2021年江蘇高考數(shù)學(xué)二輪練習(xí)：高考熱點(diǎn)追蹤(二)三角函數(shù)與平面向量專題強(qiáng)化精練提能

1、專題強(qiáng)化O精練提能1. (2019 南京、鹽城高三模擬)在厶 ABC 中，設(shè) a, b, c 分別為角 A, B, C 的對(duì)邊，若 an3=5 , A=-，cos B =,貝Vc=454n7 / 2a c解析根據(jù)題意得，sin B = 5,所以 sin C = sin(A+ B)= sin 4 + B =訪，由=sC 得 5 = % ,解得 c= 7. sin410答案71+cos 2a1 血丄 c2.若歸= 1,則tan 2a=解析所以 tan1+COS2a2cos2acosasin 2a =2sinacosa=sina=2 2tana44a=2,所以 tan 2a= =一；1tan2a14

2、3“亠 4答案3. (2019 江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷(七)已知向量 a = (2 , 1) , b= (3 , 1),若 a+2kb 與 3a b 平行，則 k=解析因?yàn)?a = (2, 1), b = (3, 1),所以 a + 2kb= (2 , 1) + 2k(3 , 1)= (2 + 6k, 1 2k),3a b = 3(2 , 1) (3 , 1) = (3 , 4),又 a+ 2kb 與 3a b 平行，所以 4(2+ 6k) 3(1 2k) =0 ,1解得 k 一 1. 1答案611n r r4. (2019 揚(yáng)州模擬)已知 cosa=1, COS(a+ 3= ,且a,氏

3、 0 , ?,則cOS(a 3的值n解析因?yàn)閍0 ,所以 2a(0 ,n17因?yàn)?cosa=3,所以 cos 2a=2COS2a1= 9,所以 sin 2a= 1cos22a=2,n而a , 30,所以a+(0, n所以 sin(a+ 3) = U1 - cos2(a+ 3= 3,所以 COS(a3=C0S2a (a+ 3=cos 2acos(a+ 3 +sin 2 sin(a+ 34,2、，22 23/X932723答案275. (2019 鹽城高三模擬)已知向量 a, b 滿足 a= (4, 3), |b|= 1, b的夾角為_(kāi)x2+ /= 1解析法一：設(shè)向量 b= (x, y),則由|b

4、|= 1, |a b|= 可得，(x 4)2+( y+ 3)2= 2155a b 1?4x3y= 2,所以ab=(4,-3) (x,y)=4x-3y=5,cosa,b =麗=2 又a,b0,nn,所以向量 a, b 的夾角為 3.5a b法二：由|a-b|=.21得，(a-b)2=21?a2-2a b+b2=21,所以a b=5,cos =麗1n2 又a, b 0,n,所以向量 a, b 的夾角為n答案36. (2019 南京高三模擬)如圖，在梯形 ABCD 中，AB/ CD , AB = 4, AD = 3, CD = 2, AM=2MD .若 AC BM = 3，則 ABAD =1 _ 2

5、 解析由題意可得 AC= AD + DC = AD + AB , BM = AM AB = 3AD AB,則 AC BM =23AD + ?AB - AD AB = 3,則|ADf ?|ABf-3AB AD = 3,即 6 8 3AB AD = 3,解3 得 AB AD = .答案3n7 .函數(shù) f(x) = Asinx+妨 A0,30,則石 的部分圖象如圖所示，則將n右平移n個(gè)單位后，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為|a b|= . 21,則向量 a,y = f(x)的圖象向12n,n3=2,由sin2X6+ =nn%f(x) = sin 2x+-,則 f(x)= sin 2x+ 6的圖象向右平

6、移 6 個(gè)冗答案y= sin 2x 6)在厶 ABC 中，已知 AB = 1, AC = 2,ZA= 60，若點(diǎn) P滿足AP=AB+瓜 C,且 BPCP= 1,則實(shí)數(shù) 入的值為_(kāi)1 解析由題意可得 AB AC = 1X2X2 = 1 , AB AP = AB2+；AB AC = 1+ 入AP AC= 1 + 4 入 AP2= AB2+ 2?AB AC+ 於 AC2= 4X+ 2 入+ 1，又 BP CP = 1,則(AP AB) (APAC) = AP2 AP AC AP AB+ AB AC = 1 ,代入化簡(jiǎn)得 4? 3X1 = 0,解得X= 4 或X=1.1答案4 或 19 .已知 a,

7、b, c 分別為 ABC 三個(gè)內(nèi)角 A, B, C 的對(duì)邊，a= 2,且(2 + b)(sin A sin B) =(c b)sin6 則厶 ABC 的面積的最大值為 _.解析因?yàn)?a = 2, (2 + b)(sin A sin B)= (c b)sin C,根據(jù)正弦定理，得(a+ b)(a b)= (cb)c,所以 a2 b2= c2 bc,所以 b2+ c2 a2= bc,根據(jù)余弦定理因?yàn)?A (0,n,故 A=n因?yàn)?b2+ c2 bc= 4,所以 4 = b2+ c2 bc2bc bc= bc(當(dāng)且僅當(dāng) b積的最大值為 3.答案.310. (2019 唐山模擬)在厶 ABC 中，(A

