第十七章 隱函數(shù)存在定理_第1頁
第十七章 隱函數(shù)存在定理_第2頁
第十七章 隱函數(shù)存在定理_第3頁
第十七章 隱函數(shù)存在定理_第4頁
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文檔簡介

第十七章 隱函數(shù)存在定理例1 設(shè)， 及 ，證明 證 方程組 確定了函數(shù)組 ，先求這個(gè)函數(shù)組對(duì)各變?cè)钠珜?dǎo)數(shù)，為此，對(duì)方程組求微分得， 即 故 將函數(shù)組代入方程，得關(guān)于變?cè)姆匠?，在這方程兩邊分別對(duì)求偏導(dǎo)，得 將上面三式分別乘以后再相加，得 將，代入即得。例2 若有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，滿足方程，證明：若把中看成的函數(shù)，則它滿足同樣形狀的方程 。證 由確定是的函數(shù)，則有，方程兩邊分別對(duì)求偏導(dǎo)，得 （1） （2）(1) 式再分別對(duì)求偏導(dǎo)，得 (3) （4）(2)式再對(duì)求偏導(dǎo)，得 （5）由（3）（5）式 (由（5）式)由（4）式 因?yàn)?，則 結(jié)合（4）式得 即 。 例3 設(shè) ，問什么條件下是的函數(shù)啊？求。解 當(dāng)對(duì)各變?cè)羞B續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且時(shí)，方程組可確定函數(shù)組，代入即得是的函數(shù) 。對(duì)方程組 求微分，得 記，若，由（2）（3）式 代入（1）得 故 ， 注 利用一階微分形式不變性來求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，會(huì)使計(jì)算簡單一些。

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