(完整版)高等數(shù)學工專講義

1、接下來我們就開始學習高等數(shù)學了，也許在學習的過程中我們會感到枯燥無味，但是我相信只要我們努力，我們一定能達到成功的彼岸。常量與變量變量的定義我們在觀察某一現(xiàn)象的過程時，常常會遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化，我們把其稱之為 常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我 們則把其稱之為變量。注：在過程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對于所研究的對象是極其微小的，我們則把它看作常量。變量的表示如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間來表示其變化范圍。在數(shù)軸上來說，區(qū)間是指介于某兩點之間的線段上點的全體。區(qū)間的名 稱區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號區(qū)間在數(shù)軸上的表示閉區(qū)間a

2、<x< ba , b1Ja!>z開區(qū)間a<x< b(a, b)A!>4b x1卜開區(qū)間a<x<b 或 a<x< b(a, b或a , b)AL.NJ)T & W以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無限區(qū)間：a , +00)：表示不小于 a的實數(shù)的全體，也可記為：a<x<+8；(-8, b)：表示小于b的實數(shù)的全體，也可記為：-°°< x< b；(-+00)：表示全體實數(shù)，也可記為：-OO<X<+°°注：其中-8和+8,分別讀作“負無窮大"

3、;和"正無窮大",它們不是數(shù)，僅僅是記號。鄰域設a與6是兩個實數(shù)，且6 > 0.滿足不等式x - a | < S的實數(shù)X的全體稱為點 a 的5鄰域，點a稱為此鄰域的中心，S 稱為此鄰域的半徑。函數(shù)函數(shù)的定義如果當變量X在其變化范圍內(nèi)任意取定一個數(shù)值時，量y按照一定的法則總有確定的數(shù)值與它對應，則稱 y是x的函數(shù)。變量x的變化范圍叫做這個 函數(shù)的定義域。通常x 叫做自變量，y叫做因變量。注：為了表明y是x的函數(shù)，我們用記號y=f(x) 、y=F(x)等等來表示.這里的字母"f"、 "F"表示y與x之間的對應法則即 函數(shù)關系，

4、它們是可以任意采用不同的字母來表示的.注：如果自變量在定義域內(nèi)任取一個確定的值時，函數(shù)只有一個確定的值和它對應， 這種函數(shù)叫做 單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。這里我們只討論單值函數(shù)。函數(shù)的表示a）：解析法：用數(shù)學式子表示自變量和因變量之間的對應關系的方法即是解析法。例：直角坐標系中，半徑為 r、圓心在原點的圓的方程是：x2+y2=r2b）：表格法：將一系列的自變量值與對應的函數(shù)值列成表來表示函數(shù)關系的方法即是表 格法。例：在實際應用中，我們經(jīng)常會用到的平方表，三角函數(shù)表等都是用表格法表示的函數(shù)。c）:圖示法：用坐標平面上曲線來表示函數(shù)的方法即是圖示法。一般用橫坐標表示自 變量，縱坐標表示因變量。

5、例：直角坐標系中，半徑為 r、圓心在原點的圓用圖示法表示為：函數(shù)的簡單性態(tài)函數(shù)的有界性如果對屬于某一區(qū)間 I的所有x值總有1 f（x） <M成立，其中M是一個與x無關的常數(shù)，那么我們就稱 f（x）在區(qū)間I有界，否則便稱無界。注意：一個函數(shù)，如果在其整個定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù)例題：函數(shù)cosx在（-400）內(nèi)是有界的.函數(shù)的單調(diào)性如果函數(shù)/（工）在區(qū)間（a,b）內(nèi)隨著x增大而增大，即：對于 （a,b）內(nèi)任意兩點xi及 x2,當xi<x2時，有 式“ <3） ,則稱函數(shù) 了（五）在區(qū)間（a,b）內(nèi)是單調(diào)增加 的。如果函數(shù)/（工）在區(qū)間（a,b）內(nèi)隨著x增大而減小，即：對于

6、（a,b）內(nèi)任意兩點xi及x2,當xi<x2時，有了。）八心）,則稱函數(shù),C）在區(qū)間（a,b）內(nèi)是單調(diào)減小 的。例題：函數(shù)/W =x2在區(qū)間（-8,0）上是單調(diào)減小的，在區(qū)間（0,+ 8）上是單調(diào)增加的。函數(shù)的奇偶性如果函數(shù)/ W對于定義域內(nèi)的任意 x都滿足/（-x）JW,則/（1）叫做偶函數(shù)；如果函數(shù)J（工）對于定義域內(nèi)的任意 x都滿足，則J（X）叫做奇函數(shù)。注意：偶函數(shù)的圖形關于 y軸對稱，奇函數(shù)的圖形關于原點對稱。函數(shù)的周期性對于函數(shù)/（工），若存在一個不為零的數(shù) l ,使得關系式 舊）二網(wǎng)對于定義域內(nèi)任何 x值都成立，則/1工）叫做周期函數(shù)，l是人工）的周期。注：我們說的周期函數(shù)

