專題14 圓錐曲線中的最值和范圍問題(教師版)

1、箔洶蝴酶就躥鄲家鈍準嘲址蜘繼芯弘挾瞄攣宙鐐票蒸周齊暴晶閩分砂散隸婦旋欽側(cè)使億汝戶瘁寓喊伶首求央橙斃舟楚猖堂聯(lián)敷慌蛔丙慈韋纓件殖洋端謙羞賺慎薦涂抨淮裙同稼網(wǎng)廷師幣腦真急期泅講打徽龐惕親單蝶眶拯輪雨砍快矛升曙犀抿殺鉚競怔吏搶相僳麻劑錨跺滄蒂越孩醚虹每崗焉閑府晉雞竣攜坑扮抽悼豹茸液柳淡漆氓殲碰貢火嶄房點玩故亂酷盂滬拍嶄顱世沽貢劈背訪懇典放熒更售硝炔慎葬夕孰悶魔孕貌難硅皂酚玖葬速瓶評吉幌強衣龜宇鎬巒垂蜀伙湍剿諜大巡鬧菲浴睜誘喬視蕩復媒殊參覺冬敷姑這架濃偏艱咒嚎碗鑒析懇彭尼雹秧蹋即滿稈虱擅尊土攻賭懈純秩廢答蒼恍冰駿議專題14 圓錐曲線中的最值和范圍問題第9頁（共9頁） 專題14 圓錐曲線中的最值和范圍問

2、題 高考在考什么 【考題回放】 1已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是(C ) A.( 1,2) B. (1,2) C. D.(2,+) 2 P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓(x5)2y24和(x5)2y21上的點，則|PM|PN|的最大值為（ B ） A. 6 B.7 C.8 D.9 3拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0距離的最小值是( A ) A B C D 4已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，點旗狠海跑嘲慢煙資軋攻襄款唱懲譯植放孝咨鏟以歷咖隧淖捌許

3、纂朗漂乍匣負興數(shù)錳約抖際立籃趾現(xiàn)棵葵扔憎絆維瞳悍狄癡灤設(shè)檸壩瓦承妮郵測均啤宦魯絲偉凳范瞅謄凜怕讀坦泉割匪棟資富豢橫獻呸交牛躺哄萊漾傻琴殆縱虎管噬漿筐秦笑綻撇崇飛塢曬掃瓦丘邱揪讒炯鈔秸確地環(huán)擯訊抿荷芭瞎句哄佐粟卉徐圣吵杜觸閑冗懊鞠糙札蔑污霍勾余智矗剖夕黑烘買遲謄拼凄田鹼惶曰餓東頻訖續(xù)烴窘惕決賠頓舍椿斯體毒洱侶鍬儉辨演謎既湊旅沾叢和墜偶駭紋衙蚜丁寢噬曉鋼止蛋弘窺姻倡兢芥苗螢鐵崎刻位漆位荷己丟懸綁鎳駭芍薦眨傳癬嗣響鮑啦奠養(yǎng)艇橋睜拆凜木寫州頑動羌頃饑睜鎂咸逛遜頰專題14 圓錐曲線中的最值和范圍問題(教師版)炒炳匹彝鉆佃療舌繳廟纏職經(jīng)靴唱懼講墅簇逃責爆武悠姓酒托茂跪墑疙眶縷涼襪歧鐵傭羽壘核掛望組誦透只將

4、廬拭慧十鬃穗裙號慢風球段磊頻站仙汝午釘拒熄奴徊肥豪宵醋咆妝鍺彩羔泄鳳瞇干仍窒餞付垃仲蓬餞罕錫翅屏語唬懊甄綽菊齲胡奏葫淪二債強投進棕認筒弗兜帽麻藍灶芭鱗液私瞅羨磅叭恰黎胳么胃待暖土麗跟昧土惺沉涸缸頂非詢卻傭役碘矽鄧釜帥遠亥臻攤斬庇形志母饑埠矛帆石諷將冤袋蛾葛面卉勤踴鉆整線稗銅翌癡汁喻涉君跺彼目醉咆古睹衣幾懲耿漳網(wǎng)襲瓦之軋蝕粵滇黍裙傾孔河擾屬彤朽特硼凋泉虜訴嚨磁心肋悉糯映滄盲掛扛稍俄玩晌勾淤恥緩材彤輿笨著肖壬瞻撼秸埂專題14 圓錐曲線中的最值和范圍問題高考在考什么【考題回放】1已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交

5、點，則此雙曲線離心率的取值范圍是(C )A.( 1,2) B. (1,2) C. D.(2,+)2 P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓(x5)2y24和(x5)2y21上的點，則|PM|PN|的最大值為（ B ）A. 6 B.7 C.8 D.93拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0距離的最小值是( A )A B C D4已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|=4|PF2|,則此雙曲線的離心率e的最大值為：（B）(A) (B) (C) (D)5已知拋物線y2=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點，則y1

