拉普拉斯變換

1、拉普拉斯變換基本要求拉普拉斯變換的定義、收斂域的概念：熟練掌握拉普拉斯變換的性質(zhì)、卷積定理的意義及它們的運(yùn)用。能根據(jù)時(shí)域電路模型畫出 S域等效電路模型，并求其沖激響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。能根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布情況分析、判斷系統(tǒng)的時(shí)域與頻域特性。理解全通網(wǎng)絡(luò)、最小相移網(wǎng)絡(luò)的概念以及拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系。會(huì)判定系統(tǒng) 的穩(wěn)定性。知識(shí)要點(diǎn)1.拉普拉斯變換的定義及定義域 定義單邊拉普拉斯變換：正變換f(t) F(s) 0 f(t)estdt1 jst逆變換 F(s) f(t) 2 j F(s)eds雙邊拉普拉斯變換：正變換 f B(s)f(t)e stdt逆變換 f(t)

2、21y jj F B(s)estds(2) 定義域 若 0時(shí)，pm f(t)e t 0則f城 0的全部范圍內(nèi)收斂，積分0 f(t)estdt存在，即f(t)的拉普拉斯變換存在。°就是f(t)的單邊拉普拉斯變換的收斂域。0與函數(shù)f(t)的性質(zhì)有關(guān)。2.拉普拉斯變換的性質(zhì)(1) 線性性若fi(t) Fi(S) ,f2(t)F2(S) ,1 ,2 為常數(shù)時(shí)，則ifl(t)2 f2(t)1 Fl (s)2F2(S)(2)原函數(shù)微分若f (t) F(s)則皿sF(s) f(0 ) dtdfi snF(s) n1snr1f(r)(0 )dtr 0r式中f(r)(0 )是r階導(dǎo)數(shù)d羋在0時(shí)刻的取值

3、。 dtr(3) 原函數(shù)積分(1)若f (t) F(s),則f(t)dt 口 -(0 式中 f(1)(0) f(t)dt(4) 延時(shí)性若f (t) F (s),則f(t to)u(t to) e st0F(s)(5) S域平移若f (t) F (s),則f(t)eat F(s a)(6) 尺度變換若f (t) F (s),則f(at) 1F(-) (a 0) a a 初值定理 lim f(t) f(0 ) limsF(s) t os(8) 終值定理 lim f(t) lim sF(s)ts(9) 卷積定理若fi(t) Fi(s), f2(t) F2(s),則有fi(t) f2(t) Fi(s)

4、F2(s),11 jfi(t)f2(t) 2-7Fi(s) F2(s)=2Tj Fi(P)F2(s p)dp3.拉普拉斯逆變換(1)部分分式展開法f (t)o首先應(yīng)用海維賽展開定理將F(s)展開成部分分式，然后將各部分分式逐項(xiàng)進(jìn)行逆變換，最后疊加起來即得到原函數(shù)(2)留數(shù)法留數(shù)法是將拉普拉斯逆變換的積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)F(s)est在圍線中所 有 極 點(diǎn) 的 留 數(shù) 運(yùn) 算， 即(1)F(s) j F (s)estds ? F(s)estdsF(s)est 的留數(shù)2 j j2 j 。極點(diǎn)n若Pi為一階級(jí)點(diǎn)，則在極點(diǎn)s Pi處的留數(shù)ri (s Pi)F(s)est X： s pi i 1 1

5、d k 1若 Pi為 k 階級(jí)點(diǎn)，則 ri -T7(s Pi)kF(s)estspi (k 1)! ds4.系統(tǒng)函數(shù)(網(wǎng)絡(luò)函數(shù))H (s)定義系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的拉普拉斯變換與激勵(lì)的拉普拉斯變換之比稱為系統(tǒng)函數(shù)，即H(s) Rzs沖激響應(yīng)h(t)與系統(tǒng)函數(shù)H(s)構(gòu)成變換對(duì)，即H (s)h(t)系E(s)統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性H(jw) H(s)sjw |H(jw) ej (w)式中，|H(jw)是幅頻響應(yīng)特性，(w)是相頻響應(yīng)特性。(2) 零極點(diǎn)分布圖H(s) 叫 K(s z1)(s z2)L (s Zm)式中，是系數(shù)；z1,z2,L 鼎為 H(s)D(s) (s Pi)(s P2)l (s Pn)的