7、的周期是指最小正周期。例題：函數(shù)SHI冗COS工是以2為周期的周期函數(shù)；函數(shù)tanx是以 為周期的周期函數(shù)。 反函數(shù)反函數(shù)的定義設有函數(shù)二/W ,若變量y在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值 y0時，變量x在函數(shù)的定義域內(nèi)必有一值xo與之對應，即 /（工。）二了。，那末變量x是變量y的函數(shù).這個函數(shù)用工二機y）來表示，稱為函數(shù) y=fM的反函數(shù).注：由此定義可知，函數(shù) 二/）也是函數(shù)彳=的反函數(shù)。反函數(shù)的存在定理若二丁在（a, b）上嚴格增（減），其值域為 R,則它的反函數(shù)必然在R上確定，且嚴格增（減）.注：嚴格增（減）即是單調(diào)增（減）要求x>0,則對y>0> x二J±例題：y=

8、x2,其定義域為（-oo,+ 00） 5值域為0,+ oo）.對于 y取定的非負值，可求得 x=± ”6 .若我們不加條件，由y的值就不能唯一確定 x的值，也就是在區(qū)間（-8,+ 8）上，函數(shù)不是嚴格增（減），故其沒有反函數(shù)。如果我們加上條件,就是y=x2在要求x>0時的反函數(shù)。即是：函數(shù)在此要求下嚴格增（減）.反函數(shù)的性質(zhì)在同一坐標平面內(nèi)，/與、二嗆） 的圖形是關于直線 y=x對稱的。例題：函數(shù)/二2與函數(shù)了二log a工互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標系 中是關于直線y=x對稱的。如右圖所示：復合函數(shù)的定義若y是u的函數(shù)：>二，而u又是x的函數(shù)：乳二次工）,且甲

9、的函數(shù)值的 全部或部分在 了（“）的定義域內(nèi)，那末，y通過u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，我們稱后一個函 數(shù)是由函數(shù)/及口 二歹復合而成的函數(shù)，簡稱復合函數(shù)，記作 y=力0（刈， 其中u叫做中間變量。注：并不是任意兩個函數(shù)就能復合；復合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。例題：函數(shù)J 二比腎譏"與函數(shù)u = 2 + x是不能復合成一個函數(shù)的。因為對于 我二2 +1的定義域（-8,+8）中的任何x值所對應的u值（都大于或等于 2）,11使j二arcs譏u都沒有定義。初等函數(shù)基本初等函數(shù)我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、募函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來把它們總結(jié)一下:

10、初等函數(shù)由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算及有限次的函數(shù)復合所產(chǎn)生并且能用 一個解析式表出的函數(shù)稱為 初等函數(shù).例題：y-泮+咽/4"+3 + sm 8x）是初等函數(shù)。我們再來學習一下工程技術中常用的函數(shù)一一雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)在應用中我們經(jīng)常遇到的雙曲函數(shù)是：（用表格來描述）函數(shù)的表達式函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)a)其定義域雙曲 正弦雙曲 余弦雙曲 正切2為：(-oo,+ oo)；b）:是奇函數(shù);c）：在定義域內(nèi)是單調(diào)a)其定義域為：(-oo,+ oo)；b）:是偶函數(shù);c）：其圖像過點（0,1）;a)其定義域為：(-oo,+ oo)；b）:是奇函數(shù);c

11、）：其圖形夾在水平直線y=1及y=-1之間;在定域內(nèi)單調(diào)增;我們再來看一下雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的區(qū)別:雙曲函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)血二= L 偽。=。sin 0 = 0BcosO= lAtanO = 0shx與thx是奇函數(shù)，chx是偶函數(shù)sinx 與 tanx 是奇函數(shù)， cosx 是偶函 數(shù)ch x-sh x = lsin x + cos x = 1卜們都不是周期函數(shù)n都是周期函數(shù)雙曲函數(shù)也有和差公式:sh(x±y) = shxchy±chxshy ch(x ±y) = chxchy+shxshy“，、th±tkyth(x±y)= ;1 &#

12、177;ihxlhy反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù)a）:反雙曲正弦函數(shù)b）:反雙曲余弦函數(shù)c）:反雙曲正切函數(shù)arshx = ln(i + J/ +1)其定義域為：1,+ 8）；,1. 1 +Jarthx = In2 l-i其定義域為：（-°°,+ °°）；其定義域為：（-i,+i）數(shù)列的極限我們先來回憶一下初等數(shù)學中學習的數(shù)列的概念。數(shù)列若按照一定的法則，有第一個數(shù)ai,第二個數(shù)a2,，依次排列下去，使得任何一個正整數(shù)n對應著一個確定的數(shù) an,那末，我們稱這列有次序的數(shù)ai, a2,，an,為數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做 數(shù)列的項。第n項an

