2020屆高考數(shù)學(xué)專題十四外接球精準(zhǔn)培優(yōu)專練(理)

1、培優(yōu)點(diǎn)十四外接球“ 一、墻角模型例1：已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個(gè)球的表面積是A. 16 幾【答案】CB. 20 幾C. 24 幾D. 32 幾a2h 16, a 2, 4R2 a2 a2 h2 4 4 16 24 , S 24 7t.，二、對(duì)棱相等模型7,則該三棱錐例2：如下圖所示三棱錐 A BCD ,其中AB CD 5, AC BD 6, AD BC 外接球的表面積為.【答案】55幾36 49 110【解析】對(duì)棱相等，補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，如圖，設(shè)長(zhǎng)寬高分別為a,b,c, 2(a2 b2 c2) 25 a2 b2 c2 55, 4R2 55, S 55 7t.，三

2、、漢堡模型例3: 一個(gè)正六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上, 9且該六棱柱的體積為-，底面周長(zhǎng)為3,則這個(gè)球的體積為.8【解析】設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為 a ,正六棱柱的高為 h ,底面外接圓的半徑為 r,則a ,正六棱柱的底面積為S 6（）2 3A2428則 V Sh 3、h , . . h 33, 884R2 12 (V3)2 4,也可 R2 ()2 (-)2 1, R 1,22設(shè)球的體積為V ,則V，四、切瓜模型V2 ,各頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球體積為.例4：正四棱錐S ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為【解析】方法一：找球心的位置，易知 r 1 , h

3、 1故球心在正方形的中心 ABCD處，R 1, V方法二：大圓是軸截面所截的外接圓，即大圓是 SAC的外接圓，此處特殊，Rt SAC的斜邊是球半徑，2 R4兀2, R 1, V3五、垂面模型例5: 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）A. 3 nB. 2兀C. D.以上都不對(duì)3【答案】C【解析】 法：（勾股定理）利用球心的位置求球半徑，球心在圓錐的高線上，（J3 R）2 1 R2, R 多，S 4近2 16 冗.V33法二：（大圓法求外接球直徑）如圖，球心在圓錐的高線上，故圓錐的軸截面三角形 PMN的外接圓是大圓，于是 2R 2sin 604-下略.,3六、折疊模型例6：

4、三棱錐P ABC中，平面PAB則三棱錐P ABC外接球的半徑為.咯案1一【解析】如圖，2r12r22sin 60R2 02 H22r15一，R 3法二：02HR2 AO22AH201H20102平面ABCr1也 PAB和4ABC均為邊長(zhǎng)為2的正三角形,2 而02H.153AH153二k 七、兩直角三角形拼接在一起例7：在矩形ABCD中，AB 4, BC3,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角 B AC D ,則四面體ABCD的外接球的體積為（）125A. 12125B.冗9c 125C.九6125D.冗35【解析】2R AC 5, R V2tR34 125一九38125 7t,故選C.6對(duì)點(diǎn)增

5、分集訓(xùn)、選擇題1.已知底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為 J2的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的體積為（）B. 4九C. 2九D.4兀33根據(jù)正四棱柱的幾何特征得：該球的直徑為正四棱柱的體對(duì)角線,故2R12 1272 22,即得R 1 ,所以該球的體積2.已知三棱錐SABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且 SA 2SB SC4 ,則該三棱錐的外接球的半徑為（）A. 3B. 6C. 36D.【解析】因?yàn)槿忮FS ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直,3 42 423所以該三棱錐的外接球就是以三棱錐S ABC的三條側(cè)棱為棱的長(zhǎng)方體的外接球,長(zhǎng)方體的外接球的直徑等于長(zhǎng)方體對(duì)角線；所以外接球的半徑為3 .在半徑為1的球面上有不

6、共面的四個(gè)點(diǎn) A, B , C , D且AB CD x , BC DA y, CA BD z ,則 x2y22 ,z等于（）【答案】C【解析】如圖，構(gòu)造長(zhǎng)方體，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為a, b, c,則a2 b2 c2 22 9. 99999999999999根據(jù)題息 ab x,b c y,a c z,則 x y z 2(a b c)8.4,C4.正四面體的棱長(zhǎng)為 476 ,頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A. 36 兀B. 72 兀C. 144 7tD. 288 7t【答案】C2【解析】正四面體底面三角形的外接圓的半徑r - 4J6 sin - 4V2 ,3 3正四棱錐頂點(diǎn)到底面的

7、距離為h &4廚 (4揚(yáng)2 8,設(shè)正四棱錐的外接球的半徑為R,則有R2 r2 (h R)2,即 R2 (4&)2 (8 R)2,解得 R 6.則所求球的表面積為 S 4 tR2 144 7t.5.一直三棱柱的每條棱長(zhǎng)都是3,且每個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，則球。的半徑為()A. B.6C. . 7D. 333【解析】 球。的半徑滿足直三棱柱底面三角形外接圓半徑r 九sin 一3R2 （3）2 （、.3）2216 .已知直三棱柱 ABC A1BC1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，若AB3, AC 4 , AB AC , AA1 12,則球O的半徑為（）A. 3 17B. 2. 10C.

