拋物線的概念與性質

1、 中國領先的中小學教育品牌精銳教育學科教師輔導講義講義編號 年 級：高二 輔導科目：數學 課時數：3 課 題拋物線概念與性質教學目標1、掌握拋物線的定義，掌握拋物線的四種標準方程；2、拋物線的對稱性、頂點、范圍、焦點坐標和準線方程；應用拋物線定義解決一些與焦點 弦長有關的問題。教學內容一、知識梳理1、拋物線的定義定義：平面內與一個定點F和一條定直線（定點F不在定直線上）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線。思考：如果定點F在定直線上，動點的軌跡是什么？ 2、拋物線的標準方程和性質標準方程圖形頂點對稱軸焦點準線(0,0)軸(,0)(0,0)軸(-,0)(0,

2、0)軸(0, )(0,0)軸(0,-)我們把上述四種位置的拋物線方程都稱為拋物線的標準方程。3、直線與拋物線它們的位置關系無外乎三種情況，即相切、相交、相離。具體來說：1、相離的問題常轉化為二次曲線上的點到已知直線的距離的最大值或最小值來解決；2、只有一個公共點，對拋物線表示直線與其相切或表示與其對稱軸平行；3、有兩相異的公共點，表示相割，此時直線被截線段稱為圓錐曲線的弦。常見的問題有：（1）直線與圓錐曲線位置關系的研究。 包括位置關系的判定，位置關系與參數值，位置關系與曲線方程等。（2）直線與圓錐曲線相交成弦的問題。包括弦長的計算，弦的中點，最值，由弦長或弦的中點的幾何性質確定直線方程或圓錐

3、曲線的方程，對稱性問題等等。弦長的求法：由，弦長.注意：消去可得關于的二元方程有直線斜率.求解的基本策略是，將其轉化為直線與圓錐曲線方程的方程組的解的問題，進而轉化為一元二次方程的實根問題，因而判別式、韋達定理、弦長公式、焦半徑公式的應用，以及設而不求、整體代入、數形結合的思想方法技巧在這里起著極為重要的作用。4、拋物線的特殊性質（1）過拋物線（）的焦點F的直線l交拋物線于、兩點，設，O為原點，則有：（1）；（2）；（3）；（4）。（2）直線l交拋物線（）于、兩點，O為原點，若OAOB，則直線l經過定點（2p，0），反之亦然（證明略）。二、例題解析1、拋物線的準線為_ ,焦點坐標為_2、已知圓

4、，與拋物線的準線相切，則 _23、點M與點F的距離比它到直線:的距離小1，則點的軌跡方程是 _4、拋物線（）與橢圓有一個共同的焦點，則的取值范圍是_5、拋物線上一點到軸的距離為12，則點到焦點的距離為_136、一個正三角形的頂點都在拋物線上，其中一個頂點在原點，則這個三角形的面積是（ A ） （A） （B） （C） （D）7、若點A的坐標是（3，2），F為拋物線y2=2x的焦點，點M在拋物線上移動時，使|MA|+|MF|取最小值的M的坐標為_(2,2)_8、若拋物線與雙曲線沒有公共點，則實數的取值范圍為_9、求頂點在原點，以坐標軸為對稱軸，且焦點在直線3x-4y=12上的拋物線方程。解:直線L

5、與X軸交點(4,0),與Y軸交點(0,-3)所以拋物線方程為焦點弦有關的問題1、已知是拋物線上的點，是該拋物線的焦點，求證：.說明利用拋物線的定義，將點到焦點的距離轉化為到準線的距離，稱為拋物線的焦半徑.證明：過點作準線的垂線，垂足為，則.根據拋物線的定義，.2、在拋物線y2=8x上一點到x軸的距離為4，則該點到焦點F的距離為 63、在拋物線y2=8x上與焦點F的距離等于6的點的坐標為 . 4、過拋物線y 2=4x的焦點作直線，交拋物線于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)兩點，如果x1+ x2=6，那么|AB|=（ A ）A8B10C6 D45、過拋物線的焦點F作一直線交拋物線于P、

6、Q兩點，若線段PF與FQ得長分別是、，則 等于（ C ）A B C D 解析：考慮特殊位置，令焦點弦PQ平行于軸。6、拋物線（）上有、三點，是它的焦點，若、成等差數列，則（ A ）A 成等差數列 B 成等差數列 C 成等差數列 D 成等差數列7、是拋物線的焦點弦，若，則的中點到直線的距離是_8、若拋物線的焦點弦長為，求焦點弦所在直線方程.說明根據焦半徑公式，焦點弦長可以用兩個端點的橫坐標之和來表示.解：拋物線的焦點為.設焦點弦的兩個端點分別為、.由條件，所以.如果直線平行于軸，那么，這與矛盾，所以直線不平行于軸.設焦點弦所在直線方程為，聯(lián)立方程 消去，得到，根據韋達定理，求出，于是焦點弦所在直

