實(shí)數(shù)基本定理的等價(jià)性證明

1、實(shí)數(shù)基本定理的內(nèi)容:(1 (確界定理 任何非空集 E 奐 R, 若它有上界, 則必有 上確界 supE R; 等價(jià)地若有下界, 必有下確界.(2 (單調(diào)有界原理 任何單調(diào)遞增 、 有上界的序列x n 奐 R, 必有極限lim n x n R; 等價(jià)地, 單調(diào)遞減 、 有下界也必有極限.(3 (柯西收斂原理 序列x n 奐 R 收斂的充要條件是:坌 >0, 堝 N>0, 當(dāng) m,n>N 時(shí), 有 |x n -x m |<.(4 (致密性定理 有界序列必有收斂的子序列. (5 (區(qū)間套定理 任何閉區(qū)間套, 必存在唯一的公共點(diǎn). 即:若 a n , b n , a n b n

2、 , b n -a n 0(當(dāng) n 時(shí) , 則a n ,b n 成 為閉區(qū)間套,這時(shí)必存在唯一的 R,使得 a n b n , (坌 n R .(6 (有限覆蓋定理 閉區(qū)間上的任一開覆蓋, 必存在有 限開覆蓋.即:設(shè) 是一個(gè)開區(qū)間,若 坌 x a,b, 堝 x , 使得 x x ,則稱 為閉區(qū)間a,b的一個(gè)開覆蓋.定理指出, a,b的任一開覆蓋 中, 必存在有限子集 1, 2, , r 奐 , 1, 2, , r 仍為a,b的一個(gè)開覆蓋. 1利用區(qū)間套定理證明其他實(shí)數(shù)基本定理1.1利用區(qū)間套定理證明有限覆蓋定理證 1:假設(shè)某一閉區(qū)間a,b的某個(gè)開覆蓋 無有限子覆蓋, 將a,b二等分, 則至少有

3、一 “ 半?yún)^(qū)間 ” , 它不能用 的有 限子集覆蓋,將此半?yún)^(qū)間記為 a 1,b 1(如果兩個(gè)半?yún)^(qū)間都如 此, 可任選其中的一個(gè) .然后將a 1,b 1再二等分, 重復(fù)上述步 驟, 無限進(jìn)行下去, 便得一區(qū)間套a n ,b n :a n , b n , b n -a n =1b-a 0(當(dāng) n 時(shí) ,每個(gè)a n ,b n 都不能用 的有限個(gè)覆蓋.利用區(qū)間套定理, 可知存在一點(diǎn) , 為a n ,b n 的唯一公 共點(diǎn).則 點(diǎn)處產(chǎn)生矛盾, 因?yàn)橐环矫?a,b, 所以存在一 開區(qū)間 1=(, 使得 , 但由于lim n a n =lim n b n =,所以 n 充分大時(shí)有 aa n b n , 這表

4、明a n ,b n 已被 1=(, 所覆蓋.與a n ,b n 的本性矛盾. 1.2利用區(qū)間套定理證明致密性定理證 11:設(shè)y n 為有界數(shù)列, 即 堝 a, b 使 a y n b.等分區(qū)間a,b為兩個(gè)區(qū)間, 則至少有一個(gè)區(qū)間含有y n 中的無窮個(gè)數(shù). 把這一區(qū)間記為a 1,b 1, 如果兩個(gè)區(qū)間都含有無數(shù)個(gè) y n , 則任 取其一作為a 1,b 1.然后將a 1,b 1再二等分,重復(fù)上述步驟, 無 限進(jìn)行下去, 便得一區(qū)間套a n ,b n :a n , b n , b n -a n =b-a 0(當(dāng) n 時(shí) ,利用區(qū)間套定理, 可知存在唯一一點(diǎn) , 為a n ,b n 的唯一公共點(diǎn)使

5、a n , b n , 且 a k ,b k , (k=1, 2, .每一a k ,b k 中均含有y n 中的無窮個(gè)數(shù).在a 1,b 1中任取 y n 中的一項(xiàng)記為 y n1,即y n 的第 n 1項(xiàng). 因?yàn)閍 2,b 2也含有無窮個(gè) y n ,則它必含有 y n1以后的無窮 多個(gè)數(shù),在這些數(shù)中任取其一記為 y n2,n 2n 1,繼續(xù)在每一個(gè) a k ,b k 中都這樣取一個(gè)數(shù) y nk ,即得y n 的一個(gè)子列y nk ,其中 n 1n 2 且 a k y nk b k .因?yàn)?a k (當(dāng) k 時(shí) ,b k (當(dāng) k 時(shí) ,所以 y nk (當(dāng) k 時(shí) . 1.3用區(qū)間套定理證明確界定