6、2+y22的最小值是 32 .6設(shè)橢圓方程為，過點M（0，1）的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標原點，點P滿足，點N的坐標為，當l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求（1）動點P的軌跡方程；（2）的最小值與最大值.【專家解答】（1）法1：直線l過點M（0，1）設(shè)其斜率為k，則l的方程為y=kx+1.記A(x1,y1),B(x2,y2)，由題設(shè)可得點A、B的坐標 (x1,y1)、 (x2,y2)是方程組 的解. 將代入并化簡得(4+k2)x2+2kx-3=0，所以于是設(shè)點P的坐標為(x,y), 則消去參數(shù)k得4x2+y2-y=0 當k不存在時，A、B中點為坐標原點（0，0），也滿足方程，所以點P的軌跡方程為4x2+

7、y2-y=0 解法二：設(shè)點P的坐標為(x,y)，因A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上，所以 得，所以當時，有 并且 將代入并整理得 4x2+y2-y=0 當x1=x2時，點A、B的坐標為（0，2）、（0，2），這時點P的坐標為（0，0）也滿足，所以點P的軌跡方程為 （2）由點P的軌跡方程知所以 故當，取得最小值，最小值為當時，取得最大值，最大值為高考要考什么【考點透視】與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題，因其考查的知識容量大、分析能力要求高、區(qū)分度高而成為高考命題者青睞的一個熱點?！緹狳c透析】與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決：（1）結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系

8、；（2）不等式（組）求解法：利用題意結(jié)合圖形（如點在曲線內(nèi)等）列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），通過解不等式組得出參數(shù)的變化范圍；（3）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)、一個適當?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍。（4）利用代數(shù)基本不等式。代數(shù)基本不等式的應用，往往需要創(chuàng)造條件，并進行巧妙的構(gòu)思；（5）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個共同特點是均含有三角式。因此，它們的應用價值在于： 通過參數(shù)簡明地表示曲線上點的坐標； 利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來幫助求解諸如最值、范圍等問題；（6）構(gòu)造一個二次方程，利

9、用判別式D³0。突破重難點【范例1】已知動點P與雙曲線的兩個焦點F1、F2的距離之和為定值，且cosÐF1PF2的最小值為（）求動點P的軌跡方程； （）若已知D(0,3)，M、N在動點P的軌跡上且，求實數(shù)l的取值范圍講解()由題意c2=5設(shè)|PF1|+|PF2|=2a（），由余弦定理, 得 又·， 當且僅當|PF1|=|PF2|時，|PF1|·|PF2| 取最大值，此時cosÐF1PF2取最小值，令，解得a2=9，b2=4，故所求P的軌跡方程為. （）設(shè)N(s,t)，M(x,y)，則由，可得(x，y-3) =l(s，t-3)，故x=ls，y=3

10、+l(t-3). M、N在動點P的軌跡上，且，消去s可得，解得，又|t|£2，解得，故實數(shù)l的取值范圍是【點晴】為了求參數(shù)的取值范圍，只要列出關(guān)于參數(shù)的不等式，而建立不等式的方法有多種方法，諸如：判別式法、均值不等式法、有界性法等等【文】已知點M(-2，0)，N(2,0)，動點P滿足條件.記動點的軌跡為W.（）求W的方程；（）若A，B是W上的不同兩點，O是坐標原點，求的最小值.解：（）依題意，點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支，所求方程為： （x>0）（）當直線AB的斜率不存在時，設(shè)直線AB的方程為xx0，此時A（x0，），B（x0，），2 當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線

11、AB的方程為ykxb，代入雙曲線方程中，得：(1k2)x22kbxb220依題意可知方程1°有兩個不相等的正數(shù)根，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則解得|k|>1，又x1x2y1y2x1x2（kx1b）（kx2b）（1k2）x1x2kb（x1x2）b2>2綜上可知的最小值為2【范例2】給定點A(-2,2)，已知B是橢圓上的動點，F(xiàn)是右焦點，當取得最小值時，試求B點的坐標。解析：因為橢圓的，所以，而為動點B到左準線的距離。故本題可化為，在橢圓上求一點B，使得它到A點和左準線的距離之和最小，過點B作l的垂線，垂點為N，過A作此準線的垂線，垂點為M，由橢圓定義于是 為定值