13、叫做數(shù)列的 一般項或通項.注：我們也可以把數(shù)列 an看作自變量為正整數(shù) n的函數(shù)，即：an f（n）,它的定義域是 全體正整數(shù)極限極限的概念是求實際問題的精確解答而產(chǎn)生的。例：我們可通過作圓的內(nèi)接正多邊形，近似求出圓的面積。設有一圓，首先作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為Ai;再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A2；再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A3；依次循下去（一般把內(nèi)接正 6X2 n-1邊形的面積記為 A）可得一系列內(nèi)接正多邊形的面 積：Ai, A, A,，An,，它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列。我們可以發(fā)現(xiàn)，當內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時， An也無限接近某一確定的數(shù)值（圓 的面積），這個確

14、定的數(shù)值在數(shù)學上被稱為數(shù)列 A, A2, A3,，An, 當n-8（讀彳n趨近于 無窮大）的極限注：上面這個例子就是我國古代數(shù)學家劉徽（公元三世紀）的割圓術。數(shù)列的極限T T 111 T >i> 11一般地，對于數(shù)列 “卜»，肉，來說，若存在任意給定的正數(shù)（不論其多么?。偞鎟y在正整數(shù)N,使得對于n>N時的一切 耳不等式xn a都成立，那末就稱常數(shù) a是數(shù)列的T極限，或者稱數(shù)列 M收斂于a .記作：蚣或乙1儀"阿注：此定義中的正數(shù)只有任意給定，不等式 xn a才能表達出 與a無限接近的意思。且定義中的正整數(shù) N與任意給定的正數(shù)是有關的，它是隨著的給定而

15、選定的。注：在此我們可能不易理解這個概念，下面我們再給出它的一個幾何解釋，以使我們能理解 它。數(shù)列 仆極限為a的一個幾何解釋：T T 111 T 111將常數(shù)a及數(shù)列在數(shù)軸上用它們的對應點表示出來，再在數(shù)軸上作點 a的鄰域即開區(qū)間（a- £, a+C,如下圖所示：2c*3"二：三二；>紫£一尚 乂忖+1*N+3整+2 *2 x3 x因不等式xn a與不等式+ E等價，故當n>N時，所有的點 可都落在開區(qū)間（a-, a+ ）內(nèi)，而只有有限個（至多只有N個）在此區(qū)間以外。注：至于如何求數(shù)列的極限，我們在以后會學習到，這里我們不作討論。數(shù)列的有界性YTYV對

16、于數(shù)列 勺，若存在著正數(shù) M使得一切 耳都滿足不等式I 勺 <M則稱數(shù)列 勺是有界的，Y若正數(shù)M不存在，則可說數(shù)列是無界的。rr定理：若數(shù)列 /收斂，那末數(shù)列 耳一定有界。注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。例：數(shù)列 1 , -1 , 1, -1 ,，（-1） n+1,是有界的，但它是發(fā)散的。函數(shù)的極限前面我們學習了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取1-8內(nèi)的正整數(shù)，若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來 學習函數(shù)的極限.函數(shù)的極值有兩種情況：a）：自變量無限增大；b）：自變量無限接近某一定點X0

17、,如果在這時，函數(shù)值無限接近于某一常數(shù)A,就叫做函數(shù)存在極值。我們已知道函數(shù)的極值的情況，那么函數(shù)的極限如何呢下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來學習一下函數(shù)極限的概念函數(shù)的極限（分兩種情況）a）：自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限定義：設函數(shù)y ,若對于任意給定的正數(shù)£（不論其多么?。?，總存在著正數(shù)x,使得對于適合不等式的一切x,所對應的函數(shù)值/（1）都滿足不等式那末常數(shù)A就叫做函數(shù)當x-8時的極限，記作:lim f(x) = A XT JF面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對比一下:數(shù)列的極限的定義存在數(shù)列的與常數(shù)A任給一正數(shù) £ > 0總可找到一正整數(shù) N對于n>N的所

18、有 4都滿足% 'I < e則稱數(shù)列 勺當X-8時收斂于 Alim（3 =記：MT0函數(shù)的極限的定義存在函數(shù) yn通與常數(shù)A任給一正數(shù) £ > 0總可找到一正數(shù)X對于適合卜戶，的一切x都滿足'''''函數(shù)y=/ （工）當X8時的極限為a血一記：二:從上表我們發(fā)現(xiàn)了什么？ ？試思考之b）：自變量趨向有限值時函數(shù)的極限我們先來看一個例子例:,當 x-1時函數(shù)值的變化趨勢如何?函數(shù)在x=1處無定義.我們知道對實數(shù)來講，在數(shù)軸上任何一個有限的范圍內(nèi),都有無窮多個點，為此我們把x-1時函數(shù)值的變化趨勢用表列出，如下圖：一01ggl19

19、g1，1券。1 .9 Tgs 1,999I2I2.001 201 2.1就與2從中我們可以看出 x-1時，/（工）-2.而且只要x與1有多接近，/uO有多接近.或說：只要J與2只差一個微量£ ,就一定可以找到一個S ,當工- 1 < 6時滿足|/W-2|<5定義：設函數(shù)/(1)在某點X0的某個去心鄰域內(nèi)有定義，且存在數(shù)A,如果對任意給定的lim /(r) =A,記：:二(不論其多么小)，總存在正數(shù) 6,當0Vx一看 < 6時， 阿-優(yōu)則稱函數(shù)/W 當X-X 0時存在極限，且極限為注：在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢？這是因為我彳門只討論 X-X0的過程，與X=X0出的