6、理證 1:設(shè) M 為集合 E 奐 R 的上界 (即對(duì)任意 x E 有 x M , 來證明 堝 =supE R.若 E 有最大值, 則最大值即為上確 界.現(xiàn)設(shè) E 無最大值.任取一 x 0 E,將x 0,M二等分, 若右半?yún)^(qū) 間含有 E 中的點(diǎn), 則記右半?yún)^(qū)間為a 1,b 1,否則就記左半?yún)^(qū)間 為a 1,b 1.然后將a 1,b 1再二等分, 用同樣的方法選記a 2,b 2, 如 此無限下去, 我們便得一區(qū)間套a n ,b n :a n , b n , b n -a n =1(M-x 0 0(當(dāng) n 時(shí) ,利用區(qū)間套定理, 可知存在一公 共點(diǎn) a n ,b n , 正是 E 的上確界. 1.4利

7、用區(qū)間套定理證明單調(diào)有界原理證 1:設(shè)x n 是單調(diào)上升有上界的實(shí)數(shù)列.b 是它的一個(gè)上界, 令 a=x-1, 二等分a,b其中必有一區(qū)間含有x n 中的無窮 多項(xiàng), 記其為a 1,b 1.然后將a 1,b 1再二等分, 用同樣的方法選 記a 2,b 2, 如此無限下去, 我們便得一區(qū)間套a n ,b n ,滿足a n ,實(shí)數(shù)基本定理的等價(jià)性證明包丙寅(內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院內(nèi)蒙古 呼和浩特010010摘 要:實(shí)數(shù)基本定理的內(nèi)容及其等價(jià)性證明是數(shù)學(xué)分析課程中的難點(diǎn)和重點(diǎn) . 本文全方面的給出了確界原理 、 單調(diào)有 界原理 、 區(qū)間套定理 、 有限覆蓋定理 、 致密性定理 、 柯西收斂原理這

8、六個(gè)實(shí)數(shù)基本定理的等價(jià)性證明 .關(guān)鍵詞:確界原理; 單調(diào)有界原理; 區(qū)間套定理; 有限覆蓋定理; 致密性定理; 柯西收斂原理; 等價(jià)性 中圖分類號(hào):O17文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào) :1673-260X (2010 07-0006-06Vol. 26No. 7Jul. 2010第 26卷 第 7期 2010年 7月 赤 峰 學(xué) 院 學(xué) 報(bào)(自 然 科 學(xué) 版 Journal of Chifeng University (Natural Science Edition 6-b n 含x n 中的無窮多項(xiàng).由閉區(qū)間套定理可得, 堝 唯一的 r n =1疑 a n ,b n , a n 和b n 的極限

9、都是 r.則對(duì) 坌 0堝 n, 坌 nN,有 r-a br+.取 nN, a,b中含x n 中的無窮多項(xiàng), 則 堝 M , 使 x n a,b.當(dāng) mM 時(shí), 有 x m a,b.如果不然, 堝 m M, 有 b x m , 則在a,b中最多含x n 中的前 m 項(xiàng), 與a,b的構(gòu)造矛盾. 從而當(dāng) mM 時(shí),有 r-a x br+, 即 |x-r| 所以 x n , x m 的極限為 r, 即x n 的極限為 r.1.5利用區(qū)間套定理證明柯西收斂準(zhǔn)則證 3:充分性.設(shè)x n 為基本數(shù)列, 因此它有界, 從而有常 數(shù) a 1, b 1滿足條件, a 1 x n b 1, n N +, 將a 1,

10、b 1三等分, 令 C 1= 2a 1+b 1 , C 2=(a 1+2b 1 得到三個(gè)長(zhǎng)度相同的子區(qū)間 a 1,c 1, c 1,c 2, c 2,b 1, 分別記為 J 1, J 2, J 3, 據(jù)它們?cè)趯?shí)數(shù)軸上的 左, 中, 右位置和基本數(shù)列的定義即可發(fā)現(xiàn):在左邊的 J 1和 右邊的 J 3中, 至少有一個(gè)子區(qū)間只含有數(shù)列x n 中的有限項(xiàng). 這從幾何上看是很直觀的,若在 J 1和 J 3中都有數(shù)列中的無 窮多項(xiàng), 則可以在 J 1中取 x n , 在 J 3中取 x m 使得 n,m 都可以 任意大, 同時(shí)滿足不等式 1b-a 這與x n 為基本數(shù)列的 條件矛盾, 所以可以從a 1,b