7、線的方程為.9、過拋物線的焦點作拋物線的弦，當時，求直線傾斜角的大小。答案：，所以傾斜角為或10、已知拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，拋物線上一點到焦點的距離是，求拋物線的方程、準線方程、焦點坐標以及的值。說明根據點的縱坐標為負值可以確定拋物線開口向下，進而確定拋物線的方程形式.解：設拋物線方程為，其準線方程為.根據拋物線的定義，有，所以. 拋物線的方程為，準線方程為，焦點坐標為，將點的坐標代入方程，算得直線與拋物線1、拋物線上一點到直線的距離最短的點的坐標是（ A ）A（1，1）B（）CD（2，4）2、過點（0,1）作直線，使它與拋物線僅有一個公共點，這樣的直線有（C）A1條B2條C3條D0

8、條3、直線交拋物線于、兩點，若，則_14、拋物線y 2=4x的弦AB垂直于x軸，若AB的長為4，則焦點到AB的距離為 25、過A（1，1），且與拋物線有一個公共點的直線方程為 及X=-16、在拋物線中，以為中心的弦所在的直線方程為_7、已知直線l過點A（4,0）且與拋物線交于P、Q兩點，若以PQ為直徑的圓恒過原點O，求拋物線C的方程。8、給定直線：，拋物線C：。（1）當拋物線C的焦點在直線上時，確定拋物線C的方程。（2）若ABC的三個頂點都在（1）所確定的拋物線C上，且點A的縱坐標，ABC的重心恰在拋物線C的焦點上，求直線BC的方程。答案：（1）（2）代入得則A(8,2),設.直線方程代入,由

9、韋達定理及重心坐標公式求得.9、已知動圓過定點，且與定直線相切，點在上。（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）設過點且斜率為的直線與曲線相交于、兩點，求線段的長；（3）問：能否為正三角形？若能，求點的坐標；若不能，說明理由。解：（1）因為動圓過定點，且與定直線相切所以由拋物線定義知：圓心的軌跡是以定點為焦點，定直線為準線的拋物線所以 圓心的軌跡方程為 -4分（2）由題知，直線的方程為 -6分所以解得： -8分 -10分（3）假設能為正三角形，則設點的坐標為 -11分 由題知 13分 即： -14分 由于上述方程無實數解，因此直線上不存在這樣的點C。 -16分10、若拋物線上兩點、關于直線對稱，且

10、，求的值。答案：11、若拋物線上存在關于直線x+y=0對稱的兩點，求a的范圍。解析：提示：設A（m，n），B（-n，-m）為拋物線上關于x+y=0對稱的兩點，則（1）-（2）得 （3）（1）+（3）得，故判別式 ，又a0 三、總結與反思四、課后作業(yè)1、拋物線的準線方程是（ C ）ABCy=2 Dy=42、與橢圓有相同的焦點，且頂點在原點的拋物線方程是（ B ）A B C D3、已知A、B是拋物線上兩點，O為坐標原點，若|OA|=|OB|，且AOB的垂心恰是此拋物線的焦點，則直線AB的方程是（ C ）Ax=pBCD3p4、已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，其上的點到焦點的距離為5，則拋物線方

11、程為（ D ） A BC D5、已知拋物線x2=4y，過焦點F，傾斜角為的直線交拋物線于A、B兩點，則線段AB的長為 （ A ） A.8 B.4 C.6 D.3 6、過點M（2，4）作與拋物線y 2=8x只有一個公共點的直線l有（ C ）A0條B1條C2條D3條7、直線與拋物線交于A、B兩點，且AB中點的橫坐標為2，則k的值為（ ） （A）或2（B）（C）2 （D）8、拋物線y2=8x的焦點為F、P在拋物線上，若|PF|=5，則P點的坐標為（ C ）A. (3，2) B.(3，-2)C.(3，2)或(3，-2) D.(-3，2)或(-3，-2)9、設F為拋物線y2=4x的焦點，A、B、C為該拋物線上三點，若則|FA|+|FB|+|FC|=（ B）(A)9(B)6(C) 4 (D) 310、動圓經過點且與直線：相切，則的軌跡方程為 11、若點M到點的距離比它到直線的距離大1，則點M的軌跡方程為 或12、拋物線上的兩點A、B到焦點的距離之和為10，則線段AB中點到y(tǒng)軸的距離為 413、頂點在原點，以坐標軸為對稱軸，且焦點在直線上的拋物線方程是 或14、等腰直角三角形AOB內接于拋物線y2=2px(p0)，O為拋物線的頂點，OAOB，則AOB的面