8、B 3AC)丄 CB,則角 A 的最大值為解析因?yàn)?AB 3AC)丄 CB,所以(AB 3AC) CB = 0, (AB 3AC) (AB AC)= 0, AB21, |則扌得扌+0=n解得片n所以單位后得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為n nny=sin2x6+6=sin 2x6.8. (2019 蘇錫常鎮(zhèn)四市高三調(diào)研b2+ c2 a21,得cos A=2bc= 2=c= 2 時(shí)取等號(hào)),所以ABC 的面積c 1逅 亞 Swc= 2bcsinA =7bc4=3,442當(dāng)且僅當(dāng) a = c= 2 時(shí)取等號(hào)，所以線段 BD 長(zhǎng)的最小值為.3法二：因?yàn)?D 為 AC 邊的中點(diǎn)，所以可設(shè) AD = CD

9、= d,BD2+ d2 c2BD2+ d2 a2由 cosZADB + cosZCDB = 0,得+= 0,2d BD2d BDa2+ c2即 BD2=2 d2= 8 ac d2,又 b2= a2+ c2 2accos B, B = 60 所以 b2= (a+ c)2 3ac = 16 3ac,3即 4d2= 16 3ac,所以 d2= 4 4ac,211 a 亠 c故BD2=4 4ac4 x = 3,當(dāng)且僅當(dāng) a= c= 2 時(shí)取等號(hào)，所以線段 BD 長(zhǎng)的最小值為.3.13. (2019 南京、鹽城模擬)在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，設(shè)銳角a的始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于P

10、(X1, y1),將射線 OP 繞坐標(biāo)原點(diǎn) O 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)n后與單位圓交于點(diǎn) Q(X2, y2).記 f(a= y1+ y2.a+ c1 則BD2=(BA+BC)2=(1) 求函數(shù) f(a 的值域；(2) 設(shè)厶 ABC 的角 A, B, C 所對(duì)的邊分別為 a, b, c,若 f(C) = .2，且 a = ；2, c= 1，求 b.所以 f(a=sina+cosa=邁 sina+4,n嚴(yán)嚴(yán) r、pn n3n因?yàn)閍0,2,所以a+44,故 f( a) (1 , 2.因?yàn)?f(C)= 2sinn+ C = .2, 又 C (0,n)n所以 C=,在厶 ABC 中，由余弦定理得 c2= a2

11、+ b2 2abcos C, 即 1 = 2 + b2 2.;222b,解得 b= 1.14. (2019 江蘇省四星級(jí)學(xué)校 4 月聯(lián)考)金鑲玉獎(jiǎng)牌是中國(guó)文化與體育精神完美結(jié)合的載體.現(xiàn)有一矩形玉片 BCEF , CE 為 36 毫米，BC 為 32 毫米，G 為 EF 的中點(diǎn).現(xiàn)要開(kāi)糟鑲嵌金絲，將其加工為鑲金工藝品， 如圖，金絲部分為優(yōu)弧 PQ 和線段 MP , NQ, MN ,其中優(yōu)弧 PQ 所在圓的圓心為 0,圓 0 與矩形的邊 FB, BC, CE 分別相切于點(diǎn) A, H , D . M , N 在線段 EF上(M 在 N 的左側(cè)),MP , NQ 分別與圓 0 相切點(diǎn) P , Q,且

12、 FM = NE.若優(yōu)弧 PQ 部分鑲嵌的金絲每毫米造價(jià)為 3a 元(a0),線段 MP, NQ , MN 部分鑲嵌的金絲每毫米造價(jià)為2a 元.記銳角/ POG = a 鑲嵌金絲總造價(jià)為 W 元.MG N/ AV時(shí)丿HC(1)試表示出關(guān)于a的函數(shù) W(oc),并寫(xiě)出 cosa的范圍;當(dāng) M, N 位于什么位置時(shí)，鑲嵌金絲的總造價(jià)最低？解(1)由題意,得 yi= sina,y2= sinna+2 =cosa,解如圖，過(guò)點(diǎn) P 作 0G 的垂線,垂足為 R,過(guò)點(diǎn) M 作 PR 的垂線，垂足為 S,由圓 0與矩形的邊 FB, BC, CE 相切，得圓 0 半徑為 16.易得 PR=16sina,0R

13、=16cosa,MS=GR=OGOR=CECD16cosa=361616cosa=2016cosa,切點(diǎn)為 P,所以 OP 丄 MP,易得/ MPS=ZPOG =a,MS 2016cosatana=tana G 三點(diǎn)重合時(shí)，汙 OG 為直角三角形，sina7272cosa33cosax2a=96a( 一a+ ;x2a=48a(2n2a+ ;),sinasina考慮臨界狀態(tài)，當(dāng) M , N,由(1)知，(%)33cosa48a一2+mJ48a 2sin2a+33cosasin2a一 2+2cos2a+33cos48asin2a2a2cosa3cosa+1-=48asin2a(2cosa1)(cosa1)=48a-2, asin2an(a,),7t其中 0,4cosa =,5因?yàn)?MP 與圓 O 相切,所以MSMP=NQ=sMSa2016cosasinPS=所以 MG = SR= PR PS= 16sina2016cosa1620cosatana其中ZGPO=nOG=20,OP=16,cosa=OG=16 451令 W a=0,得 COS a= 2 或 COSa=1（舍）,4n又 COSa0, 5 且 a 為銳角,所以a=3，n所以當(dāng) a a, 3 時(shí)，w(a0 , W(a單調(diào)遞增.所以當(dāng)a=3 時(shí)，總造價(jià) W(a取得最小值，為 Wn=