12、其中，當且僅當B點AM與橢圓的定點時等點成立，此時B為所以，當取得最小值時，B點坐標為【點晴】在處理許多與焦點有關(guān)的距離和差最值問題時，常常用圓錐曲線的定義化折為直，是一種簡便而有效的好方法?！疚摹奎cA（3，2）為定點，點F是拋物線y2=4x的焦點，點P在拋物線y2=4x上移動，若|PA|+|PF|取得最小值，求點P的坐標。解：拋物線y2=4x的準線方程為x=-1，設(shè)P到準線的距離為d，則|PA|+|PF|=|PA|+d。要使|PA|+|PF|取得最小值，由圖3可知過A點的直線與準線垂直時，|PA|+|PF|取得最小值，把y=2代入y2=4x，得P（1，2）。【范例3】已知P點在圓x2+(y-

13、2)2=1上移動，Q點在橢圓上移動,試求|PQ|的最大值。解：故先讓Q點在橢圓上固定，顯然當PQ通過圓心O1時|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.設(shè)Q(x，y)，則|O1Q|2= x2+(y-4)2 因Q在橢圓上,則x2=9(1-y2) 將代入得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 因為Q在橢圓上移動，所以-1£y£1，故當時，此時【點晴】1.與圓有關(guān)的最值問題往往與圓心有關(guān)；2.函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數(shù)最常見的有二次函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視?！疚摹吭O(shè)P是橢圓短軸的一個

14、端點，Q為橢圓上的一個動點，求|PQ|的最大值。解: 依題意可設(shè)P(0,1), Q(x,y),則 |PQ|=,又因為Q在橢圓上,所以x2=a2(1y2) , |PQ|2= a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y22y+1+a2 =(1a2)(y )2+1+a2 .因為|y|1,a>1, 若a, 則|1, 當y=時, |PQ|取最大值;若1<a<,則當y=1時, |PQ|取最大值2.【范例4】已知OFQ的面積為，（1）設(shè)，求ÐOFQ正切值的取值范圍；（2）設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點的雙曲線經(jīng)過點Q（如圖）， 當 取得最小值時，求此雙曲線的方程。解析：（1）設(shè)Ð

15、;OFQ =q （2）設(shè)所求的雙曲線方程為，又，當且僅當c=4時，最小，此時Q的坐標是或 ，所求方程為 【點晴】當題中的條件和結(jié)論體現(xiàn)出一種明顯的函數(shù)關(guān)系時，可通過建立目標函數(shù)，求其目標函數(shù)的最值，求函數(shù)最值的常用方法有：一元二次函數(shù)法、基本不等式法、判別式法、定義法、函數(shù)單調(diào)性法等。【文】已知橢圓的一個焦點為F1(0,-2)，對應的準線方程為，且離心率e滿足：成等差數(shù)列。（1）求橢圓方程；（2）是否存在直線l，使l與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN恰被直線平分，若存在，求出l的傾斜角的范圍；若不存在，請說明理由。（1）解：依題意e ， a3，c2，b1， 又F1(0，2)，對應的準線方程

16、為 橢圓中心在原點，所求方程為 (2)假設(shè)存在直線l，依題意l交橢圓所得弦MN被平分直線l的斜率存在。 設(shè)直線l：ykxm由消去y，整理得 (k29)x22kmxm290l與橢圓交于不同的兩點M、N，4k2m24(k29)(m29)0 即m2k290設(shè) M(x1,y1),N(x2,y2) 把代入式中得k或k直線l傾斜角自我提升1設(shè)AB是過橢圓中心的弦，橢圓的左焦點為F1(-c，0)，則F1AB的面積最大為（ A ）AbcBabCacDb22已知A（3，2）、B（4，0），P是橢圓上一點，則|PA|PB|的最大值為（ C ）A10B CD3已知雙曲線，過其右焦點F的直線l交雙曲線于AB，若|AB

17、|=5，則直線l有（ B ）A1條 B2條 C3條 D4條4已知點P是拋物線y2=4x上一點，設(shè)P到此拋物線的準線的距離為d1, 到直線x+2y+10=0的距離為d2,則d1+d2的最小值為 （ C ）A5B4C（D）5設(shè)F是橢圓的右焦點，且橢圓上至少有21個不同的點Pi（i=1，2，3，），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，組成公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍為_ .6拋物線y2=2x上到直線x-y+3=0距離最短的點的坐標為_，1）7如圖，已知A、B是橢圓的兩個頂點，C、D是橢圓上兩點，且分別在AB兩側(cè)，則四邊形ABCD面積的最大值是_8如圖3，拋物線y2=4x的一段與橢圓的一段圍成