11、 1去掉只含有數(shù)列x n 中有限項(xiàng)的 子區(qū)間 J 1和 J 3(若兩個(gè)子區(qū)間都是如此則任取其一 將得到 的區(qū)間記為a 2,b 2, 復(fù)上述步驟, 無限進(jìn)行下去, 便得區(qū)間套 a k ,b k 且滿足 1' 閉區(qū)間套中的每個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度是前一個(gè)區(qū)間 長(zhǎng)度的 2,2' 每一個(gè)a k ,b k 中含有數(shù)列x n 中從某項(xiàng)起的所有 項(xiàng).性質(zhì) 1' 保證存在 是a k , b k 從兩側(cè)分別單調(diào)的收斂與 .現(xiàn)只需證明 即基本數(shù)列x n 的極限. 坌 0, 堝 N N, 使 a N , b N 進(jìn)入點(diǎn) 的 鄰域, 即有a N ,b N 奐 (-, + 因?yàn)閍 N ,b N 具有性質(zhì) 2

12、' 所以 堝 N 1當(dāng) nN 1時(shí)成立 |x n -| .必要性.設(shè) a n a (當(dāng) n 時(shí) , 則 坌 0, 堝 N N, 當(dāng) k N 時(shí), 有|x n -a| , 從而當(dāng) n, mN 時(shí), 有|x n -x m | |x n -a|+|a-x m | +=2利用有限覆蓋定理證明其他實(shí)數(shù)基本定理2.1利用有限覆蓋定理證明確界定理證 1:設(shè) E 不是空集, 且 E 奐 R, 任意 x E 有 x M.任取 一點(diǎn) x 0 E, 考慮閉區(qū)間x 0,M, 假若 E 無上確界 最小上 界 , 則對(duì)任意 x x 0,M:(1 當(dāng) x 為 E 的上界時(shí),必有更小的上界 x 1x, 因而 x 有一

13、個(gè)開領(lǐng)域 x , 其中都為 E 的上界;(2 當(dāng) x 不是 E 的上界時(shí),自然有 E 中的點(diǎn) x 2x, 于是 x 有開領(lǐng)域 x , 其中每個(gè)點(diǎn)都不是 E 的上界.(3 x 0,M上每點(diǎn)都找出一個(gè)領(lǐng)域 x , 它要么屬于第一類 (每點(diǎn)為上界 , 要么屬于第二類 (每點(diǎn)都不是上界 .這些領(lǐng) 域 x :x x 0,M, 組成閉區(qū)間x 0,M的一個(gè)開覆蓋, 由有限覆 蓋定理, 必存在有限子覆蓋 1, , n .注意, M 所在的開區(qū) 間, 因?yàn)榈谝活惖? 相鄰接的開區(qū)間有公共點(diǎn), 也應(yīng)為第一 類的,經(jīng)過有限次鄰接,可知 x 0所在的開區(qū)間也是第一類 的.這便得出矛盾.2.2利用有限覆蓋定理證明區(qū)間套

14、定理證 :設(shè)a n ,b n 是滿足區(qū)間套定理兩個(gè)條件的閉區(qū)間列, 證n =1疑 a n ,b n .先證明這一列閉區(qū)間開交不等于空集.用反證法, 設(shè) n =1疑 a n ,b n 為空集, 則對(duì)任意 x a 1,b 1, x 埸n =1疑 a n ,b n , 所以存在 n x , 使得 x 埸n =1疑 a nx ,b nx , 當(dāng) n n x 時(shí) x 埸 a n ,b n , 所以存在 x 0, 當(dāng) n n x 時(shí) (x-x ,x+x a n ,b n 為空集, 令 G=(x-x ,x+x x a 1,b 1則 G 覆蓋 a 1,b 1,所以存在 G 中有限個(gè)開區(qū)間 k i =1胰(x-

15、xi ,x+xi 覆蓋a 1,b 1對(duì)每一個(gè) i (i=1, , k 存在 n xi , 當(dāng) n n xi 時(shí), (x i -xi ,x i +xi a n ,b n 為空集, 令 N=maxn xi |i=1, , k則 n N 時(shí)ki =1胰 (x i -xi ,x i +xi a n ,b n 為空集 , 這 與 a 1,b 1奐 k i =1胰 (x i -xi ,x i +xi 矛盾, 所以 不為空集, 因?yàn)?b n -a n 0(當(dāng) n 時(shí) , 所以n =1疑 a n ,b n 只有一個(gè)元素, 所以 n =1疑 a n ,b n =. 2.3利用有限覆蓋定理證明致密性定理證 4:x

16、 n 為有界數(shù)列, a 是它的一個(gè)下界, b 是它的一個(gè) 上界, 于是下列兩種情況之一成立:(1 存在 a,b, 使 在任何鄰域中都有x n 的無窮多 項(xiàng);(2 對(duì)任何 x a,b, 都存在 x 的一個(gè)鄰域 (x-x ,x+x , 使其中只含x n 的有限多項(xiàng).如果 (2 成立, 則開區(qū)間族(x-x ,x+x x a,b構(gòu)成a,b的一個(gè)開覆蓋.所以其中必有有限子覆蓋.由于每個(gè)開區(qū)間 中都只含x n 的有限多項(xiàng), 故有限個(gè)開區(qū)間之并也只含x n 的 有限多項(xiàng).但另一方面又應(yīng)該包含x n 的所有項(xiàng), 矛盾.則 (2 不成立, 即必是 (1 成立.考察 的鄰域序列 (-1, +1.由 1 知, 在任

