數(shù)學(xué)分析冪級(jí)數(shù)

1、第十四章事級(jí)數(shù)1 0時(shí)§ 1哥級(jí)數(shù)4時(shí)QOQ0哥級(jí)數(shù)的一般概念 .型如£ anx-x0n和 £ anxn的哥級(jí)數(shù).哥級(jí)數(shù)由系數(shù)數(shù)列 n =0n =0oOan唯一確定.哥級(jí)數(shù)至少有一個(gè)收斂點(diǎn).以下只討論型如 £ anXn的哥級(jí)數(shù).n ：0哥級(jí)數(shù)是最簡單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之一.1. 幕級(jí)數(shù)的收斂域：Th 1 Abel定理假設(shè)哥級(jí)數(shù) Z anxn在點(diǎn)x = x=0收斂,那么對(duì)滿足不等式|x|<|x|的任 何,哥級(jí)數(shù)£ an xn收斂而且絕對(duì)收斂；假設(shè)在點(diǎn) x = x發(fā)散,那么對(duì)滿足不等式| x | > 17|的任 何,哥級(jí)數(shù)Z anxn發(fā)散.

2、一n -nnn . .- n . . x .n . . . n .證乙 anx 收斂, anx 有界.設(shè) | anx |,有 | anx |二| anx | '| = | W Mr ,其中 xr 弓 x | ：1. % Mrn :-2 | anxn | ：二. x定理的第二局部系第一局部的逆否命題.哥級(jí)數(shù) 工anxn和Z anxx0n的收斂域的結(jié)構(gòu)定義募級(jí)數(shù)的收斂半徑R.收斂半徑R的求法.Th 2對(duì)于哥級(jí)數(shù)Z anxn ,假設(shè)P,那么八一-1_1>0<P<時(shí),；ii> 時(shí) R=y ； iii> + g 時(shí) R = 0.證nim：n|anxn| =nim：n

3、 |an|x尸P |x |,強(qiáng)調(diào)開方次數(shù)與的次數(shù)是一致的.la I .由于lim = p= lim*an | = P,因此亦可用比值法求收斂半徑n_；.：|an|1哥級(jí)數(shù)an anxn的收斂區(qū)間：R, R.哥級(jí)數(shù)Z anxn的收斂域：一般來說,收斂區(qū)間收斂域.哥級(jí)數(shù)an anxn的收斂域是區(qū)間(R,R)、(R,R、 R, R)或R, R之一.n(-1,1)(-1,1)例1求哥級(jí)數(shù)工.的收斂域.nx2xn例2 求帚級(jí)數(shù)x+的收斂域2n例3求以下哥級(jí)數(shù)的收斂域：n工; 工n!xn .n ：S n!n zS,二x-1n例4求級(jí)數(shù)工x / 的收斂域.nzS 2 nEx1 P5S511.2. 幕級(jí)數(shù)的一

4、致收斂性：Th 3假設(shè)哥級(jí)數(shù)£ anxn的收斂半徑為,那么該哥級(jí)數(shù)在區(qū)間-R,R內(nèi)閉一致收斂證a,b -R, R,設(shè)X = max|a|,|b|,貝 U對(duì) Vxw a,b,有. n . . n .-nnI anx |E|anx |,級(jí)數(shù)Z an x絕對(duì)收斂,由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法 帚級(jí)數(shù) 乙anx在a,b 上一致收斂.因此,哥級(jí)數(shù)工anxn在區(qū)間-R, R內(nèi)閉一致收斂Th 4設(shè)備級(jí)數(shù)£ an xn的收斂半徑為AS,且在點(diǎn)x=R或* = R 收斂,那么哥級(jí)數(shù)工anxn在區(qū)間S, R或R,S上一致收斂-nXTn7X'門一一_證anx =anR . £ anR收斂,函數(shù)

5、列一 i '在區(qū)間0,R上遞減且一致有 gW j界,由Abel判別法,哥級(jí)數(shù)工anxn在區(qū)間0, R 上一致收斂.易見,當(dāng)哥級(jí)數(shù)Z anxn的收斂域?yàn)镽,R0時(shí),該哥級(jí)數(shù)即在區(qū)間-R, R上一致收斂.三.幕級(jí)數(shù)的性質(zhì)：1 .逐項(xiàng)求導(dǎo)和積分后的級(jí)數(shù)：,：二 Xnn .1nann: d僅 Z anX =工 nanX , g 0 ant dt =£ x ,n =1n3n 1n=1 n ' 1*和*仍為哥級(jí)數(shù).我們有Th 5 *和*與工anxn有相同的收斂半徑.簡證注：*和*與工anXn雖有相同的收斂半徑因而有相同的收斂區(qū)間,但未必有相同的收斂域,例如級(jí)數(shù)工.2 .哥級(jí)數(shù)的運(yùn)

