不等式知識點歸納(共5頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上新課標(biāo)回歸教材不等式1、不等式的性質(zhì):名稱不等式名稱不等式對稱性(充要條件)傳遞性可加性(充要條件)同向不等式可加性:異向不等式可減性:可乘性同向正數(shù)不等式可乘性:異向正數(shù)不等式可除性:乘方法則開方法則倒數(shù)法則常用結(jié)論(充要條件)注:表中是等價關(guān)系的是解、證明不等式的依據(jù),其它的僅僅是證明不等式的依據(jù).典例:1)對于實數(shù)中,給出下列命題:; ;.其中正確的命題是 . 2)已知,則的取值范圍是;3)已知,且則的取值范圍是.2、不等式大小比較的常用方法:(1)作差:作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果;(2)作商(常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式);(3)分析法;(

2、4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函數(shù)的單調(diào)性;(7)尋找中間量或放縮法;(8)圖象法.其中比較法(作差、作商)是最基本的方法.典例:1)設(shè),比較的大小答案:當(dāng)時, (在時取“=”);當(dāng)時,(在時取“=”);2)已知,試比較的大小.( 答:)3)設(shè),試比較的大小(答:);4)比較1+與的大小.答:當(dāng)或時,1+;當(dāng)時,1+;當(dāng)時,1+5)若,且,比較的大小.(答:) 3.利用重要不等式求函數(shù)最值:“一正二定三相等,和定積最大,積定和最小”.典例:1)下列命題中正確的是( B )A.的最小值是2 B.的最大值是C.的最小值是2 D.的最小值是; 2)若,則的最小值是;3)已知,且,

3、則的最小值為18;變式:已知,則的最小值為 18 ;:已知,且,則的最大值為 1 ;:已知,且,則的最小值為 9 ;4.常用不等式有:(1)當(dāng)時取=號)(2)當(dāng)時取=號)上式從左至右的結(jié)構(gòu)特征為:“平方和”不小于“和平方之半”不小于“積兩倍”.(3)真分?jǐn)?shù)性質(zhì)定理:若,則(糖水的濃度問題).典例:若,滿足,則的取值范圍是.5、證明不等式的方法:比較法、分析法、綜合法和放縮法.比較法的步驟是:作差(商)后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小,然后作出結(jié)論.)常用的放縮技巧有:(右邊當(dāng)時成立) 典例:1)已知,求證: ;2)已知,求證:;3)已知,且,求證:;4)若是不全相等的正

4、數(shù),求證:;5)若,求證:;6)求證:.6.常系數(shù)一元二次不等式的解法:判別式圖象法步驟:(1)化一般形式:,其中;(2)求根的情況:;(3)由圖寫解集:考慮圖象得解.典例:解不等式.(答:)注:解一元二次不等式的過程實際上是一種函數(shù)、方程與不等式思維的轉(zhuǎn)換過程,從中我們不難看出“三個二次”關(guān)系是核心,即一元二次不等式解集定值端點(非正負(fù)無窮大)是對應(yīng)一元二次方程(函數(shù))的根(零點).典例:若關(guān)于的不等式的解集為,解關(guān)于的不等式.(答:)7.簡單的一元高次不等式的解法:標(biāo)根法:其步驟是:(1)分解成若干個一次因式的積,并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正;(2)將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上,從

5、最大根右上方依次通過每一點畫曲線(奇穿偶回);(3)根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號變化規(guī)律,寫出不等式的解集.典例:1)解不等式.(答:或);2)不等式的解集是;3)設(shè)函數(shù)、的定義域都是,且的解集為,的解集為,則不等式的解集為;4)要使?jié)M足關(guān)于的不等式(解集非空)的每一個的值至少滿足不等式和中的一個,則實數(shù)的取值范圍是.8.分式不等式的解法:分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0,再通分并將分子分母分解因式,并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正,最后用標(biāo)根法求解.解分式不等式時,一般不能去分母,但分母恒為正或恒為負(fù)時可去分母.典例:1)解不等式(答:);2)關(guān)于的不等式的解集為,則關(guān)于的不等式的解集為.

6、注:和一元二次不等式一樣,不等式解集的端點值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點值.9.絕對值不等式的解法:(了解)(1)分域討論法(最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集)典例:解不等式;(答:);(3)利用絕對值的定義;(3)數(shù)形結(jié)合;典例:解不等式;(答:)(4)兩邊平方典例:若不等式對恒成立,則實數(shù)的取值范圍為10、含參不等式的解法:通法是“定義域為前提,函數(shù)增減性為基礎(chǔ),分類討論是關(guān)鍵”注意:解完之后要寫上:“綜上,原不等式的解集是”.按參數(shù)討論,最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集;但若按未知數(shù)討論,最后應(yīng)求并集. 典例:1)若,則的取值范圍是;2)解不等式.(答:時,;時,或;時,或)含參

7、數(shù)的一元二次不等式的解法:三級討論法.一般地,設(shè)關(guān)于的含參數(shù)的一元二次形式的不等式為:.(1)第一級討論:討論二次項系數(shù)是否為零;(2)第二級討論:若時,先觀察其左邊能否因式分解,否則討論的符號;(3)第三級討論:若時,先觀察兩根大小是否確定,否則討論兩根的大小.注意:每一級的討論中,都有三種情況可能出現(xiàn),即“>”,“=”,“<”,應(yīng)做到不重不漏.典例:1)解關(guān)于的不等式.答:當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,當(dāng)時,2)解關(guān)于的不等式.答:當(dāng)時,;當(dāng)時,當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,提醒:解不等式是求不等式的解集,最后務(wù)必有集合的形式表示.11.不等式的恒成立、能成立、恰成立等問題:不等式恒成

8、立問題的常規(guī)處理方式？常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題,也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征,利用數(shù)形結(jié)合法.1).恒成立問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上典例:1)設(shè)實數(shù)滿足,當(dāng)時,的取值范圍是;2)不等式對一切實數(shù)恒成立,求實數(shù)的取值范圍; 3)若對滿足的所有都成立,則的取值范圍;4)若不等式對于任意正整數(shù)恒成立,則實數(shù)的取值范圍是5)若不等式對恒成立,則的取值范圍2).能成立問題若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上;若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上的.注意:若方程有解,則等價于典例:1)已知在實數(shù)集上的解集不是空集,求實數(shù)的取值范圍2)已知函數(shù)的定義域為.若,求實數(shù)的取值范圍.(答:)若方程在內(nèi)有解,求實數(shù)的取值范圍.(答:)3). 恰成立問題若不等式在區(qū)間