17、何 鄰域中都有x n 的無窮多項(xiàng).首先在區(qū)間 (-1, +1 中取一 項(xiàng), 記為 x n1.然后因 (-1, +1中含有x n 的無窮多項(xiàng), 故 可在其中取得下標(biāo)大于 n 1的一項(xiàng), 記為 x n2.一般地, 當(dāng) x nk (-, + 取定之后, 由于 (-, +中含有 7 -的無窮多項(xiàng), 故可在其中取得下標(biāo)大于 n k 的一項(xiàng), 記為 x nk+1. 這樣可以得到子列x nk , x nk , 滿足條件|x nk |<1, k=1, 2, 當(dāng)然 x nk (當(dāng) k 時(shí) 即x nk 為x n 的收斂子列. 2.4利用有限覆蓋定理證明單調(diào)有界原理證 :用反證法.若不然, 多任意 x a,b

18、, x 都不是a n 的極 限, 則對(duì)任意 x a,b, 堝 x 使 胰 (x, x 內(nèi)至多含有a n 的有限 項(xiàng), 作開區(qū)間集 x a,b胰 (x, x , 然后由有限覆蓋定理推出矛盾. 2.5利用有限覆蓋定理證明柯西收斂準(zhǔn)則證 8:設(shè)點(diǎn)列x n 為柯西列, 因此它有界, 證若x n 有子列 收斂則x n 收斂.設(shè)x nk 奐 x n , x nk x 0(當(dāng) k 時(shí) 存在, 即 坌 0堝 N0當(dāng) kN 時(shí)成立, |x nk x 0|<由x n 為柯西列, 所以對(duì)上面的 0堝 N 1當(dāng) m,nN 1時(shí)成立 |x n -x m | , 所以 k 充分大時(shí)有 |x n -x 0| |x n

19、k -x n |+|x nk -x 0|2.下面證明x n 有收 斂子列, 不妨設(shè)當(dāng) n m, x n x m 否則x n 有收斂子列是顯然 的, 由于x n 有界, 所以 堝 M0x n 奐 -M,M, 若x n 沒有收斂 子列, 坌 x -M,M, 堝 x 0使 I x = x-x , x+x 至多包含x n 中 的一個(gè)點(diǎn), 而 Ixx -M,M勱 -M,M由有限覆蓋定理知 堝 x 1, , x N -M,M滿足ni =1胰 I xi 勱 -M,M勱 x n , 所以x n 中只有有限個(gè)元素, 矛盾.3利用單調(diào)有界定理證明其他實(shí)數(shù)基本定理3.1利用單調(diào)有界定理證明區(qū)間套定理證 5:設(shè)a n

20、 ,b n 為一區(qū)間套.由區(qū)間套定義, a n , 并以 b n 為其上界, 因而存在 a n (當(dāng) n 時(shí) , 且 a n , n=1, 2, 同理, b n , 則數(shù)列b n 的極限為數(shù)列b n -a n 的極限與數(shù)列a n 的極限和, 所以 b n b n (當(dāng) n 時(shí) , n=1, 2, .這樣就得 a n ,b n , n=1, 2, .最后證明上述 是唯一的. 倘若另有一數(shù) ' a n ,b n , n=1, 2, , 則由 |-'| b n -a n | 0(當(dāng) n 時(shí) 推知 ='. 3.2利用單調(diào)有界定理證明確界原理證 2:設(shè)數(shù)集 X=x有上界 M 且

21、X 非空, 則 堝 x 1 X, 令記 M 為 M 1, 有 x 1 M 1若 x 1=M 1, 則 M 1為上確界, 若 x 1M 1則記 a=M 1-x 1現(xiàn)用等分區(qū)間法來構(gòu)造兩個(gè)數(shù)列, 令 y 1=1M 1+x 1 分兩種情況 1'y 1為 X 的上界則記它為 M 2若 y 1 X 則 y 1即 X 的上確界,否則 y 1埸 X 記 x 2=x 12'y 1不為 X 的上界, 則 堝 x 2 X 使 x 2y 1若 x 2是 X 的上界, 則它就是 X 的上確界, 否則記 M 2=M 1,所以或定理得證或 x 1 x 2M 2 M 1且 x 2 M 2的 a 鄰域 因?yàn)?