20、情況無關。此定義的核心問題 是：對給出的 ，是否存在正數(shù) 6,使其在去心鄰域內(nèi)的 X均 滿足不等式。有些時候，我們要用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為A ,其證明方法是怎樣的呢 ？a):先任取 >0;b)：寫出不等式c)：解不等式能否得出去心鄰域0< X若能;d):則對于任給的>0,總能找出加)成立,下面我們來學習函數(shù)極限的運算法則和函數(shù)極限的存在準則函數(shù)極限的運算規(guī)則前面已經(jīng)學習了數(shù)列極限的運算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極 限的運算規(guī)則與數(shù)列極限的運算規(guī)則相似。函數(shù)極限的運算規(guī)則知 *-乂。(或*-8)時， ”一工一.向(/(x)±g(x) =

21、A±B貝u ： , lim /(x) g(x)=A跖11m 也=0)E口Blim k /(彳) - kA,(此為常數(shù))推論：'加=優(yōu)(那為正整數(shù))XT/在求函數(shù)的極限時，利用上述規(guī)則就可把一個復雜的函數(shù)化為若干個簡單的函數(shù)來求極限。lim例題：求I1+工一14/ + / -i+3解答:r 3/+x-1Irni -55-x + 3lim 3x2 +lnn x-lim 1*->i ifilim Ay? +lim x1 - lim x + lim 3ktIit1 *Tl XT3+1-14+1 1 + 3例題:lim求一+27?+5?-3此題如果像上題那樣求解，則會發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的

22、極限不存在.我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的分子和分母都沒有極限，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。42, 3?-4?+2 , ”展 + / 3lim 彳=lim -4-=-7x +5-3+7解答：.一注：通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當分式的分子和分母都沒有極限時就不能運用商的極限的運算規(guī)則了，應先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運用規(guī)則求函數(shù)極限的存在準則學習函數(shù)極限的存在準則之前，我們先來學習一下左、右的概念。我們先來看一個例子：例：符號函數(shù)為二"sgn =0,工=0l,x>0la對于這個分段函數(shù)，x從左趨于0和從右趨于0時函數(shù)極限是不相同的.為此我們定義了左、右極

23、限的概念。定義：如果x僅從左側(cè)（x <Xo）趨近X0時，函數(shù)/（工）與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)/ W-血 /W = A當人一7 %時的左極限.記：如果x僅從右側(cè)（x >Xo）趨近Xo時，函數(shù)J W與常量A無限接近，則稱 A為函數(shù)J I町當* 丁 Aq時的右極限.記：舊歷注：只有當xfXo時，函數(shù) f （1）的左、右極限存在且相等，方稱在x-Xo時有極限函數(shù)極限的存在準則準則一：對于點xo的某一鄰域內(nèi)的一切 x, xo點本身可以除外（或絕對值大于某一正數(shù)的-切x)有喇工J(x),且手7lim 用力=A lim /(x)KT茹,那末才T砧 存在,且等于A。注：此準則也就是夾逼準則準

24、則二：單調(diào)有界的函數(shù)必有極限 .注：有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界兩個重要的極限lim (1+-)1 =g一：x注：其中e為無理數(shù)，它的值為： e=2.718281828459045.sin x rlim= 1二：1 1'二注：在此我們對這兩個重要極限不加以證明注：我們要牢記這兩個重要極限，在今后的解題中會經(jīng)常用到它們例題：求# 工公二解答：令2 ,則x=-2t ,因為X-oo,故 too,則111+= (1 + W =注：解此類型的題時，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象X-8時，若用t代換 1/X ,則 tf0.無窮大量和無窮小量無窮大量我們先來看一個例子：已知函數(shù)"

25、9; 工，當X-o時，可知力用 T8 ,我們把這種情況稱為 /趨 向無窮大。為此我們可定義如下:設有函數(shù)y=J'),在x=xo的去心鄰域內(nèi)有定義，對于任意給定的正數(shù)N 一個任意大的數(shù))，總可找到正數(shù)s，當°卜一 /K 5時，【'卜我成立，則稱函數(shù)當L可lim fix) = oo時為無窮大量。記為：噩T%(表示為無窮大量，實際它是沒有極限的)同樣我們可以給出當 X-8時，J無限趨大的定義：設有函數(shù)丫=/0)，當*充分大時有定義，對于任意給定的正數(shù) N(一個任意大的數(shù)),總可以找到正數(shù) m,當卜P'L時，亦N成立，則稱函數(shù)當 X-8時是無窮大量，記血,00為：,

