，存在，使得，即在內(nèi)有零點(diǎn).4. 解 正確.設(shè)，則單調(diào)有界；收斂，由Abel判別法，知收斂.或者設(shè)，則單調(diào)遞減趨于0，收斂

15、，有界利用Dirichlet判別法，知收斂.5. 解 錯(cuò)誤.反例 設(shè)，顯然有，但是在點(diǎn)處不連續(xù).6. 解 正確. 例如函數(shù) 就滿足條件.二.1. 解 .2. 解 求偏導(dǎo)數(shù)的鏈索法則 略.3. 解 ，取充分小，由高斯公式，知.三1. 證明 設(shè)，則有，故有.2. 題目不清楚 略.3. 證明 由，在上分別一致收斂于，可得，在上分別一致收斂于，進(jìn)而 在上分別一致收斂于，于是結(jié)論得證.4. 證明 由，知在上一致收斂，在上連續(xù)，所以在上連續(xù).對(duì)任意固定的，在處間斷，在處連續(xù)，在處間斷，故函數(shù)在內(nèi)的間斷點(diǎn)集為.5. 證明 設(shè)，（1） 顯然在上連續(xù)，而收斂，所以在上一致收斂，于是在上連續(xù).（2） 在上連續(xù)，由

16、，知在上一致收斂，在連續(xù)，由此，知在連續(xù).（3） 因?yàn)椋@里用到了，.6、（1）、證明 證法一 用反證法，假若結(jié)論不真，由導(dǎo)函數(shù)的介值性，對(duì)所有，必有或者.若對(duì)一切，都有，則在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，當(dāng)充分大時(shí)，有，有，令，取極限，則得，這與條件矛盾，同理對(duì)所有，都有時(shí)，亦是矛盾的，所以假設(shè)不成立，故原結(jié)論成立.證法二 （1）當(dāng)為有限數(shù)時(shí)，若，則，結(jié)論自然成立；若不很等于，則存在，使得，下設(shè)，（對(duì)，類似可證）因?yàn)?，函?shù)在內(nèi)連續(xù)，所以對(duì)任意取定的數(shù)，存在，使得，從而由Rolle定理知，存在，使得。若或，則任取一點(diǎn)作，上面的推理保持有效.（2）當(dāng)時(shí)，易知在內(nèi)可取到最小值，設(shè)在處取到最小值，則有；（3）當(dāng)時(shí)

17、，易知在內(nèi)可取到最大值，設(shè)在處取到最大值，則有；注：此題是推廣的羅爾中值定理。6、（2）由于對(duì)所有，由導(dǎo)函數(shù)的介值性，對(duì)所有，必有或者.故有在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，或在上嚴(yán)格單調(diào)遞減。所以都存在；用反證法，假若結(jié)論不真。令，則對(duì)任意，均有，于是，令，則有對(duì)所有，必有或者.若對(duì)一切，都有，則在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，當(dāng)充分大時(shí)，有，有，令，取極限，則得，這與條件矛盾，同理對(duì)所有，都有時(shí)，亦是矛盾的，所以假設(shè)不成立，故原結(jié)論成立.存在,使。華東師大2009年數(shù)學(xué)分析考研試題1 判斷下列各題是否正確，若正確給出證明，若錯(cuò)誤舉出反例.1. 設(shè)，此處均為實(shí)數(shù)，則.2. 設(shè)為閉區(qū)間上不恒為零的連續(xù)函數(shù)，為Dirichl

18、et函數(shù)，則在上不可積.3. 存在實(shí)數(shù)，使得.4. 已知在處連續(xù)，且，證明在處可導(dǎo).5. 如果在處可導(dǎo)，則在的一個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù).6. 若多項(xiàng)式函數(shù)列在上一致收斂于函數(shù)，則必是多項(xiàng)式函數(shù).2 計(jì)算下列各題1. 設(shè)，求極限.2. 設(shè)圓盤上的各點(diǎn)的密度等于該點(diǎn)到其圓心的距離，求此圓盤的質(zhì)量.3. 設(shè)為中封閉光滑曲面，為任何固定方向，為曲面的外法線方向，求.3 證明下列各題1. 設(shè)是曲面外一點(diǎn)，若，求證直線是在點(diǎn)處的法線.2. 設(shè)，證明在原點(diǎn)處沿任何方向的的方向?qū)?shù)存在，但不可微.3. 設(shè)，均為實(shí)數(shù)，已知在上單調(diào)，值域?yàn)?，證明在上一致連續(xù).4. 設(shè)數(shù)列滿足條件：，且，證明數(shù)列無(wú)界.5. 設(shè)在上連續(xù)且有界