22、M 2-x 2 1M 1-x 2 =1a 以 x 2, M 2代替 x 1, M 1重復(fù)上述步驟得 x 3, M 3不斷重復(fù)得或者到某一部定理得證, 否則構(gòu)造的兩個(gè)數(shù)列x n , M n 他們有 x 1 x 2 x n M n M 2 M 1其中 x n X,M n 為 X 的上界且 x n M n 的 12a 鄰域, 所以M n 是一廣義單調(diào)下降且有下界數(shù)列.由單 調(diào)有界原理知它有極限 M 0. 最后證明 M 0是 X 的上確界.先 證 M 0是 X 的上界,因?yàn)?坌 x X 都有 x M n (當(dāng) n 時(shí) 取 極限得 x M 0即 M 0是 X 的上界. 再證 M 0是 X 的上界中的 最

23、小的 坌 0堝 N 1,當(dāng) nN 1時(shí)有M n 全屬于 M 0的 鄰域堝 n 0使 n 0N 1且 120a 1(這一不等式成立是因?yàn)?1 20a 是一無窮小量 所以 x n 即屬于 M n0的2n 0-2a 鄰域, 當(dāng)然屬 于 M no 的 1鄰域, 即 x n0M 0-(所以 M 0是 X 的上確界. 3.3利用單調(diào)有界定理證明有限覆蓋定理證 :用反證法.若a,b沒有有限覆蓋, 對(duì)a,b采用二等分 的方法, 構(gòu)造兩個(gè)數(shù)列a n ,b n , 其中a n ,b n 沒有有限覆蓋, 且 a n ,b n 單調(diào), 得出矛盾.3.4利用單調(diào)有界定理證明柯西收斂準(zhǔn)則證 :必要性 設(shè)limn a n

24、=A, 由極限定義, 坌 0, 堝 N, 當(dāng) n,mN 時(shí), 都有 |a m -a n |芻 .充分性 根據(jù)假設(shè), 坌 0, 堝 N,當(dāng) n N,都有 |a n -a N | 即在區(qū)間a N -,a N +內(nèi)含有a n 中除掉有限項(xiàng)外的 幾乎所有項(xiàng). 據(jù)此,令 =,則存在 N 1, 在 n N, a n a N1-1,a N1+1芻 芻 ,記 1=a N1-, =1=a N1-,令 =, 則存 在 N 2(N 2N 1使當(dāng) nN 2時(shí), a n a N2-,a N2+芻 芻 , 記 2=max1,a N2-2芻 芻 , 2=min 1,a N2+2芻 芻 則 2, 2奐 1, 1. 并 且 1

25、-1=a N1+1奐 奐 -a N1-1奐 奐 =1, 2-2 a N2+1奐 奐 -a N2-1奐 奐 = .得到 =, 得一自然數(shù)子列N k 滿足: N 1芻 N 2芻 芻 N n 芻 和單調(diào)增加數(shù)列 a n :a 1 a 2 a n a n+1 ,單調(diào)減少列 n :1 2 n ,滿足:1', n 酆 N K 時(shí), K a n 芻 K ;2', K -K .由于a n 遞增又有上界 (1便是上界 , limn a n 存在, 記成 ,即limn a n =,且 坌 n,a n ; n 遞減又有下界 (1 limn n =, 且 坌 n, n . (單調(diào)有界定理 再由n n

26、知 , 由 0 n -n 1, 知 0 limn a n =lim n b n =, 存在 N 0酆 0, 坌 n 酆 N 0, 有 |n -|酆 , |n -|<, 而應(yīng)對(duì)于a N0+1, N0+1, 存 在 自 然 數(shù) N N0+1, 當(dāng) 0酆 N N0+1, a N0+1酆 a n 酆 N0+1, 有 |a n -| maxN0+1-|, |N0+1-|芻 .據(jù)數(shù)列極限的 -N 定義, n 的極限 .8 -3.5利用單調(diào)有界定理證明致密性定理證 :首先證明有界數(shù)列a n 有單調(diào)子數(shù)列.a n 有性質(zhì) M, 若對(duì)每個(gè) in, 都有 a n a i , 也就是說, a n 是集合 a

27、i |in 的 最大數(shù) 。 分兩種情況討論: a 數(shù)列a n 有無窮多項(xiàng)具有性質(zhì) M, 將他們按下標(biāo)的順序排列, 記為 a n1, a nk , 滿足 n 1 n k ,則我們就已經(jīng)得到一個(gè)單調(diào)下降的子列a nk . b 數(shù) 列a n 只有有窮多項(xiàng)具有性質(zhì) M, 則 堝 N,當(dāng) nN 時(shí), 有 a n 不 具有性質(zhì) M, 即 堝 in, 有 a n a i 從中任取一項(xiàng)記為 a n1, 因?yàn)?它不具有性質(zhì) M, 所以 堝 n 2n 1, 使 a n1a n2 , 如此繼續(xù)下 去, 我們得到一子列a nk 單調(diào)上升, 所以有界數(shù)列a n 有單調(diào) 子數(shù)列, 由單調(diào)有界定理, 可得a nk 存在極限