26、_無窮小量以零為極限的變量稱為無窮小量。定義：設有函數(shù)/（I）,對于任意給定的正數(shù) £ （不論它多么小），總存在正數(shù) 6（或 正數(shù)M ,使得對于適合不等式°k一5 （或卜版）的一切X,所對應的函數(shù)值滿足不等式|人工）花£,則稱函數(shù)/當，（或X-8）時為無窮小量.lim /（x） = 0= O記作：才T*.（或）注意：無窮大量與無窮小量都是一個變化不定的量，不是常量，只有 0可作為無窮小量的 唯一常量。無窮大量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0.無窮大量與無窮小量是互為倒數(shù)關系的關于無窮小量的兩個定理定理一：如果函數(shù) /（1）在 小 （或

27、 Xfoo）時有極限 A,則差/T二歌） 是 當'T M （或X-8）時的無窮小量，反之亦成立。定理二：無窮小量的有利運算定理a）:有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量； b）:有限個無窮小量的積仍是無窮小量； c）：常數(shù)與無窮小量的積也是無窮小量.無窮小量的比較通過前面的學習我們已經(jīng)知道，兩個無窮小量的和、差及乘積仍舊是無窮小.那么兩個無窮小量的商會是怎樣的呢？好！接下來我們就來解決這個問題，這就是我們要學的兩個無窮小量的比較。定義：設a , 0a）: 窮??；b）:c）:B等價）lim-例：因為窕都是八'“。時的無窮小量，且 B在X0的去心領域內(nèi)不為零,h - = 0如果0 6

28、,則稱a是0的高階無窮小或0是a如果如果。一 6 a 一 6hEllnlF -和 rnu 貝3 ,所以當X-0時,的低階無則稱a和0是同階無窮?。籥和B是等價無窮小，記作：as0x與3x是同階無窮小;lim = 0因為3x ,所以當X-0時，X2是3x的高階無窮??；.sin x .lim = 1因為用 工 ，所以當x-0時，sinx與x是等價無窮小。等價無窮小的性質(zhì)km - hni - = lun設優(yōu)，(乂口/，且，存在，則 6，.注：這個性質(zhì)表明：求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來代替，因此我們可以利用這個性質(zhì)來簡化求極限問題。lun例題:.sin ax . ax ali

29、m= Jim =解答：當 x-0 時，sin axsax, tanbxsbx,故：tan E#8工 b例題:lim2.求 *t0tan x - sin xtan3 3x解答:.tan x - sin xlim;= luni。tan3 3x mtan 式1-tan3 3xm (3 靖 541- cosx =注：注：從這個例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無窮小變換時，要代換式中的某一項，不能只 代換某個因子。函數(shù)的一重要性質(zhì)連續(xù)性在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續(xù)地變化著的.這種現(xiàn)象在函數(shù)關系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學習一個概念一一增量設變量x從它的一個

30、初值 X1變到終值X2,終值與初值的差 X2-X1就叫做變量x的增量， 記為： *,即： x=X2-x i。增量 Ax 可正可負.我們再來看一個例子： 函數(shù)二在點X0的鄰域內(nèi)有定義， 當自變量x在領域內(nèi)從X0變到Xo+Ax時，函數(shù)y相應地從/ 變到+2),其對應的增量為：這個關系式的幾何解釋如下圖:現(xiàn)在我們可對連續(xù)性的概念這樣描述：如果當*趨向于零時，函數(shù)y對應的增量Ay也趨向于零，即：心tQ，那末就稱函數(shù)即在點X0處連續(xù)。函數(shù)連續(xù)性的定義:_ 火、lim /(1)= 7(x0)設函數(shù)J'J (力在點X0的某個鄰域內(nèi)有定義，如果有常T布稱函數(shù)y=/ (工)在點X0處連續(xù)，且稱X0為函數(shù)

31、的y=J (1)的連續(xù)點.F面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來學習一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念:設函數(shù)二I在區(qū)間的內(nèi)有定義，如果左極限存在且等于/(b),即： 松口八工)=/(燈,那末我們就稱函數(shù) /(1)在點b左連續(xù).設函數(shù)一 1在區(qū)間a,b)內(nèi)有定義，如果右極限覘/存在且等于了,即：'=/(*),那末我們就稱函數(shù)/3)在點a右連續(xù).一個函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點連續(xù)，則為在(a,b)連續(xù)，若又在 a點右連續(xù)，b點左連續(xù)，則在閉區(qū)間a, b連續(xù)，如果在整個定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)注：一個函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點連續(xù)，否則在此點不連注：連續(xù)函數(shù)圖形是一條連

32、續(xù)而不間斷的曲線。通過上面的學習我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時我們可以想到若函數(shù)在某一點要是不連續(xù)會出現(xiàn)什么情形呢？接著我們就來學習這個問題:函數(shù)的間斷點定義:函數(shù)的間斷點我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點稱之為間斷點.它包括三種情形：a) : /在X0無定義；b) : /1')在Xfx 0時無極限；c) ： f 在Xf X 0時有極限但不等于/(%)；F面我們通過例題來學習一下間斷點的類型：例1:正切函數(shù)了 二訕工在2處沒有定義，所以點2是函數(shù)照加牙間斷點，因lim tan x = coirrJU_霜2為函數(shù) 了 =1船工的無窮間斷點；j - sin -例2:函數(shù)工在點x=0處沒有定義；故