6、零點(diǎn)；Pi, P2, L , Pn為H(s)的極點(diǎn)。在s平面上，用“ d ”表示零點(diǎn)，“ ”表示極點(diǎn)。將H(s)的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)畫在 s平面上得到的圖稱為系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖。對(duì)于實(shí)系統(tǒng)函數(shù)而言，其零極點(diǎn)要么位于實(shí)軸上，要么關(guān)于實(shí)軸成鏡像對(duì)稱分布。(3) 全通函數(shù)如果一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)位于左半平面，零點(diǎn)位于右半平面，而且零點(diǎn)與極點(diǎn)對(duì)于jw軸互為鏡像，那么這種系統(tǒng)函數(shù)稱為全通函數(shù)，此系統(tǒng)則為全通系統(tǒng)或全通網(wǎng)絡(luò)。全通網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的幅頻特性是常數(shù)。(4) 最小相移函數(shù)如果系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)和零點(diǎn)均位于S平面的左半平面或jw軸，則稱這種函數(shù)為最小相移函數(shù)。具有這種網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的系統(tǒng)為最小相移網(wǎng)絡(luò)。(5) 系統(tǒng)函

7、數(shù)H(s)的求解方法由沖激響應(yīng)h(t)求得，即H(s) h(t)。對(duì)系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行零狀態(tài)條件下的拉普拉斯變換，然后由H(s) R(同獲得。 E根據(jù)S域電路模型，求得零狀態(tài)響應(yīng)的像函數(shù)與激勵(lì)的像函數(shù)之比，即為 H(s)。5.系統(tǒng)的穩(wěn)定性若系統(tǒng)對(duì)任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則此系統(tǒng)為穩(wěn)定系(1 )穩(wěn)定系統(tǒng)的時(shí)域判決條件 h(t)dt M (充要條件)若系統(tǒng)是因果的，則式可改寫為0 |h(t)dt M(2)對(duì)于因果系統(tǒng)，其穩(wěn)定性的 s域判決條件若系統(tǒng)函數(shù)H(s)的全部極點(diǎn)落于s左半平面，則該系統(tǒng)穩(wěn)定；若系統(tǒng)函數(shù)H(s)有極點(diǎn)落于s右半平面，或在虛軸上具有二階以上的極點(diǎn)，則該系統(tǒng)不穩(wěn)定

8、；若系統(tǒng)函數(shù)H(s)沒有極點(diǎn)落于s右半平面，但在虛軸上有一階極點(diǎn)，則 該系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。內(nèi)容摘要拉氏變換的和一.拉普拉斯I二.單邊拉氏變換逆變換的求法三.拉氏變換的四.廠五.系統(tǒng)函 一數(shù)例1求下列函數(shù)的拉氏變換ft tu t 1分析拉氏變換有單邊和雙邊拉氏變換，為了區(qū)別起見，本書以F s表示f t單邊 拉氏變換，以FB s表示f t雙邊拉氏變換。若文字中未作說明 ，則指單邊 拉氏變換。單邊拉氏變換只研究 t 0的時(shí)間函數(shù)，因此，它和傅里葉變換之 間有一些差異，例如在時(shí)移定理，微分定理和初值定理等方面。本例只討論 時(shí)移定理。請(qǐng)注意本例各函數(shù)間的差異和時(shí)移定理的正確應(yīng)用。解答F s L tu t 1

9、Lt 1 u t 1 u t 1求三角脈沖函數(shù)f(t)如圖4-2 (a)所示的象函數(shù)t0 t 1ft 2 t1 t 20其他分析 和傅里葉變換類似，求拉氏變換的時(shí)，往往要借助基本信號(hào)的拉氏變換和 拉氏變換的性質(zhì)，這比按拉氏變換的定義式積分簡(jiǎn)單，為比較起見，本例 用多種方法求解。解答方法一：按定義式求解方法二：利用線性疊加和時(shí)移性質(zhì)求解方法三：利用微分性質(zhì)求解方法四：利用卷積性質(zhì)求解1-e ss2e2s e方法一：按定義式求解F s 0 f testdt12st一stte dt 2 t e dt oii11 112j. 1st f tt0F s e st0 st- c sti i st1t -e