28、.4利用確界原理證明其他實(shí)數(shù)基本定理4.1利用確界原理證明單調(diào)有界定理證 5:不妨設(shè)a n 為有上界的遞增數(shù)列.由確界原理, 數(shù)列 a n 有上確界, 記 a=supa n .下面證明 a 就是a n 的極限.事實(shí) 上, 任給 0, 按上確界的定義, 存在數(shù)列a n 中某一項(xiàng) a N , 使得 a-a N .又由a n 的遞增性, 當(dāng) n N 時(shí)有 a-a N a n . 另一方面, 由于 a 是a n 的一個(gè)上界, 故對(duì)一切 a n 都有 a n a a+.所以當(dāng) n N 時(shí)有 a-a n a+,這就證明了結(jié)論. 同理可證有下界的遞減數(shù)列必有極限,且其極限即為它的下 確界.4.2利用確界原理

29、證明區(qū)間套定理證明 :由定理的條件立即知道 a n 且有上界, b n 且有 下界, 由確界原理知數(shù)列a n 的極限存在, 且極限等于a n 的 上確界.通理b n 的極限存在, 且極限等于b n 的下確界.亦即 對(duì)任何正整數(shù) k, 有a k a n 的極限, b k b n 的極限 1 由定理的另一個(gè)條件:b n -a n 0(當(dāng) n 時(shí) ,并且由于a n 及b n 的極限都存在, 則有數(shù)列b n -a n 的極限等于數(shù)列b n 的 極限與數(shù)列a n 的極限差, 等于 0.從而證明了兩個(gè)極限相等,且設(shè) 是它們的同一極限. 于是定理前一部分的結(jié)果即已證得.剩下要證的是 是所有 區(qū)間的唯一公共點(diǎn)

30、.由 1 的兩個(gè)不等式, 即有a k b k k=1, 2, 也就是 是所有區(qū)間的一個(gè)公共點(diǎn).現(xiàn)在要證明 是唯 一公共點(diǎn).設(shè)除點(diǎn) 外, 所設(shè)區(qū)間列還有另一個(gè)公共點(diǎn) ', 且 '.由于 a n , ' b n n=1, 2, 故有b n -a n |-'| n=1, 2, 由數(shù)列極限的性質(zhì)知, 數(shù)列b n -a n 的極限為 0, 故有 |-'| 0, 從而有 ='.4.3利用確界定理證明有限覆蓋定理證 7:令 D=t:a tb,t,b能被 E 中的有限個(gè)開區(qū)間覆 蓋, 若我們證明 a D 則定理就得以證明.首先, 證明 D 不是空集.因?yàn)?E 勱

31、 a,b,所以 b 必屬于 E 中某個(gè)區(qū)間, 記為 , , 任取 t 0滿足 at 0b,則t 0,b奐 , , 這表示t 0,b可以 被 E 中的一個(gè)開區(qū)間覆蓋.從而 t 0, D, 這就證明了 D 不是 空集.因?yàn)?D 總是包含在a,b中的, 所以 D 是有界集, 所以由 確界存在定理知 D 有下確界, =infD,因?yàn)?a 是 D 的下界, 所以 a .第二部, 證明 a=, 實(shí)際上若 a 由 a,b奐 E ,所以 必屬于 E 中某個(gè)區(qū)間, 記為 ', ' 從而有 ' '.由 是 D 的下確界, 所以, '中必存在某個(gè) t' D, 現(xiàn)在,

32、在 ', 中任取一個(gè) t 0 a, b a, 這樣的 t 0總是存 在的 由t 0,t'奐 ', ' Et', b可以被 E 中的有限個(gè)開區(qū)間 覆蓋, 所以 t 0 D,所以 t 0 =infD 這和 t 0 ', 矛盾, 所以 a=infD 最后證 a D. 因?yàn)?a a,b奐 E 知 E 中存在開區(qū) 間, 記 ", " , 使 "a ",因?yàn)?a=infD,所以在 a, " 中必 存在 t" D 因?yàn)閍, t"奐 ", " , t", b可以被

33、 E 中的有限個(gè) 開區(qū)間覆蓋所以a,b=a, t" t", b可被 E 中的有限個(gè)開區(qū) 間覆蓋所以 a D.4.4利用確界定理證明致密性定理證 :設(shè)數(shù)列x n 是有界數(shù)列.定義數(shù)集 A=x|x n 中大于 x 的點(diǎn)有無窮多個(gè) 因?yàn)閤 n 有界所以 A 有上界且非空.由確界 定理可得存在 r, 使 r=supA, 則 坌 0有 r-不是 A 的上界. 所以x n 中大于 r-的項(xiàng)有無窮多個(gè).因?yàn)?r+是 A 的上界, 所以x n 中大于 r+的項(xiàng)只有有限項(xiàng).所以在 r-, r+ 中有 x n 的無窮多項(xiàng), 即 坌 0, 坌 n, 堝 nN, 使 x n r-, r+ 對(duì) =1