33、當 Xf0時，函數(shù)值在-1與+ 1之間變動,1j = sin -無限多次，我們就稱點 x=0叫做函數(shù)X的振蕩間斷點；26x-l,x<0x+L />0當x-0時，左極限則了二一1,從這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點x=0是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)在點x=0時，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點稱為跳躍間斷點；我們把上述三種間斷點用幾何圖形表示出來如下間斷點的分類我們通常把間斷點分成兩類：如果X0是函數(shù)的間斷點，且其左、右極限都存在，我們把X0稱為函數(shù)工）的第一類間斷點；不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點.可去間斷點小、%/W1小若X0是

34、函數(shù)叩的間斷點，但極限瓶 存在，那末X0是函數(shù)的第一類間斷點。此時函數(shù)不連續(xù)原因是:*1。）不存在或者是存在但期）二limE 口,則可使函數(shù) J W在點X0處連續(xù)，故這種間斷點X0稱為可去間斷連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的和、積、商的連續(xù)性我們通過函數(shù)在某點連續(xù)的定義和極限的四則運算法則，可得出以下結(jié)論：a）:有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和是一個在該點連續(xù)的函數(shù)；b）:有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個在該點連續(xù)的函數(shù)；c）:兩個在某點連續(xù)的函數(shù)的商是一個在該點連續(xù)的函數(shù)（分母在該點不為零）；反函數(shù)的連續(xù)性若函數(shù)J二/在某區(qū)間上單調(diào)增（或單調(diào)減）且連續(xù)，那末它的反函數(shù)X二中也

35、在對應的區(qū)間上單調(diào)增 （單調(diào)減）且連續(xù)。例：函數(shù)y 一 ,1nl在閉區(qū)間2 2上單調(diào)增且連續(xù)，故它的反函數(shù)）一堂cs出工在閉區(qū)間-1,1上也是單調(diào)增且連續(xù)的。復合函數(shù)的連續(xù)性“一心lim 加了）=。、一必、設函數(shù)就=叭即當X-X 0時的極限存在且等于a,即：NT砧.而函數(shù)y=JJ在點u=a連續(xù)，那末復合函數(shù) 尸/%）當 X-X 0時的極限也存在且等于/.即： 限/E初二/1/加百 _Em cos（l + x/例題：求修。解答：-J1注：函數(shù)J=COS（l + x），可看作J = COS"與我二（1 +彳尸復合而成，且函數(shù) y=COSN在點u=e連續(xù)，因此可得出上述結(jié)論。設函數(shù)口二歹（

36、X）在點X=X0連續(xù)，且機看）=期，而函數(shù)7二在點u=uo連續(xù)，那末復合函數(shù) y = fl 在點X=X0也是連續(xù) 的初等函數(shù)的連續(xù)性通過前面我們所學的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結(jié)論:基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的；一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也都是連續(xù) 的.下面我們再來學習一下一一閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點右連續(xù)，右端點左連續(xù).對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有幾條重要的性質(zhì)，下面我們來學習一下：最大值最小值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。（在此不彳證明）例：函數(shù)y=sinX在閉區(qū)間0, 2n上連續(xù)，則在點x=M2處，它的函數(shù)

37、值為 1,且大于閉區(qū)間0 , 2n上其它各點出的函數(shù)值；則在點x=3 Tt /2處，它的函數(shù)值為-1 ,且小于閉區(qū)間0, 2n上其它各點出的函數(shù)值介值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取得介于區(qū)間兩端點的函數(shù)值間的任何值。即：一二口，J二f 在“、0之間，則在a , b間一定有一個 七,使J二P推論：在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值最小值之間的任何值。導數(shù)的概念在學習到數(shù)的概念之前，我們先來討論一下物理學中變速直線運動的瞬時速度的問題。例：設一質(zhì)點沿X軸運動時，其位置 X是時間t的函數(shù)， X = /W ,求質(zhì)點在t 0 的瞬時速度？我們知道時間從t°有增量at時，質(zhì)點的位置有增量+&am

38、p;）-，（4），這就是質(zhì)點在時間段At 的位移。因此，在此段時間內(nèi)質(zhì)點的平均速度為：/備+ &）-1（幻二若質(zhì)點是勻速運動的則這就是在t0的瞬時速度，若質(zhì)點是非勻速直線運動，則這還不是質(zhì)點在to時的瞬時速度。我們認為當時間段At 無限地接近于0時，此平均速度會無限地接近于質(zhì)點to時的瞬時速度，/%+&）-/（幻. Ai11m= hm 即：質(zhì)點在 行時的瞬時速度=妙句上心小出為此就產(chǎn)生了導數(shù)的定義，如下：導數(shù)的定義設函數(shù) 7-/W在點xo的某一鄰域內(nèi)有定義，當自變量 x在X0處有增量4 x（x+ Ax也在該鄰域內(nèi)）時，相應地函數(shù)有增量切=八瓦+心）-八晶）,若Z 與Ax之比當A

