千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題(一)：第3煉利用數(shù)軸解決集合運(yùn)算問題

1、第一章 第3煉 利用數(shù)軸解決集合運(yùn)算問題 集合與邏輯第3煉 利用數(shù)軸解決集合運(yùn)算問題 數(shù)形結(jié)合是解決高中數(shù)學(xué)問題的常用手段，其優(yōu)點(diǎn)在于通過圖形能夠直觀的觀察到某些結(jié)果，與代數(shù)的精確性結(jié)合，能夠快速解決一些較麻煩的問題。在集合的運(yùn)算中，涉及到單變量的取值范圍，數(shù)軸就是一個(gè)非常好用的工具，本文將以一些題目為例，來介紹如何使用數(shù)軸快速的進(jìn)行集合的交并運(yùn)算。一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、集合運(yùn)算在數(shù)軸中的體現(xiàn)： 在數(shù)軸上表示為表示區(qū)域的公共部分 在數(shù)軸上表示為表示區(qū)域的總和 在數(shù)軸上表示為中除去剩下的部分（要注意邊界值能否取到）2、問題處理時(shí)的方法與技巧：（1）涉及到單變量的范圍問題，均可考慮利用數(shù)軸來進(jìn)行數(shù)形結(jié)

2、合，尤其是對(duì)于含有參數(shù)的問題時(shí)，由于數(shù)軸左邊小于右邊，所以能夠以此建立含參數(shù)的不等關(guān)系（2）在同一數(shù)軸上作多個(gè)集合表示的區(qū)間時(shí)，可用不同顏色或不同高度來區(qū)分各個(gè)集合的區(qū)域。（3）涉及到多個(gè)集合交并運(yùn)算時(shí)，數(shù)軸也是得力的工具，從圖上可清楚的看出公共部分和集合包含區(qū)域。交集即為公共部分，而并集為覆蓋的所有區(qū)域（4）在解決含參數(shù)問題時(shí)，作圖可先從常系數(shù)的集合（或表達(dá)式）入手，然后根據(jù)條件放置參數(shù)即可3、作圖時(shí)要注意的問題：（1）在數(shù)軸上作圖時(shí)，若邊界點(diǎn)不能取到，則用空心點(diǎn)表示；若邊界點(diǎn)能夠取到，則用實(shí)心點(diǎn)進(jìn)行表示，這些細(xì)節(jié)要在數(shù)軸上體現(xiàn)出來以便于觀察（2）處理含參數(shù)的問題時(shí)，要檢驗(yàn)參數(shù)與邊界點(diǎn)重合時(shí)

3、是否符合題意。二、例題精析：例1：（2009 安徽）集合，則=_思路：先解出的解集，作出數(shù)軸，則即為它們的公共部分。答案： 例2：設(shè)集合，則的取值范圍是_思路：可解出 ，而集合含有參數(shù)，作出數(shù)軸，先從容易作圖的集合做起，即畫出的范圍，由于，而數(shù)軸上有一部分區(qū)域沒有被包含，那說明集合負(fù)責(zé)補(bǔ)空缺的部分，由于參數(shù)決定其端點(diǎn)位置，所以畫出圖像，有圖像觀察可得只需要： 即可，解得： 答案： 小煉有話說：（1）含有參數(shù)的問題時(shí)，可考慮參數(shù)所起到的作用，在本題中參數(shù)決定區(qū)間的端點(diǎn)（2）含有參數(shù)的問題作圖時(shí)可先考慮做出常系數(shù)集合的圖像，再按要求放置含參的集合（3）注意考慮端點(diǎn)處是否可以重合，通常采取驗(yàn)證的方法

4、，本題若或，則端點(diǎn)處既不在里，也不在里，不符題意。例3：對(duì)于任意的，滿足恒成立的所有實(shí)數(shù)構(gòu)成集合，使不等式的解集是空集的所有實(shí)數(shù)構(gòu)成集合，則_思路：先利用已知條件求出，再利用數(shù)軸畫出的范圍即可解：由 恒成立，可得：當(dāng)即時(shí)，變?yōu)椋汉愠闪?dāng)時(shí)，若要恒成立，則 解集為空等價(jià)于：設(shè) 即小煉有話說：本題更多考察的地方在于集合的求解。集合要注意的情況，而不能默認(rèn)為二次不等式，集合涉及解集與不等式恒成立問題之間的轉(zhuǎn)化。在集合進(jìn)行交并運(yùn)算時(shí)，數(shù)軸將成為一個(gè)非常直觀的工具，作圖時(shí)要注意端點(diǎn)值的開閉。例4：已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 思路：先解出的解集，意味著有公共部分，利用數(shù)軸可標(biāo)注集合兩端點(diǎn)的位置，進(jìn)而