19、，證明對(duì)任意正數(shù)，存在，使得.6. 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上可積，證明 若對(duì)任意，有，則存在，使得對(duì)任意，均有.華東師大2009年數(shù)學(xué)分析考研試題解答一1.解 錯(cuò)誤.反例. 設(shè)，顯然，但，.2. 解 正確.由在上連續(xù)不恒為零，可知，存在，使得在上有，顯然在上不可積，從而在上不可積.3. 解 正確.可選取到周期為的連續(xù)可微函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，；時(shí)，取，為的Fourier系數(shù)，則有，結(jié)論得證.4. 解 正確，因?yàn)?，所以在處可?dǎo).5. 解 錯(cuò)誤.反例 設(shè)，顯然在處可導(dǎo)，但在處不連續(xù).6、設(shè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式序列在上一致收斂于實(shí)值函數(shù)，證明：也是多項(xiàng)式。證明 因?yàn)閷?shí)系數(shù)多項(xiàng)式序列在上一致收斂于實(shí)值函數(shù)，所以對(duì)任意，存在，

20、使得當(dāng)時(shí)，有，又因?yàn)橐彩嵌囗?xiàng)式，若不為常數(shù)，則當(dāng)趨于無(wú)窮時(shí)，也趨于無(wú)窮，矛盾。所以，其中為一無(wú)窮小序列。 由上面結(jié)論及是多項(xiàng)式，可知當(dāng)時(shí)，其中為某一固定的多項(xiàng)式，為某一收斂數(shù)（因?yàn)闉榭挛髁校┮驗(yàn)橛梢阎獥l件，一致收斂于0,及，所以有，即也是多項(xiàng)式，結(jié)論得證。二1.解 ， ，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.2. 解 .3. 解 設(shè)，則，利用高斯公式，則有 .三1.證明 設(shè)，顯然在上連續(xù)，為有界閉集，在上達(dá)到最大值，設(shè)在處達(dá)到最大值，令，令，在處取到條件極值，必是的駐點(diǎn)，即得滿足，曲面在的法線方向?yàn)?，所以直線是在點(diǎn)處的法線.2. 證明 由，即得，表及里所以在處連續(xù)，對(duì)任意方向，存在，顯然，當(dāng)，時(shí)，的極限不存在，所以在

21、處不可微.3. 證明 因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)殚_區(qū)間，所以在上具有介值性質(zhì)，又在上單調(diào)，可以得到在上連續(xù)，由在上單調(diào)有界，所以，存在且有限，從而知在上一致連續(xù).4. 證明 用反證法假若數(shù)列有界，存在，使得，由條件知 ，對(duì)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，令，則有，于是有，從而顯然有，這與矛盾，所以數(shù)列無(wú)界.5、 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)有界，且對(duì)某個(gè)，對(duì)所有，有，試證：存在數(shù)列，使得。證明 ，依題設(shè)條件，可得必有或，不妨設(shè)， 我們斷定，對(duì)于任意大的，不可能對(duì)所有，恒有，否則由,這與的有界性矛盾，所以任取，存在，使得，所以 ，結(jié)論得證。注：。 6、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上Riemann可積，且.試證明：存在閉區(qū)間，使得當(dāng)時(shí)，.證明：

22、反證法，假設(shè)對(duì)任意區(qū)間，都存,使，任意分割，都存在,使得,于是，與題設(shè)條件，矛盾. 華東師范大學(xué)2004年數(shù)學(xué)分析考研試題一.（30分）計(jì)算題（1）求；（2）若求.（3）求.（4）求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).（5）L為過(guò)和的曲線，求:（6）求曲面積分其中取上側(cè).二（30分）判別題（正確的證明，錯(cuò)誤的舉反例）1 .若是互不相等的非無(wú)窮大數(shù)列，則至少存在一個(gè)聚點(diǎn)2. 若在上連續(xù)有界，則在上一致連續(xù).3. 若在上可積，則:4 .若收斂，則收斂.5.若在上定義的函數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)，且在上連續(xù)，則在上可微.6 .在上連續(xù)，若則.三.（15分）函數(shù)在上連續(xù)且，求證：在上有最大值或最小值.四（15分）求證不等式：五（15

23、分）設(shè)在上連續(xù)且在上一致收斂于,若,求證：使六（15分）設(shè)滿足：（1）（2）級(jí)數(shù)收斂。求證：.七（15分）若函數(shù)在上一致連續(xù)，求證：在上有界.八（15分）設(shè)在有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而且對(duì)以任意點(diǎn)為中心，以任意正數(shù)為半徑的上半球面恒有:求證： 華東師范大學(xué)2004數(shù)學(xué)分析考研試題及解答一、（30分）計(jì)算題。1、求解： 2、若求.解：3、求.解：=-=4、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).解:時(shí) =+=-=5、為過(guò)和的曲線,求=+ =6、求曲面積分,其中,取上側(cè).解：應(yīng)用Gauss公式，并應(yīng)用極坐標(biāo)變換得：=.二、（30分）判斷題（正確的證明，錯(cuò)誤的舉出反例）1、若是互不相等的非無(wú)窮大數(shù)列，則至少存在一個(gè)聚點(diǎn)正確。在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集必有界無(wú)限的子點(diǎn)集，故由聚點(diǎn)定理，點(diǎn)集至少存在一個(gè)聚點(diǎn)2、若在上連續(xù)有界，則在上一致連續(xù).解 錯(cuò)誤 .反例在上連續(xù),且有界,但在上不一致連續(xù).3、若,在上可積，則.解 正確。證：,在上可積