10、-e d t 2 e d t t e d ts 00s0122s2s22s 1s-e-e-e-2essss方法二：利用線性疊加和時(shí)移性質(zhì)求解由于f t tu t 2 t 1 u t 1 t 2 u t 21L tu t s于是方法三：利用微分性質(zhì)求解分析信號(hào)的波形僅由直線組成，信號(hào)導(dǎo)數(shù)的象函數(shù)容易求得，或者信號(hào)經(jīng)過幾次微分后出現(xiàn)原信號(hào)，這時(shí)利用微分性質(zhì)比較簡(jiǎn)單。將f t微分兩次，所得波形如圖 4-2 (b)所示。o2顯然,d2 ft dt2根據(jù)微分性質(zhì)sf 0,d2 f t dt2由圖4-2 (b)可以看出0,于是s2F方法四：利用卷積性質(zhì)求解f t可看作是圖4-2(c )所示的矩形脈沖f1

11、t自身的卷積f t fi t fi t于是,根據(jù)卷積性質(zhì)Fi s Fi sFi11 s所以圖 4-24-3 呻,f2,f3 t的象函數(shù)下面說明應(yīng)用微應(yīng)用微分性質(zhì)求圖fi t ,f2 t , f3t圖 4-3 底)圖 4-3 (a)解答1 fi t 3 t(3)(i)t t oo圖4-4 (b)說明(1)對(duì)于單邊拉氏變換，由于f1tf2 t u t，故二者的象函數(shù)相同，即F1s F2 s2雖然Fi s F2 s,但fi tf2 t ,因而L f1t L f2 t對(duì)于f1 t ,由于f1 00,故L f1 t sF s 0 3對(duì)于f2 t ,由于f2 02,故L f2 t sF s 2 13雖然f

12、 2 t和f3 t 一階導(dǎo)數(shù)相同，但 f2 02, f3 0 0,因此ttf2 t6xdx f2 06xdx22 020ttf3 t6xdx f3 06xdx3 030因而F2 s1F s6 tsF3 s1F6 ts3s1s這是應(yīng)用微分性質(zhì)應(yīng)特別注意的問題。由圖4-3 (b)知一 3L fi tsF s 0 3L f2 tsF s 2 1tf3 t 0 6 x d x則 Fi s3s一 3則 F2 s3s-111則 F3 s F6t-f3 0sss某線性時(shí)不變系統(tǒng)，在非零狀條件不變的情況下，三種不同的激勵(lì)信號(hào)作用于系統(tǒng)。當(dāng)輸入X1 t St時(shí)，系統(tǒng)的輸出為 y t t e t u t ;當(dāng)輸入

13、X2 t u t t時(shí)，系統(tǒng)的輸出為y2 t 3e t u t ;當(dāng)輸入X3 ty3 t為圖中所示的矩形脈沖時(shí)，求此時(shí)系統(tǒng)的輸出X3 t1 o 1 2 3 ty1 tyzi tyzs tyzi t h t% t yzi tyZs1) t yzi t h( 1) t y t g ty1ty2 t h t h( 1) t t 2e t1 2H s H s 1 5 s 1h t t e t u th ty2 tyzi ty1 tyzs t 2e t u t階躍響應(yīng)g t y2 tyzi t e t u tV3 t則yzi t g t 1 g t 3t 工t 12e u t e u t 14-5(a)

14、t例5電路如圖4-5 (a)所示(1)求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。(2)求系統(tǒng)的起始狀2 0、vC0使系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)等于沖激響應(yīng)。使系統(tǒng)對(duì)u t的激勵(lì)時(shí)的完(3)求系統(tǒng)的起始狀態(tài)，全響應(yīng)仍為u t解答(1)求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。系統(tǒng)沖激響應(yīng)h t與系統(tǒng)函數(shù)H s是一對(duì)拉氏變換的關(guān)系。對(duì) H s求逆變 換可求得ht ,這種方法比在時(shí)域求解微分方程簡(jiǎn)便。利用s域模型圖4-5 (b)可直寫出圖4-5 (a)電路的系統(tǒng)函數(shù)V。sE ssCsLsC1s2 2s 1s沖激響應(yīng)h t L 1 H s t e t u t(2)求系統(tǒng)的起始狀態(tài)為求得系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，應(yīng)寫出系統(tǒng)的微分方程或給出帶有初值的 s域模型。下面我們