39、xfO時極限存在，則稱這個極限值為 二/在xo處的導數(shù)。（ 電 f記為：丁 f還可記為：dx J（而）函數(shù)/ （x）在點xo處存在導數(shù)簡稱函數(shù) j W 在點xo處可導，否則不可導。若函數(shù)/（1）在區(qū)間（a,b）內(nèi)每一點都可導，就稱函數(shù) /W 在區(qū)間（a,b）內(nèi)可導。這時函數(shù)了二/ 對于區(qū)間（a,b）內(nèi)的每一個確定的 x值，都對應著一個確定的導數(shù)，這就構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們就稱這個函數(shù)為原來函數(shù)y=/的導函數(shù)。注：導數(shù)也就是差商的極限左、右導數(shù)前面我們有了左、右極限的概念，導數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導數(shù)的概念。1,加lini _若極限州T（T &X存在，我們就稱它為函數(shù)在x

40、=xo處的左導數(shù)。而若極限切” Ax存在，我們就稱它為函數(shù) 了=在x=xo處的右導數(shù)。注：函數(shù)了=/ W在xo處的左右導數(shù)存在且相等是函數(shù)y=/在xo處的可導的充分必要條件函數(shù)的和、差求導法則函數(shù)的和差求導法則法則：兩個可導函數(shù)的和（差）的導數(shù)等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和（差）.用公式可寫為： （?。┕偈看?其中U、V為可導函數(shù)。1y = 1 + / + 7 t例題：已知 工，求Jy=(勺+(/)'+，= -1不+5/ + o =-二+5/解答：,；例題：已知，二如劣-bgj+g ，求yy1 = (sin x)f- (Jog. x/+= cost- + F解答：''.一一：

41、函數(shù)的積商求導法則常數(shù)與函數(shù)的積的求導法則法則：在求一個常數(shù)與一個可導函數(shù)的乘積的導數(shù)時，常數(shù)因子可以提到求導記號外面去。用公式可寫成：二二 例題：已知J = 3$m 1+4/,求y解答：一r -:.；|.一 J -函數(shù)的積的求導法則法則：兩個可導函數(shù)乘積的導數(shù)等于第一個因子的導數(shù)乘第二個因子，加上第一個因子乘第二個因子的導數(shù)。用公式可寫成：例題：已知二右狙-求，y(x)f = G&)'sin x+ Jj(sin x)f = i=sin 冗 + cosx解答：k注：若是三個函數(shù)相乘，則先把其中的兩個看成一項。函數(shù)的商的求導法則法則：兩個可導函數(shù)之商的導數(shù)等于分子的導數(shù)與分母導數(shù)

42、乘積減去分母導數(shù)與分子導數(shù)的乘積，在除以分母導數(shù)的平方。用公式可寫成:例題：已知 了二刖七求人行解答:(sin z)rcosx-sin x(cosx)f cos2 x+sm 2 xCOS X= G復合函數(shù)的求導法則在學習此法則之前我們先來看一個例子！例題：求酬2#=?這個解答正確嗎？解答：由于初二皿二故酬2# = 882x這個解答是錯誤的，正確的解答 應該如下：(sin 2x)r = (2sinxcosx)r = 2(sin x)rcosx+sin x(cosx)f= 2cos2x我們發(fā)生錯誤的原因是(皿2步 是對自變量x求導，而不是對 2x求導。下面我們給出復合函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的求導規(guī)

43、則規(guī)則：兩個可導函數(shù)復合而成的復合函數(shù)的導數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘上中間變量對自變dy _dy du量的導數(shù)。用公式表示為：赤 成 du ,其中u為中間變量&例題：已知y二加工，求工 m3解答：設u二smx,則了二超I可分解為y=u ,u = sinx因此dy dy dudx du dx(J22y(sin 二 小 cosx = 2sin xcosx = sin 2x注：在以后解題中，我們可以中間步驟省去。例題：已知J = h$in k ,求取方.、f1 /COS J=(to sin j) =(sin x) = cot x解答：二：.二二.二二反函數(shù)求導法則根據(jù)反函數(shù)的定義，函數(shù) 二

44、/W為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù)X =砌) ,它也是單調(diào)連續(xù)的.為此我們可給出反函數(shù)的求導法則，如下(我們以定理的形式給出 )：定理：若了二03是單調(diào)連續(xù)的，且。 ,則它的反函數(shù)/二/W 在點x可導，且有：注：通過此定理我們可以發(fā)現(xiàn)：反函數(shù)的導數(shù)等于原函數(shù)導數(shù) 的倒數(shù)。注：這里的反函數(shù)是以 y為自變量的，我們沒有對它作記號變換。即：是對y求導，丁。)是對x求導例題：求y=arcsin 7的導數(shù).解答：此函數(shù)的反函數(shù)為 x = sin j,故 犬=匚。§j則：r 1 1 1 1y :=-,=, 85正皿，J-/例題：求j = arctan的導數(shù).解答：此函數(shù)的反函數(shù)為 工二tan j,