6、算性質(zhì)：00CO定義兩個(gè)哥級(jí)數(shù)Z anXn和工bnXn在點(diǎn)X = 0的某鄰域內(nèi)相等是指：它們在該鄰域內(nèi)收 n =0n =0斂且有相同的和函數(shù).QOQ0Th 6anXnbnXn ：= an = bn , 1 m：二. n=0n =0QOQOTh 7設(shè)備級(jí)數(shù)Z anXn和工bnXn的收斂半徑分別為和,R = minRa, Rb,那么 n z0n =0i >2 九anxn =九工 anxn ,| x| < Ra ,九一常數(shù),九.0.ii 、anxn + y bnxn y (an bn )xn,| x 卜：R.n fn =0n =0二二二二二二n值> (' anXn )( 7

7、 bnXn ) %. CnX:冊=' amn *,| X | ：二 R.n 0n On Ok =03.和函數(shù)的性質(zhì)：oOTh 8 設(shè)在(一R, R)(>0)內(nèi) £ anXn f(x).那么 n =0i > f (X)在(-R, R)內(nèi)連續(xù)；ii >假設(shè)級(jí)數(shù)z anRn或Z an(R)n收斂,那么f (x)在點(diǎn)x= R(或* = R)是左(或右) 連續(xù)的；iii> (R,R), f(X)在點(diǎn)可微且有 f'(X)f nanXn； n 1X: aiv>對(duì)(_R, R), f (X)在區(qū)間0,X上可積,且 f(t)dt=£ -an-Xn

8、 .0nA n 1注：當(dāng)級(jí)數(shù)工一Rn*收斂時(shí),無論級(jí)數(shù)工anXn在點(diǎn)X = R收斂與否,均有 n £ n,1n 王R0 f(t)dt =JaRn1n王n 1這是由于二 a 一由級(jí)數(shù)z _an_Rn*收斂,得函數(shù) n=0 n 1f (t)dt =£ 芻一Xn由在點(diǎn) X = R 左連續(xù),因此有R f (t)dt =Z a- Rn+ .n=0 n - 10n=0 n - 1推論1和函數(shù)f (X)在區(qū)間(- R,R )內(nèi)任意次可導(dǎo),且有f (x) a1 +2a2X + +nanXn +,f(n) (x) =n!an (n 1)!an iX .注：由系1可見,f(X)是哥級(jí)數(shù)的和函數(shù)

9、的必要條件是f (x)任意次可導(dǎo)OO推論2假設(shè)Z anxn f (x),那么有n =0a0 = f (.),ai =, a212!n!2n xn例5驗(yàn)證函數(shù)f(x)=£ 滿足微分方程y“ y' 2y =0, xw R .n月n!驗(yàn)證所給哥級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?二,二.O0f (x)= '、n z12n(n -1)!cd=£n z02n,nn!QO2、n=02nn!= 2f(x).f "(x) =2f (x) =4f(x),代入,y" y' 2y = 0.12n例 6 由于=1 +x +x +x +,x= (-1, 1).1 -x1所以2

10、 =1 2x 3x2nxn,x (-1, 1).(1 -x)丁 = 2 3 2x n(n -1)xn', x (-1, 1).(1 -x)xx： n -12n 1,11、,n I. 、 xxxIndt = " tndt 八 =x1 -x 0 1 -tn=00n=0 n 12n 1x (-1, 1)EX1P50 514 , 5, 6 .§ 2函數(shù)的哥級(jí)數(shù)展開4時(shí)一.函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開：1. Taylor級(jí)數(shù)：設(shè)函數(shù)f x在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù)Taylor 公式和 Maclaurin 公式.一 .n f(k) (xn),Taylor 公式： f (x) = ' (x -