15、用s域模型求解。圖4-5(a)電路的s域模型如圖4-5(b)。由圖由5(b)可以寫出V。sE s -vC 0siL 0 11 sss 2 vC 01一 Vc 0siL 0s2 2s 1s2 2s 1零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)上式中第二項(xiàng)只和系統(tǒng)起始狀態(tài)有關(guān)，因此該項(xiàng)是零輸入響應(yīng)的拉氏變換。依題意的要求，該項(xiàng)應(yīng)和 H s相等，從而得s 2 vc 0 iL 01故系統(tǒng)的起始狀態(tài)Vc 00iL 01說明通過本例可以看出，改變系統(tǒng)的起始狀態(tài)可以使系統(tǒng)的完全響應(yīng)滿足某些 特定要求。本質(zhì)上，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)完全由系統(tǒng)的起始狀態(tài)決定，對(duì)一 個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)而言，零輸入響應(yīng)是暫態(tài)響應(yīng)中的一部分，因此，改變系統(tǒng)的 起始狀態(tài)

16、只能改變系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)，使暫態(tài)響應(yīng)滿足某些特定要求， 例如,本例要求暫態(tài)響應(yīng)為零。(3)求系統(tǒng)的起始狀態(tài)當(dāng)激勵(lì)信號(hào)e t u t根據(jù)式1求得完全響應(yīng)1s s 2 vc 0 iL 0Vo sS2s 2s 1 s 2s 11 s 2 s 2 Vc 0 iL 0°2 2 2s s 2s 1 s 2s 1由該式容易看出，要使 完全響應(yīng)o t等于激勵(lì)信號(hào)u t ,有s 2 vc 0 iL 0 s 2 0從而求得系統(tǒng)的起始狀態(tài)Vc 01iL 00附錄A拉普拉斯變換及反變換1 .表A-1拉氏變換的基本性質(zhì)1線性定理齊次性Laf(t) aF(s)疊加性Lfi(t) f2 (t) Fi(s) F2(s

17、)2微分定理一形式LfMsF (s) f (0)dt 2Ld d 2(t) s2F (s) sf (0) f (0)L d_f_(t)_sn F (s)sn k f (k 1) (0)dt nk 1f (k 1)d k 1f (t) )dt k 1初始條件為0時(shí)Irdnf(t)1 n-、L ”+n s F(s) dt3積分定理一形式F(s) f(t)dtt 0L f(t)dts) ssL f(t)(dt)2萼f叫0 f(t)(dt)2t0sss共n個(gè)共n個(gè)Lf(t)(dt)nF(ns)n1kjf(t)(dt)nt 0sk 1 s初始條件為0時(shí)共n個(gè)nF(s)Lf(t)(dt)ns4延遲定理（或

18、稱t域平移定理）TsLf(t T)1(t T) eTsF(s)5衰減定理（或稱s域平移定理）Lf(t)eat F(s a)6終值定理lim f (t) lim sF(s) ts 07初值定理lim f (t) JmsF(s)8卷積定理ttL 0f1(t)f2()d L 0f1(t)f2(t)d Fi(s)F2(s)2 .表A-2常用函數(shù)的拉氏變換和 z變換表序拉氏變換時(shí)間函數(shù)e（t）Z變換E(z)號(hào)E(s)11Mt)121T(t)(t nT)n 0zdTs1 ez 131 s1(t)zz 141s2tTz(z 1)251S3-t2工_ 2T z(z 1) 2(z 1)361n 1 stnn!n

19、nlim O_n (_±) a 0 n! a z e71s aat ezaT z e81(s a)2.attet aTTze(z eaT)29as(s a)aat1 e(1 eaT)z(z 1)(z e aT)10b aatbte ezz(s a)(s b)aTbTz ez e1122ssin tzsin T z2 2zcos T 112s22scos tz( z cos T)2-.z 2zcos T 113/ 22(s a)ate sin taTze sin T2aT2aTz 2ze cos T e14s aat.e cos t2aTz ze cos T/22(s a)2caT_2aTz2zecos T e1t/Ts (1/T)lnaa153 .用查表法進(jìn)行拉氏反變換用查表法進(jìn)行拉氏反變換的關(guān)鍵在于將變換式進(jìn)行部分分式展開,后逐項(xiàng)查表進(jìn)行反變換。設(shè)F(s)是s的有理真分式F器bm ms bm 1nansanm 1 sn 1 sbis boa1s a0(n m)式中系數(shù) a0, a1，,an 1 ,a,bo,b1,數(shù)定理可將F(s)展開為部分分式。bm1,bm都是實(shí)常數(shù)；m,n是正整數(shù)。按代 分以下兩種情況討論。 A(s)0無重根這時(shí),