5、求出的范圍解：當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，恒成立當(dāng)時(shí)， 且例5：已知，當(dāng)“”是“”的充分不必要條件，則的取值范圍是_思路：為兩個(gè)不等式的解集，因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以是的真子集?？紤]解出兩個(gè)不等式的解集，然后利用數(shù)軸求出的范圍即可解： 由是的真子集可得： 答案：小煉有話說：1、熟悉充分必要條件與集合的聯(lián)系：是的充分不必要條件對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集2、處理含參問題時(shí)，秉承“先常數(shù)再參數(shù)”的順序分析，往往可利用所得條件對(duì)參數(shù)范圍加以限制，減少分類討論的情況。例如在本題中，若先處理，則解不等式面臨著分類討論的問題。但先處理之后，結(jié)合數(shù)軸會(huì)發(fā)現(xiàn)只有圖中一種情況符合，減掉了無謂的討論。例6：已知函數(shù)，

6、對(duì)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_思路：任取，則取到值域中的每一個(gè)元素，依題意，存在使得，意味著值域中的每一個(gè)元素都在的值域中，即的值域?yàn)榈闹涤虻淖蛹謩e求出兩個(gè)函數(shù)值域，再利用子集關(guān)系求出的范圍解：時(shí)， 時(shí)， 對(duì)于，分三種情況討論當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，符合題意當(dāng)時(shí)， 綜上所述：答案：例7：已知集合，若，則_思路：本題主要考察如何根據(jù)所給條件，在數(shù)軸上標(biāo)好集合的范圍。從而確定出的值，如圖所示：可得，所以答案： 例8：設(shè)，求思路：集合的不等式解集為 ，集合為一元二次不等式的解集，由題意可知，設(shè)的兩根為 ，則 ，在數(shù)軸上作圖并分析后兩個(gè)條件：說明將集合覆蓋數(shù)軸的漏洞堵上了，說明與的公共部分僅有，左側(cè)沒有

7、公共部分，從而的位置只能如此（如圖），可得：，由韋達(dá)定理可得： 例9：在上定義運(yùn)算，若關(guān)于的不等式的解集是的子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）A B C或 D思路：首先將變?yōu)閭鹘y(tǒng)不等式：，不等式含有參數(shù)，考慮根據(jù)條件對(duì)進(jìn)行分類討論。設(shè)解集為，因?yàn)?，所以首先解集要分空集與非空兩種情況：當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，根據(jù)的取值分類討論計(jì)算出解集后再根據(jù)數(shù)軸求出的范圍即可解：設(shè)解集為 當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)：若時(shí)， 若時(shí)， 綜上所述：答案：D 例10：已知，若關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 解：所解不等式為，可以考慮兩邊平方后去掉絕對(duì)值，因式分解可得：，由題意中含3個(gè)整數(shù)解

8、可得：解集應(yīng)該為封閉區(qū)間，所以的系數(shù)均大于零，即，另一方面，解集區(qū)間內(nèi)有3個(gè)整數(shù)，從端點(diǎn)作為突破口分析，兩個(gè)端點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，進(jìn)而結(jié)合數(shù)軸分析可得三個(gè)整數(shù)解為，所以另一個(gè)端點(diǎn)的取值范圍為，而，所以只要有交集，則可找到符合條件的，結(jié)合數(shù)軸可得：，求出答案：三、近年模擬題題目精選：1、（2016四川高三第一次聯(lián)考）已知集合，若，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 2、（2014吉林九校二模，1）已知 ，則 （ ）A. B. C. D. 3、（重慶八中半月考，1）設(shè)全集為，集合，則（ ）A. B. C. D. 4、已知函數(shù)的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，則（ ）A. B. C. D. 5、（2014，浙江） 已知集合，則（ ）A. B. C. D. 6、（2014，山東）設(shè)集合，則（ ）A. B. C. D. 7、設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_8、已知全集，集合，那么集合（ ）A. B. C. D. 9、若關(guān)于的不等式的解集中整數(shù)恰好有3個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.習(xí)題答案：1、答案：B解析：若，則符合題意，若，則符合題意，當(dāng)時(shí)，解得：，由可知：，綜上可得：2、答案：D解析：，在數(shù)軸上標(biāo)出的區(qū)域即可得出3、答案：C解析：分別解出中的不等式，所以4、答案：A解析：的定義域：，的定義域：，所以，5、答案：C解析：解出中不等式：或，所以，則6、答案：D解析：集