11、 x0)Rn (x)口 k!f (Xn)2 f(n)(Xn)n _EX.' f(X0)(X-X.)k(X-X.)(Xi) Rn(X)-余項(xiàng)Rn (x)的形式：Peano型余項(xiàng)：Rn(X)= "(x x.)(只要求在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有 n -1階導(dǎo)數(shù),f(x.)存在)Lagrange 型余項(xiàng)：Rn (x)=f(n1)()(n 1)!(X-Xo)n",之在與之間.或 R(X) = TX.(.、尸,.：二1.(n 1)!積分型余項(xiàng)：當(dāng)函數(shù)f (X)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有 n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)時(shí),有Rn(x) =：f(n1)(t)(X-t)ndt. n! XoCauchy余項(xiàng)：在上述積分

12、型余項(xiàng)的條件下,有Cauchy余項(xiàng)Rn(x) = 1 f(n1) Xo(x-Xo)(1-)n(x-Xo)n1,0MFM1.n!特別地,時(shí),Cauchy余項(xiàng)為Rn(x) =1f (n4f)K)(x t)nx,?在與之間.n!Taylor級(jí)數(shù)：Taylor公式僅有有限項(xiàng),是用多項(xiàng)式逼近函數(shù).項(xiàng)數(shù)無限增多時(shí),得f(Xo) f (Xo)(x -Xo)f(*)(X -Xo)2 一 一 f-(X - Xo)n2!n!【(Xo),、n二(X -Xo),n=on!f (x)在點(diǎn)無限次可導(dǎo),就可一 一二 f (n)(O) n 級(jí)數(shù),即級(jí)數(shù)z f一(O)xn n=on!稱此級(jí)數(shù)為函數(shù) f (x)在點(diǎn)的Taylor

13、級(jí)數(shù).只要函數(shù)寫出其Taylor級(jí)數(shù).稱=時(shí)的Taylor級(jí)數(shù)為 Maclaurin自然會(huì)有以下問題：對(duì)于在點(diǎn)無限次可導(dǎo)的函數(shù)f(x),在f(x)的定義域內(nèi)或在點(diǎn)的某鄰域內(nèi),函數(shù)f(x)和其Taylor級(jí)數(shù)是否相等呢？2.函數(shù)與其Taylor級(jí)數(shù)的關(guān)系：1n!例1函數(shù)f(x) 在點(diǎn)x=0無限次可微.求得f(x) = Jr,(x¥1),1 -x(1-x)n10of(0) = n!.其Taylor級(jí)數(shù)為1 + x+x2 + xn +=£ xn .該哥級(jí)數(shù)的收斂域n=0oO為(1,1).僅在區(qū)間(1,1)內(nèi)有f (x) = £ xn .而在其他點(diǎn)并不相等,由于級(jí)數(shù)發(fā)散.

14、 n=0那么,在Taylor級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn),是否必'有f (x)和其Taylor級(jí)數(shù)相等呢？答復(fù)也是否認(rèn)的.-2例2函數(shù)f(x)=<|ex, x#0,在點(diǎn)x = 0無限次可導(dǎo)且有f (n)(0) =0.因此Taylor級(jí) 0, x = 0 .數(shù),在(一8 , +8 )內(nèi)處處收斂.但除了點(diǎn)x =0外,函數(shù)f (x)和其Taylor級(jí)數(shù)并不相等.另一方面,由本章§1 Th 8推論2 (和函數(shù)的性質(zhì))知：在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)倘有c0Q0f (x) Z an(xx0)n,那么f (x)在點(diǎn)無限次可導(dǎo)且級(jí)數(shù)Z an(xx0)n必為函數(shù)f (x)在n =0n=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù).綜上,

15、我們有如下結(jié)論：對(duì)于在點(diǎn)無限次可導(dǎo)的函數(shù)f(x),其Taylor級(jí)數(shù)可能除點(diǎn)x =外均發(fā)散,即便在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)其 Taylor級(jí)數(shù)收斂,和函數(shù)也未必就是f (x).由此可見,不同的函數(shù)可能會(huì)有完全相同的Taylor級(jí)數(shù).Q0假設(shè)哥級(jí)數(shù) 工an(x-x0)n在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)收斂于函數(shù)f(x),那么該哥級(jí)數(shù)就是函數(shù)n =0f (x)在點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù).于是,為把函數(shù)f (x)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)表示為關(guān)于(x-x0)的哥級(jí)數(shù),我們只能考慮其Taylor 級(jí)數(shù).3. 函數(shù)的Taylor展開式：假設(shè)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)函數(shù)f (x)的Taylor級(jí)數(shù)收斂且和恰為 f(x),那么稱函數(shù)f (x)在點(diǎn)可展開成Tay

