2020年中考數(shù)學(xué)一輪專項(xiàng)——二次函數(shù)解決最大面積、最大利潤(rùn)問題(含答案)

1、2020年中考數(shù)學(xué)一輪專項(xiàng)一一二次函數(shù)解決最大面積、最大利潤(rùn)問題例1、 如圖，從一張矩形紙片較短的邊上找一點(diǎn) E,過E點(diǎn)剪下兩個(gè)正方形，它們的邊長(zhǎng)分別是AE, DE,要使剪下的兩個(gè)正方形的面積和最小，點(diǎn) E應(yīng)選在何處？為什么?DAEC7-X解：設(shè)矩形紙較短邊長(zhǎng)為a,設(shè)DE=x，則AE=a-x,那么兩個(gè)正方形的面積和：y=x 2+(a-x) 2=2x 2-2ax+a 2y最小值=2 x (- a)22-2a x-a+a 2= - a2即點(diǎn)E選在矩形紙較短邊的中點(diǎn)時(shí)，剪下的兩個(gè)正方形的面積和最小例2、已知9BC中，邊BC的長(zhǎng)與BC邊上的高的和為20.(1)寫出9BC的面積y與BC的長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)

2、系式，并求出面積為 48時(shí)BC的長(zhǎng)；(2)當(dāng)BC多長(zhǎng)時(shí)，4ABC的面積最大？最大面積是多少？解：(1)y = 2x2+10x ,解方程 48 = -x2 + 10x,得 xi=12, x2 = 8.丁/ABC的面積為48時(shí)，BC的長(zhǎng)為12或8;(2)將 y= ；x2+10x 配方變形為 y = /x10)2+50,當(dāng)BC=10時(shí)，9BC的面積最大，最大面積為 50.利潤(rùn)=銷售總金額總成本=(售價(jià)進(jìn)價(jià))X銷售量其他支出.例3、大學(xué)生王強(qiáng)積極響應(yīng)“自主創(chuàng)業(yè)”的號(hào)召，準(zhǔn)備投資銷售一種進(jìn)價(jià)為每件 40元的小家電， 通過試營(yíng)銷發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價(jià)在40元至90元之間(含40元和90元)時(shí)，每月的銷售量y(件

3、)與銷售 單價(jià)x(元)之間的關(guān)系可近似地看作一次函數(shù)，其圖象如圖所示.(1)則y與x的函數(shù)關(guān)系式為 y= 4x +360(40 0x&90) ；設(shè)王強(qiáng)每月獲得的利潤(rùn)為P（元），求P與x之間的函數(shù)關(guān)系式；如果王強(qiáng)想要每月獲得 2400元的利潤(rùn)，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元?解：P=(x 40)(4x +360) = 4x2 + 520x14400(40 <x<90),當(dāng) P = 2400 時(shí)，4x2 + 520x -14400 =2400 ,解得 xi=60, x2=70,.銷售單價(jià)應(yīng)定為60元或70元.例4、某商店將每件進(jìn)價(jià)8元的某種商品按每件10元出售，一天可銷出約100件，

4、該店想通過降低售價(jià)，增加銷售量的辦法來提高利潤(rùn)，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價(jià)每降低0.1元，其銷售量可增加約10件.將這種商品的售價(jià)降低多少時(shí)，能使銷售利潤(rùn)最大？【分析】找出進(jìn)價(jià)，售價(jià)，銷售，總利潤(rùn)之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)，再求最大值.列表分析如下：進(jìn)價(jià)（元）售價(jià)（元）銷售（件）總利潤(rùn)（元）降價(jià)前810100100( 10-8)二 200降價(jià)后810-r100 + I00.V(lO-.t-S)(UM) + (X) v)關(guān)系式：每件利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，總利潤(rùn)=每件利潤(rùn)X銷量.解:設(shè)降價(jià)x元，總利潤(rùn)為y元，由題意得y=（10-x-8）（100+100x）=-100x2+100x+200=-100（

5、x-0.5）2+225.當(dāng)x=0.5時(shí)，總利潤(rùn)最大為225元.當(dāng)商品的售價(jià)降低0.5元時(shí)，銷售利潤(rùn)最大例 5、 某賓館有50 個(gè)房間供游客住宿，當(dāng)每個(gè)房間的房?jī)r(jià)為每天180 元時(shí)，房間會(huì)全部住滿；當(dāng)每個(gè)房間每天的房?jī)r(jià)每增加10 元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑；賓館需對(duì)游客居住的每個(gè)房間每天支出 20 元的費(fèi)用根據(jù)規(guī)定，每個(gè)房間每天的房?jī)r(jià)不得高于340 元設(shè)每個(gè)房間的房?jī)r(jià)每天增加x 元(x 為 10 的整數(shù)倍)，設(shè)賓館一天的利潤(rùn)為w 元(1)求w與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)一天訂住多少個(gè)房間時(shí)，賓館的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？解：(1)w = (500.1x)(180 +x 20),即 w = 0.1x

6、2+34x+ 8000(0 <x<160);(2)w = 0.1x2+34x + 8000 = 0.1(x 170) 2+ 10890 ,當(dāng) x<170 時(shí)， w 隨 x 的增大而增大，,-0<x<160 ,.當(dāng)x= 160 時(shí)，w 最大= 10880, y = 500.1x=34,即一天訂住34 個(gè)房間時(shí)，賓館每天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為10880 元例 6、如圖 1 ，三孔橋截面的三個(gè)孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小都相同正常水位時(shí)，大孔水面寬度 AB = 20 m,頂點(diǎn)M距水面6m (即MO = 6m),小孔頂點(diǎn)N距水面4.5m(NC =4.5m).當(dāng)水位上漲

