17函數(shù)的周期性與類周期問題

1、函數(shù)的周期性與類周期問題一、周期性的定義以及典型周期形式1 ,周期性的定義：存在一個非零常數(shù)T,對任意的X,恒有/(x + T) = /(x)成立，則函數(shù)/*)為周期函 數(shù)，7是函數(shù)的一個周期，則女丁也是周期，最小正周期：若丁是一個最小的正數(shù)，則7是函數(shù)的最小正周期。周期的關(guān)系式體現(xiàn)了函數(shù)的平移思想，可以從平移角度去理解。由于是平移關(guān)系的周期函數(shù)的關(guān)系中變 量X的系數(shù)為同號關(guān)系。(2) 種常見的函數(shù)周期形式：(默認。0)(1)f(x-a) = f(x),周期為7(3) f (x + a) = f (x-a),周期為7 = 2。(4) /(x + a) = -/(x),周期為7 = 2<4

2、) f(x + a) = !,或/(x + )/(x) = c(cWO),周期為7 = 2。fW<5)若 f (x) = f (x + i/)-/(x + 2a),則函數(shù)的周期T =典型例題1 .函數(shù)/(x)對任意x滿足條件/(x + 2) = /(x),若/(1) = 一5,則/(/)等于()11A.5 B.-5C.-D.- -552.函數(shù)/6)對任意x滿足條件/(x)/(x+2) = 13,若"1) = 2,則/(99)等于()A. 1 3B.2C.D.一2133. f(x)的定義域為R,滿足f(x + 1)=1-/U)1 + /(幻,若/(2) = 1,則/(2009)=

3、4函數(shù) /'(X)對任意 x 滿足條件/(x + 2) = /(x + l) /(x),若/(I) = lg3 lg2 , /(2) = lg3 + lg5 則/(2010)等于()A. 1B.-2 C.lg3-lg2 D.-15. (2009山東)等于在R上的函數(shù)/(幻=器!丁)賬3°2)/>0'則”2。9)等于()A. -1 B.O C.l D,2變式：若求/(2012)呢？()6. (2010 重慶)己知函數(shù)/'(x)滿足4/(x)/(y) = /(x+v) + /(x-y)且/(1) = 1,則/(2010)=4二、對稱性，奇偶性，周期性的幾個關(guān)

4、系：1 .對稱性的兩種形式：(1)若函數(shù)/(X)關(guān)于x=“對稱，則滿足/(+x)=/mx),等價形式：/(x)=/(2«x)或J-x) = f(2a + x),(2)若函數(shù)/(x)關(guān)于(a,0)對稱，則滿足/m + x) = /'一外，等價形式：f(x') = -f(2a-x)f(-x) = -f (2a+x),或/(x) + /(2a-x) = 0推廣：函數(shù)/(x)關(guān)于(4,)對稱，則/(x) + /(2-x) = 2Z?。2 .對稱性與周期性的關(guān)系：知識點：(1)若/")關(guān)于x ="和x = Z?都對稱，(設(shè) >b),函數(shù)是周期函數(shù)，T

5、= 2(a-b),(2)若f(x)關(guān)于點(a,0)和點SQ)都對稱,(設(shè)。>)，函數(shù)是周期函數(shù),T = 2(a-b),(3)若/")關(guān)于點(a,0)和直線x = h都對稱，(設(shè)。>匕)，函數(shù)是周期函數(shù)，T = 4(a-b)3 .奇偶性，對稱性與周期的關(guān)系知識點：(1)奇函數(shù)/(X)關(guān)于x = "對稱，則周期T=(2)偶函數(shù)fx關(guān)于x = "對稱，貝惆期T=(3)奇函數(shù)/(X)關(guān)于點(a,0)對稱，則周期T=<4)偶函數(shù)/(X)關(guān)于點(4,0)對稱，則周期T=典型例題：例1 (2009全國)/(X)的定義域為R,若/(x+1)與/(x-1)都是奇函