16、lor級(jí)數(shù)(自然要附帶展開區(qū)間.稱此時(shí)的Taylor級(jí)數(shù)為函數(shù)f (x)在點(diǎn)的Taylor展開式或哥級(jí)數(shù)展開式.簡稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)可展為哥級(jí)數(shù).當(dāng)=0時(shí),稱Taylor展開式為Maclaurin展開式.通常多考慮的是 Maclaurin展開式.4. 可展條件：Th 1(必要條件)函數(shù)f(x)在點(diǎn)可展f (x)在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù).Th 2 (充要條件)設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù).那么f (x)在區(qū)間(x0 - r, x0+r)內(nèi)等于其Taylor級(jí)數(shù)(即可展)的充要條件是：對(duì)VxwU(x0,r),有l(wèi)im Rn(x)=0.其中Rn(x)是 n .Taylor公式中的余項(xiàng).證把函數(shù)f(x)展

17、開為階Taylor公式,有|f(x)Sn(x)|=R(x) f(x) =12&(*) U&.Th 3 (充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù),且導(dǎo)函數(shù)所成函數(shù)列f(x) 一致有界,那么函數(shù)f(x)可展.證利用Lagrange型余項(xiàng),設(shè)| f (n) (x) |< M ,那么有|R(x)|= ("""(x-x.嚴(yán) MM |x X.I_, 0, gs).(n+1)!(n+1)!例 3 展開函數(shù) f (x) = x3 -2x2 +x + 3, i > 按哥;ii >按(x + 1)哥.解 f(0)=x32x2 x 3, f(0)(0

18、)=3, f(0)(1)=-1;f =3x2 -4x 1, f ( 0) =1,f ( -1) =8;f ： -6x -4,f (0) - -4, f ( -1) - -10;f(4)f =6,f (0) =6, f (-1)6;=0.所以,i > f(x) = f (0) + f (0)x +f(0)x2 +f-(0x3 = 3 + x 2x2 +x3. 2!3!可見,的多項(xiàng)式F"(x)的Maclaurin展開式就是其本身ii > f (x) = f (-1) - f ( -1)(x 1) f (J) (x 1)2 f (-1)(x 1)3u-1 8(x 1) -5(x

19、 1)2 (x 1)3.Ex1 P58 1 , 3 (1).二.初等函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開式：初等函數(shù)的哥級(jí)數(shù)展開式才是其本質(zhì)上的解析表達(dá)式為得到初等函數(shù)的哥級(jí)數(shù)展開式,或直接展開,或間接展開.二二 n1.ex = £ x ,xw(-的,+如).( 驗(yàn)證對(duì) X/x w R , f (n)(x) = ex 在區(qū)間n o n!0, x(或x,0)上有界,得一致有界.因此可展).2.nx ln a x=a =n =01r1a,x ( 一二,二).n!OOsin x 八(1)nn=02n 1x(2n 1)!x2ncosx 八(-1 )nn 力 (2n)!x 三(-二,二).可展是由于f(n)(x)

20、=sin x3.二項(xiàng)式(1+x)m的展開式：為正整數(shù)時(shí),(1+x)m為多項(xiàng)式,展開式為其自身；為不是正整數(shù)時(shí),可在區(qū)間(-1,1)內(nèi)展開為m , m(m -1) 2 . m(m -1)(m -2) (m - n 1) n .(1 x) 1 mxxx2!n!對(duì)余項(xiàng)的討論可利用 Cauchy余項(xiàng).具體討論參閱1 P56.進(jìn)一步地討論可知(參閱. M .菲赫金哥爾茨?微積分學(xué)教程?第二卷第二分冊.):當(dāng)m E1時(shí),收斂域?yàn)?1,1)；當(dāng)1 <m <0時(shí),收斂域?yàn)?1,1;當(dāng)m >0時(shí),收斂域?yàn)?,1.利用二項(xiàng)式(1+乂)田的展開式,可得到很多函數(shù)的展開式.例如取 m = _1,得 _L =1 _x+x2 +(1)nxn +,xe (-1,1).1 x取m=-1 時(shí),得 1=1x ±x2 -1x3 x (-1,1.2,1 x 22 42 4 6間接展開：利用展開式,進(jìn)行變量代換、四那么運(yùn)算以及微積運(yùn)算,可得到一些函數(shù)的展 開式.利用微積運(yùn)算時(shí),要求