7、剛好淹沒小孔時(shí)，借助圖2 中的平面直角坐標(biāo)系，求此時(shí)大孔的水面寬度EF.解：設(shè)大孔對(duì)應(yīng)的拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y = ax2 + 6.依題意,得B(10, 0). aX102 + 6 = 0.解得 a= 0.06.即 y= 0.06x 2 + 6( 10 q010).當(dāng) y = 4.5 時(shí)，一0.06x2 + 6 = 4.5.解得 x=±5. DF = 5, EF= 10.答：此時(shí)大孔的水面寬度 EF為10m.針對(duì)性練習(xí)1 .我們大家一起來試營(yíng)一家有 80間套房的旅館，看看知識(shí)如何轉(zhuǎn)化為財(cái)富.經(jīng)調(diào)查得知，若我們把每日租金定為160元，則可客滿；而租金每漲20元，就會(huì)失去3位客人.

8、每間住了人的客房每日所需服務(wù)、維修等各項(xiàng)支出共計(jì) 40元.要想賺最多的錢，定價(jià)應(yīng)該為（）A. 160 元 B. 240 元 C. 360 元 D . 450 元1、【答案】：C2.如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)支點(diǎn)，AB=1,分別以AC和CB為一邊作正方形，用S表示這兩個(gè) 正方形的面積之和，下列判斷正確的是（）A.當(dāng)C是AB的中點(diǎn)時(shí),S最小B.當(dāng)C是AB的中點(diǎn)時(shí),S最大C.當(dāng)C為AB的三點(diǎn)分點(diǎn)時(shí)，S最小D.當(dāng)C是AB的三等分點(diǎn)時(shí)，S最大aA C B2、【答案】：A2.如圖，某水渠的橫斷面是等腰梯形，底角為120 0 ,兩腰與下底的和為4cm ,當(dāng)水渠深x為 時(shí)，橫斷面面積最大，最大面積是 .A

9、EDB C3、【答案】：2/1 cm,迪cm2 554.如圖，有長(zhǎng)為24m的圍欄，一面利用墻(墻的最大可用長(zhǎng)度a為10m),圍成中間隔有一道 柵欄的長(zhǎng)方形雞舍.設(shè)雞舍的寬 AB為xm ,面積為Sm2.(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)能圍成面積比45m2更大的雞舍嗎？如果能，請(qǐng)求出最大面積；如果不能，請(qǐng)說明理由.144、【答案】：解：(1)S = 3x2 + 24x( <x<8);3(2)S= 3x2 + 24x = 3(x 4)2 + 48 ,14<x<8,當(dāng) x = ?時(shí)，S最大值= 140m2, 333能圍成比45m2更大雞舍，最大面積為 m2.35、某經(jīng)銷店為某

10、工廠代銷一種建筑材料，當(dāng)每噸售價(jià)為260元時(shí)，月銷售量為45噸，該經(jīng)銷店 為提高經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)，準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價(jià)下降10元時(shí)，月銷售量就會(huì)增加7.5噸綜合考慮各種因素，每售出1噸建筑材料共需支付廠家及其他費(fèi)用 100元，設(shè) 每噸材料售價(jià)為x (元)，該經(jīng)銷店的月利潤(rùn)為y (元).當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí)，計(jì)算此時(shí)的月銷售量；求出y與x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出x的取值范圍)；該經(jīng)銷店要獲得最大月利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為每噸多少元？小靜說：“當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí)，月銷售額也最大 .”你認(rèn)為對(duì)嗎？請(qǐng)說明理由5、【答案】 解： 45+ 260 240 X7.5=60 (噸).10y=(

11、x-100)(45+2600 x X7.5).化簡(jiǎn)，得 y=- 3x2+315x-24 000. 4y=- 3 x2+315x-24 000=- (x-210)2+9 075.44此經(jīng)銷店要獲得最大月利潤(rùn)，材料的售價(jià)應(yīng)定為每噸210元.我認(rèn)為，小靜說得不對(duì).理由:當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí)義為210元，每月銷售額 W=x(45+ 260 x X7.5=- 3 (x-160) 2+19 200. 當(dāng)x為160元時(shí)，月銷售額 W最大.，當(dāng)x為210元時(shí)，月銷售額 W不是最大的.，小靜說得不對(duì).6、某工廠大門是一拋物線水泥建筑物(如圖)，大門地面寬AB = 4m,頂部C離地面高為4.4m.(1)以AB所在直線為x軸，以拋物線的對(duì)稱軸為y軸，建立直角坐標(biāo)系，求該拋物線對(duì)應(yīng)的函 數(shù)表達(dá)式；(2)現(xiàn)有一輛載滿貨物的汽車欲通過大門，貨物頂點(diǎn)距地面2.8m,裝貨寬度為2.4m,請(qǐng)通過計(jì)算，判斷這輛汽車能否順利通過大門？6【答案】、解：(1)過AB的中點(diǎn)作AB的垂直平分線，建立直角坐標(biāo)系.點(diǎn)A, B, C的坐標(biāo)分別為 A(2, 0), B(2, 0), C(0, 4.4).設(shè)拋物線的表達(dá)式為 y = a(x 2)(x+2).將點(diǎn) C(0, 4.4)坐標(biāo)代入得，a(0 2)(0+ 2) =4.4,解得 a= 1.1 ,.y = 1.1(x 2) (x+2) = 1.1x2 + 4.4