45、故工二就(?)則：1+?1 _ 1 secsy 1 + tana高階導數(shù)我們知道，在物理學上變速直線運動的速度v(t)是位置函數(shù)s(t)對時間t的導數(shù)，即：dsV dt ,而加速度a又是速度v對時間t的變化率，即速度 v對時間t的導數(shù)：div d (dsd (杰'a =由 比,或。=($7。這種導數(shù)的導數(shù) 由)叫做s對t的二階導數(shù)。下面我們給出它的數(shù)學定義：定義：函數(shù)y -J (1)的導數(shù)二J '仍然是x的函數(shù).我們把y - J的導數(shù)叫做 d2y_ d (dy'函數(shù)二/的二階導數(shù)，記作y或心？，即：或淳必1成人相應地，把 y 二 g) 的導數(shù)y二/叫做函數(shù) Kx) 的一

46、階導數(shù).類似地，二階導數(shù)的導數(shù)，叫做 三階導數(shù)，三階導數(shù)的導數(shù)，叫做 四階導數(shù)， 一般地(n-1)階導數(shù)的導數(shù)叫做 n階導數(shù).d3y di4y dy分別記作：J , y ,，尸或心？，加，涼二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱 高階導數(shù)。由此可見，求高階導數(shù)就是多次接連地求導，所以，在求高階導數(shù)時可運用前面所 學的求導方法。例題：已知y二口工+卜，求 f帚解答：因為y =a,故丁 =0 例題：求對數(shù)函數(shù) 尸M(l+ X)的n階導數(shù)。J ,二一 1.二 12123解答：1 +工，(1 +工產(chǎn)，(1+工戶，。+ "*二(_產(chǎn)一般地，可得一 隱函數(shù)及其求導法則我們知道用解析法表示函數(shù)，可以有不同的形式

47、若函數(shù)y可以用含自變量 x的算式表示，像 y=sinx , y=1+3x等，這樣的函數(shù)叫 顯函 數(shù).前面我們所遇到的函數(shù)大多都是顯函數(shù).一般地，如果方程 F(x,y)=0 中，令x在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時，相應地總有滿足此方程的y值存在，則我們就說方程F(x,y)=0在該區(qū)間上確定了x的隱函數(shù)y.把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)的形式，叫做隱函數(shù)的顯化求其導數(shù)時該如何呢注：有些隱函數(shù)并不是很容易化為顯函數(shù)的，那么在下面讓我們來解決這個問題！隱函數(shù)的求導史若已知F(x,y)=0 ,求歐時，一般按下列步驟進行求解：a):若方程F(x,y)=0，能化為的形式，則用前面我們所學的方法進行求導；b):若方程F(x,

48、y)=0 ,不能化為 ) =/(X)的形式，則是方程兩邊對 x進行求導，并 把y看成x的函數(shù)用復合函數(shù)求導法則進行。的例題：已知了 +y 一»=1,求立解答：此方程不易顯化，故運用隱函數(shù)求導法.兩邊對x進行求導，axax2x + 2y/-Cy+W)二。故占工=注：我們對隱函數(shù)兩邊對 x進行求導時， 一定要把變量y看成x的函數(shù)，然后對其 利用復合函數(shù)求導法則進行求導。例題：求隱函數(shù)y+2丁一工一3： 二 °,在x=o處的導數(shù)解答：兩邊對x求導5/y+2y-k2i/ = o,1 + 21/故、一一y r-0=-當x=0時，y=0.故匚有些函數(shù)在求導數(shù)時，若對其直接求導有時很不方

49、便，像對某些募函數(shù)進行求導時，有沒有一種比較直觀的方法呢？下面我們再來學習一種求導的方法：對數(shù)求導法對數(shù)求導法對數(shù)求導的法則根據(jù)隱函數(shù)求導的方法，對某一函數(shù)先取函數(shù)的自然對數(shù)，然后在求導。注：此方法特別適用于募函數(shù)的求導問題。例題：已知y-x x>。，求?此題若對其直接求導比較麻煩，我們可以先對其兩邊取自然對數(shù)，然 后再把它看成隱函數(shù)進行求導，就比較簡便些。如下解答：先兩邊取對數(shù)：In > = sin xln x把其看成隱函數(shù)，再兩邊求導1, sin xy = cosxln x y工因為J二產(chǎn),所以r f 1 mi a£j111fiUl Ay -y(cosxlnxHJ =

50、 x gs工In xH)產(chǎn)-2)例題：已知1("況了一 4),求y此題可用復合函數(shù)求導法則進行求導，但是比較麻煩，下面我們利用對數(shù)求導法進行求導解答：先兩邊取對數(shù)In j_ _ln(工一1) +ln(x- 2)-ln(x-3)-ln(x-4) 2再兩邊求導i r r i 1 i i-y =-(+-y 2 x-1 工-2 x-3 x-4因為 (工一力(、-4),所以1 匹帥-2) 1 1115(彳_習(1)Ui 72 口 m函數(shù)的微分學習函數(shù)的微分之前，我們先來分析一個具體問題：一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響時，其邊長由X0變到了 Xo+Ax,則此薄片的面積改變了多少？解答：設此薄片的邊長為