8、3. 102D.132【解析】 可判斷球心應(yīng)在連接上下直角三角形斜邊中點(diǎn)的線段的中點(diǎn),那么半徑，就是R , (5)2621327.已知三棱錐D ABC中，ABBC 1 , AD 2, BD J5, AC J2 , BC AD ,則三棱錐的外接球的表面積為()B. 6九C.D. 8九【解析】如圖所示，由已知,BCAD , AB BC , . BC 面 ABD ,BC BD ,CD2 JBC2 BD2 66 , AD2 AC2 CD2 ,AD AC ,取CD的中點(diǎn)O ,由直角三角形的性質(zhì),D的距離均為其即為三棱錐的外接球球心，故三棱錐的外接球的表面積為8.在三棱錐 A BCD中， ABC與 BCD

9、都是邊長(zhǎng)為6的正三角形，平面 ABC 平面BCD ,則該三棱錐的外接球的體積為（）A. 5質(zhì)冗B. 60兀C. 60J5冗D. 20匹冗【答案】D【解析】取BC的中點(diǎn)為M , E, F分別是正三角形 ABC和正三角形BCD的中心，O是該三棱錐外接球的球心，連接 AM , DM , OF , OE , OM , OB ,則 E , F 分別在 AM , DM 上，OF 平面 BCD , OE 平面 ABC , OM BC , AM BC , DM BC ,所以 AMD為二面角A BC D的平面角，因?yàn)槠矫鍭BC 平面BCD ,所以AM DM ,1 一又 AM DM 3小，所以 EM FM - A

10、M 33, 3所以四邊形OEMF為正方形,所以O(shè)M J6,在直角三角形 OMB中，球半徑OB JOM_Bm7響2 32 血5,所以外接球的體積為 V4y在5)320，57t.9.在矩形ABCD中，AC 2 ,現(xiàn)將4ABC沿對(duì)角線 AC折起，使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)B的位置，得到三棱錐B ACD ,則三棱錐B ACD的外接球的表面積為（）A. nB. 2 九C. 4兀D.大小與點(diǎn)B的位置有關(guān)【答案】C【解析】由題意，AC的中點(diǎn)為三棱錐 B ACD的外接球的球心， AC 2,，球的半徑為1,，三棱錐B ACD的外接球的表面積為 S 4 7t.二、填空題10.已知正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，且該棱錐的高為4,

11、底面邊長(zhǎng)為2衣，則該球的體積為.【答案】6【解析】如圖所示，正四棱錐 P ABCD的外接球的球心O在它白高PO上，設(shè)球的半徑為 R ,底面邊長(zhǎng)為2 J2 ,所以AC 4 ,在 RtzXAOO 中，OA2 OO2 OA2,即 R2 4 R 2 22 ,所以R 5,所以球的體積V 4 tR3 1255 .23611 .如果三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，它們的面積分別為6、4、3 ,那么它的外接球的表面積是.【答案】29幾【解析】由已知得三條側(cè)棱兩兩垂直，設(shè)三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為a,b,c(a,b,c R),ab 12貝 U bc 8 , abc 24, a 3, b 4, c 2, (2r)2 a2 b2

12、C 29,ac 62S 4tR229 7t.12 .在三棱錐 A BCD中，AB CD 2 , AD BC 3 , AC BD 4 ,則三棱錐 A BCD外接球的表面積為.29【答案】29幾 2【解析】設(shè)補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，三個(gè)長(zhǎng)度為三對(duì)面的對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)長(zhǎng)寬高分別為a,b,c,則a2b29,b2c2 4,c2a216, . 2(a2b2c2)9 4 16 29,2,22abc29,4R2 3 s 2913.在直三棱柱 ABC ABG中，AB 4, AC一 九 6, A ，AA 4,則直三棱柱 ABC AB1C1的3外接球的表面積為.【答案】160九3【解析】2BC2 163628, BC 277,。2.7 472r ,33222、，7r .3R2 r2/A、2 堂2840萬(wàn)14.已知三棱錐ABC的所有頂點(diǎn)都在球 O的球面上,ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,SC為球O的直徑，且SC則此棱錐的體積為.,26OO1R2 r21（33）215.在直角梯形ABCD 中，AD/BC,A 90C 45 , ABAD 1,沿對(duì)角線BD折成四面使平面ABD 平面BCD ,若四面體A BCD的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為.【答案】4冗【解析】如圖，易知球心在 BC的中點(diǎn)。處，J =4n