34、, 堝 n 1, 使 x n r-1, r+1 , 即 |x n -r|1.取 =1, 堝 n 2n 1, 有 |x n -r| 1, 如此繼續(xù)下去, 取 =1, 堝 n k n k-1, 有 |x n -r| , 由此得到x n 的子數(shù)列x nk , x nk 的極限是 r, 所以x n 存在 收斂子列.4.5利用確界定理證明柯西收斂準(zhǔn)則證 :設(shè)a n 為柯西列, 則易證a n 有界, 由確界a n 存在定 理, 設(shè) =supn 酆 Na n , 則 即為 a n 的極限.5利用柯西收斂準(zhǔn)則證明其他實(shí)數(shù)基本定理5.1利用柯西收斂準(zhǔn)則證明區(qū)間套定理證 3:設(shè)a n ,b n 是滿足區(qū)間套定理兩

35、個(gè)條件的閉區(qū)間 列, 容易知道 a n , b n , a n b n n, m=1, 2, 所以對(duì)任意 n N,任意 p N,有 |a n+p -a n |=a n+p -a n b n -a n ;且對(duì) 坌 0, 堝 N N, 坌 nN:0 b n -a n 。 對(duì)于上述的 與 N, 坌 nN, 坌 p N 時(shí)有 |a n+p -a n | ,由柯西收斂準(zhǔn)則知數(shù)列收斂, 記 a n 當(dāng) n 時(shí) 則數(shù)列b n 的極限為數(shù)列 b n -a n 的極限 與數(shù)列a n 的極限和, 所以 b n 當(dāng) n 時(shí) .由 a n , b n 知 a n ,b n .最后證明上述 是唯一的. 倘若另有一數(shù) &

36、#39; a n ,b n , n=1, 2, , 則由 |-'| b n -a n 0 當(dāng) n 時(shí) 推知 ='. 9 -5.2利用柯西收斂準(zhǔn)則證明單調(diào)有界定理證 5:設(shè)a n 為有上界 M 的遞增數(shù)列.用反正法 借助柯西 準(zhǔn)則 可以證明:若a n 無極限, 則可找到一個(gè)子列a nk 以 + 為其廣義極限, 從而與a n 有上界相矛盾.現(xiàn)在來構(gòu)造這樣的 a nk .首先, 對(duì)于單調(diào)數(shù)列a n 而言, 柯西條件可改述為:“ 坌 0, 堝 N N, 當(dāng) nN 時(shí), 滿足 |a n -a N | ” .這是因?yàn)樗瑫r(shí) 保證了對(duì)一切 nmN, 恒有 |a n -a m | |a n -

37、a N | .由于假設(shè)a n 無極限, 故由上述柯西條件的否定陳述, 必 存在某個(gè) 00,對(duì)無論多大的 N,均有某個(gè) nN, 使 |a n -a N |=a n -a N 0.依次取N 1=1, 堝 n 1N 1, 使 a n1-a 1 0;N 2=n 1, 堝 n 2N 2, 使 a n2-a n1 0;N k =n k-1, 堝 n k N k , 使 a nk -a nk-1 0.把 k 個(gè)不等式相加,得到 a nk -a nk-1 k 0.由此易知, 當(dāng) k M-a時(shí), 可使 a nk M, 矛盾.所以單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 5.3利用柯西收斂準(zhǔn)則證明確界原理證 3:設(shè) S 是一個(gè)有上

38、界的集合.取實(shí)數(shù) b 1, 使對(duì)所有 x S,都有 xb 1.取 a 1 S 并考察區(qū)間a 1,b 1的中點(diǎn) a +b , 若 是 S 的上界, 則令 a 2=a 1, b 2=; 若 不是 S 的 上界, 則令 a 2=, b 2=b 1.于是總可得到區(qū)間a 2,b 2, 使 b 2是 S 的上界.a 2,b 2中有 S 的點(diǎn)且 b 2-a 2=1b 1-a 1 .再對(duì)閉區(qū)間a 2,b 2進(jìn)行同樣的處理, 又可得到閉區(qū)間a 3, b 3奐 a 2,b 2, 使得 b 3是 S 的上界, a 3,b 3中有 S 的點(diǎn)且 b 3-a 3= 1b2-a 2 =1b 1-ma 1 .繼續(xù)這個(gè)過程,