6、數(shù)，則()A. /3)是偶函數(shù)B./(x)是奇函數(shù)C.f(x) = Jx + 2) D. /(x + 3)是奇函數(shù)2 . (2018全國)已知函數(shù)/*)是定義域為(-8,+ s)上的奇函數(shù)，滿足/(l x) = /(x + l),若/(1) = 2,則/(1) + /(2) + /(3) +/(50)=()A. -50 B. 0C.2 D. 503 .若偶函數(shù)/(x)滿足/(x-l) = /(x+1)，且在xeO,l時力=/,則關(guān)于x的方程/0) = (5)、在 0,山上根的個數(shù)是().A.l B.2 C.3 D.4 解:因為/(X -1) = f(x +1)得f(x + 2) = /(X)，

7、即函數(shù)的周期T=2,畫出xG0,l上的圖像，然后將它關(guān)于y軸對稱，這樣就得到了 f(x)在卜1,1上的圖像結(jié)合函數(shù)的周期性作出函數(shù)/(x)和y = ()A的圖象，由圖象知有3個交點。練習(xí)1.函數(shù)/'(X)是定義域為(-s, + s)上的函數(shù)，滿足/(10+x) = /(10-x),且/(20+x) = -/(20-x),則/(X)()A.周期為20的奇函數(shù)B.周期為20的偶函數(shù)C.周期為40的奇函數(shù)D.周期為40的偶函數(shù)4 .函數(shù)/(%)是定義域為R上的奇函數(shù)，且y = f(x + )為偶函數(shù)，則 2/+ /(2) + /(3) + /(4) + /(5) + /(6)=()A.4 B

8、.3 C.O D.2三、類周期函數(shù)類周期函數(shù)的定義：若/(X)滿足/(工)=燈'(_¥ + 2)或/*) = /* + 2) +攵或/(x) = A/(2x)這樣的形 式，我們稱之為類周期函數(shù)，將2換成m,得類周期的一般形式。另外一種形式為 /* + 2) = kf(x)或 f(2x) = kf(x)結(jié)論總結(jié)：(1)若/(X)滿足/(x)= /'(x + 2) + J則只需在向右平移(每次平移2個單位)的過程中，縱坐 標向下平移k個單似k>0)或向上平移|k|個單位(k<0),在向左平移(每次平移2個單位)的過程中，縱坐標向 上平移k個單位(k>0)

9、或向下平移k個單位(k<0).1若f(x)滿足f(x)=kf(2x),則只需橫坐標每次縮短為原來的，的過程中，縱坐標變?yōu)樵瓉淼膋倍飛1在橫坐標每次伸長2倍的過程中，縱坐標變?yōu)樵瓉淼亩?注如果不能熟練應(yīng)用類周期來作圖的，為了保險起見，可以取一些特殊值來驗證，確保作圖的正確性。例， (2019羅莊高一期中)設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為尺，滿足/(x + l) = 2/(x),且當(dāng)xe(O,l時，/(x) = x(x-l)，當(dāng)* e(2, 3時，函數(shù) f(X)的值域是()A.B,-1,OC,-1,OD.(-oo,0 例2. (2011四川改編)已知定義在0,+s)上的函數(shù)/(x)滿足/(x) =

10、3/(x + 2)當(dāng)xe0,2)時, /(x) = /+2x,設(shè)在2-2,2)上的最大值為(/?£“)，則出5 . (2019 全國)設(shè)函數(shù)/(X)滿足/(x + l) = 2/(x),且當(dāng) X£(O,1時，/(x) = x(x l),若對任意Qxe(-oo, m,都有/'")之-一，則實數(shù)m的取值范圍是()“91/7,51,8】Ax -oo,B.( -oo,l C.(-s,D.( -oo,-43236 . (2019汕頭一模)設(shè)函數(shù)/")是定義在上的(-s，0)=(0，+ s)偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時，(2,vl,-L0<x<2fW = <1_>2,則函數(shù)對任意g(x)= 2/(x) l的零點個數(shù)()A.2 B.44C.6D.87 .已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且+乃)=2£(X)，當(dāng)x£0, n)時，f(x) = sin x .若存在xoG (-00, m,使得f(x0) > 4有，則m的取值范圍為既為R, Hf (x-G -2f (x) r當(dāng)阻0, k)時，f (x) -3iac.若存在與e (8,孫使得f的)巴反Rim的取值范11為粵,一| .練習(xí)L設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,對任意的實數(shù)俎R,都有/(x