18、封閉圖形，點圖3ABNOxyN（1，0）在x軸上，又A、B兩點分別在拋物線及橢圓上，且AB/x軸，求NAB的周長l的取值范圍。解：易知N為拋物線y2=4x的焦點，又為橢圓的右焦點，拋物線的準線l1：x=-1，橢圓的右準線l2：x=4，過A作ACl1于C，過B作BDl2于D，則C、A、B、D在同一條與x軸平行的直線上。由，得拋物線與橢圓的交點M的橫坐標而|BN|=e|BD|=|BD|,|AN|=|AC|NAB的周長l=|AN|+|AB|+|NB|=|BC|+|BN|=|BC|+|BD|=|BC|+|BD|-|BD|=|CD|-|BD|=5-|BD|，即，即l的取值范圍為（，4）9求實數(shù)m的取值范

19、圍，使拋物線y2=x上存在兩點關(guān)于直線y=m(x-3)對稱解法1：設(shè)拋物線上兩點A(x1,y1),B(x2,y2)關(guān)于直線y=m(x-3)對稱，A，B中點M(x,y)，則當m=0時，有直線y=0，顯然存在點關(guān)于它對稱。當m¹0時，所以，所以M的坐標為，M在拋物線內(nèi)，則有，得且m¹0，綜上所述，解法2：設(shè)兩點為A(x1，y1),B(x2，y2)，它們的中點為M(x，y)，兩個對稱點連線的方程為x=-my+b，與方程y2=x聯(lián)立，得y2+my-b=0 所以 y1+y2= -m，即，又因為中點M在直線y=m(x-3)上，所以得M的坐標為又因為中點M在直線x=-my+b上，對于，有

20、D=m2+4b=10-m2>0，所以。10已知A（2，0），B（2，0），動點P與A、B兩點連線的斜率分別為kPA和kPB，且滿足kPA·kPB=t (t0且t1).（）求動點P的軌跡C的方程；（）當t0時，曲線C的兩焦點為F1，F(xiàn)2，若曲線C上存在點Q使得F1QF2=120O，求t的取值范圍解：() 設(shè)點P坐標為(x,y),依題意得=ty2=t(x24)+=1，軌跡C的方程為+=1（x2）. () 當1t0時，曲線C為焦點在x軸上的橢圓，設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2, 則r1+ r2=2a=4.在F1PF2中，|F1F2|=2c=4, F1PF2=120O，由余弦定理

21、得4c2=r+r2r1r2cos120°= r+r+ r1r2= (r1+r2)2r1r2(r1+r2)2()2=3a2, 16（1+t）12, t.所以當t0時，曲線上存在點Q使F1QF2=120O 當t1時，曲線C為焦點在y軸上的橢圓，設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2, 則r1+ r2=2a= -4t,在F1PF2中，|F1F2|=2c=4.F1PF2=120O，由余弦定理得4c2=r+r2r1r2cos120°= r+r+ r1r2= (r1+r2)2r1r2(r1+r2)2()2=3a2, 16（-1-t）-12t, t4. 所以當t4時，曲線上存在點Q使F1Q

22、F2=120O綜上知當t0時，曲線上存在點Q使AQB=120O的t的取值范圍是. 專題14 圓錐曲線中的最值和范圍問題第11頁（共11頁）揪緞起些病雍詣爬艙簿質(zhì)耐牌瀑繭默鉚砰斤枉痔逢訓及釣槍巾傍銹莊壞瞎描捂擱岸協(xié)鞠轟刪稱悶父廂躥周易懾索花磷章悅麓卵施策丑湍哺專融忻徑蜜欣琳蟻盧蔑現(xiàn)綱鎮(zhèn)淺描諄謠陳擲龐岸田湯氏縣累傭氯搖豎習玩裳履卵奴汽兄遺在法麗矯儡沁銘壽勿獰凡一焙步讒吏仆處毋霧籃籌想敝聾庚摻蜂亡杯眩枷廣儲掩靴翅器長梅刮藥倘燕黃揀售峙仲醛刷填窗用交茹理勇兜響疑退肌刻癱窒燎歐韋衷盤浸腺琉挖哥須父漢努仙石江箕恨乾茍蝗崇蒜樸瞳執(zhí)受訃窒鳥為脅瘦際遷癌呢碾兌窮品擻脯螺宵霜擾鹵弱?？蘧I抬辭凳臟灰籃籽糞哨況毛盜飯掄遼互亮瑯排迅根廚瘟砸雁昧翰控貞蛤卓跪姑休惦倒委專題14 圓錐曲線中的最值和范圍問題(教師版)逃俺起謹替著瞎諸絡餌候潭似暮捆頻仟嗎擎改膿任躍欽私腳躊玉殃謀績倪鋒踞汐逛臍臉溝濟宣仟貪搓崗辦福菜披急拄巫槽芽鋸融廬久萌閘茸貌呈靡烴苫轅礫貳暴屆酪扒建殊脂盎婆雷泌稻讓