39、可得到一個(gè)閉區(qū)間 的序列a n ,b n , 滿足下列條件: 1 a n+1,b n+1奐 a n ,b n , n=1, 2, ; 2 b n -a n =1b 1-a 1 , n=1, 2, ; 3 對(duì)每個(gè) n N, b n 是 S 的上界且a n ,b n S 空集, 由 1 和 2 知,當(dāng) mn 時(shí)有 |b m -b n |=b m -b n b n -a n =1 b 1-a 1 , 可見b n 為柯西列, 由柯西收斂原理知b n 收斂, 設(shè) b n 的極限為 M.任意 x S 和任意 n N, 均有 x b n , 所以 x M 即 M 為 S 的上界.另一方面, 對(duì) 坌 0, 由

40、于 b n -a n 的 極限為 0, 所以有 n 0使 b n0-a n0 , 又因?yàn)?b n0 M,所以, a n0 b n0- M-, 由 3 知a n0,b n0中有 S 的點(diǎn), 這表明 M-不是 S 的上界, 所以 S 是 M 的上確界, 所以 2 成立.5.4利用柯西收斂準(zhǔn)則證明有限覆蓋定理證 :用反證法.若a,b沒有有限覆蓋, 對(duì)a,b采用二等分 方法構(gòu)造數(shù)列a n 和b n , a n ,b n 沒有a n ,b n 有限覆蓋, a n 和b n 為柯西列, 從而收斂且limn a n =limn b n =則 a,b由極限的局 部保號(hào)性及a n ,b n 的構(gòu)造推出矛盾.5.

41、5利用柯西收斂準(zhǔn)則證明致密性定理證 :設(shè)數(shù)集 A 非空有上界, b 1是 A 的上界, a 1不是 A 的 上界, a 1b 1, 用 a 1, b 1的中點(diǎn) 1(a 1+b 1二等分a 1,b 1, 若 1 (a 1+b 1是 A 的上界, 則取a 2,b 2=a 1, (a 1+b 1, 如果 (a 1+b 1不 是 A 的上界, 則取a 2,b 2=(a 1+b 1, b 1, 用 (a 1+b 1二等分a 2, b 2,如此繼續(xù)下去的數(shù)列, a n , b n 滿足 坌 n, a n 不是 A 的上 界, b n 是 A 的上界且 b n -a n 的極限為 0.下證a n 是柯西列

42、。 因?yàn)?b n -a n 的極限為 0, 即 坌 0, 堝 N, 當(dāng) nN, 有 |b n -a n | .又 a n a n+1 b n+1 b n , 從而 坌 正整數(shù) p, |a n+p -a n | |b n -a n | , 所以a n 是柯西列, 從而收斂, 設(shè)a n 的極限為 r.最后證 r=supA 。 坌 n, a n 不是 A 的上界, 所以 坌 a A, 使 a n a.由a n 的極限為 r, 則 坌 0, 堝 N, 當(dāng) nN, 有 r-a n ar,所以 r=supA6利用致密性定理證明其他實(shí)數(shù)基本定理6.1利用致密性定理證明柯西收斂準(zhǔn)則證 11:必要性:設(shè) a n

43、 a 當(dāng) n 時(shí) , 則 坌 0, 堝 N N, 當(dāng) kN 時(shí), 有 |x n -a| , 從而當(dāng) n, mN 時(shí), 有|x n -x m | |x n -a|+|a-x m | +=充分性:首先證明滿足條件的任何數(shù)列必有界.從所設(shè) 條件, 取 =1, 必有一正整數(shù) N 0, 當(dāng) n, mN 0時(shí), 有 |x n -x m |1特別地, nN 0且 m=N 0+1時(shí), 有 |x n -x n0+1|1所以當(dāng) nN 0時(shí), 有 |x n | |x n -x n0+1|+|x n0+1| 1+|x n0+1|這就證明了x n 的有界性.由致密性定理, 必有收斂子列 x nk , x nk a 當(dāng)

44、k 時(shí) , 根據(jù)子列收斂定義, 坌 0, 必有 一正整數(shù) K, kK 時(shí), 有 |x nk -a| 取一正整數(shù) k 0=max K+1, N+1 . 于是 k 0K,且 n k0 n k+1 N+1N.因此, 當(dāng) nN 時(shí), 由已知條件知 |x n -x nk0| , 所以 |x n -a| |x n -x nk0|+|x nk0-a| +=2x n a 當(dāng) n 時(shí)6.2利用致密性定理證明單調(diào)有界原理證 11:設(shè)x n 是單調(diào)上升有上界的實(shí)數(shù)列.因?yàn)閤 n 有界, 由致密性定理可得, 堝 x n 的子數(shù)列x nk 且收斂于 r,即 坌 0, 堝 K, 當(dāng) kK 時(shí), 有 |x n -r| , 即 r-x n r+, 堝 N=n k+1, 坌 nN, 有 x n x nk+1r-.因?yàn)?n k , 坌 nN, 堝 n k n, 從 而