山西省忻州一中等四校2015屆高三第一次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版)

1、山西省忻州一中等四校2015屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（文）【試卷綜析】本試卷是高三理科試卷，以基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能為載體，以能力測(cè)試為主導(dǎo)，在注重考查學(xué)科核心知識(shí)的同時(shí)，突出考查考綱要求的基本能力，重視學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)運(yùn)算能力的考查.知識(shí)考查注重基礎(chǔ)、突出主干知識(shí)，兼顧覆蓋面.試題重點(diǎn)考查：集合、不等式、復(fù)數(shù)、向量、三視圖、導(dǎo)數(shù)、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃、直線與圓、圓錐曲線、立體幾何、數(shù)列、三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換與解三角形、概率等；考查學(xué)生分析問題解決問題的綜合能力，是份較好的試卷.第卷 客觀卷 共60分一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一

2、項(xiàng). 請(qǐng)將正確選項(xiàng)用2B鉛筆涂黑答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)）【題文】1. 已知集合，則 A. 1,2 B. 0,2 C. -1,1 D. (0,2)【知識(shí)點(diǎn)】集合運(yùn)算A1【答案解析】B由題意得M= N= 0,2故選B【思路點(diǎn)撥】先算出兩個(gè)集合再求交集?！绢}文】2. 若為虛數(shù)單位 ，則 A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念與運(yùn)算L4【答案解析】A -i-=-i-i=-2i故選A【思路點(diǎn)撥】先化簡(jiǎn)分式子分子分母同時(shí)乘以1-i得到結(jié)果【題文】3. 集合，從集合中各任意取一個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的和等于的概率是 A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】古典概型 K2【答案解析】C 從A，B中各取任意一

3、個(gè)數(shù)共有2×3=6種分法，而兩數(shù)之和為4的有：（2，2），（3，1）兩種方法，故所求的概率為：故選C【思路點(diǎn)撥】由分步計(jì)數(shù)原理可得總的方法種數(shù)為2×3=6，由列舉法可得符合條件的有2種，由古典概型的概率公式可得答案【題文】4. 已知雙曲線的離心率為，則此雙曲線的漸近線方程為 A.y=±2x B. y=±x C. y=±x D. y=±x【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線及其幾何性質(zhì) H6【答案解析】Ce 故可設(shè)a2k，c，則得b，漸近線方程為 y±x±x，故選C【思路點(diǎn)撥】由離心率的值，可設(shè)a2k，c,則得b，可得的值，進(jìn)

4、而得到漸近線方程【題文】5. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)之和為，則 A. 6 B. 9 C. 12 D. 18【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的錢n項(xiàng)和D2【答案解析】B根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得：s13=13a1+ d=39，化簡(jiǎn)得：a1+6d=3，所以a6+a7+a8=a1+5d+a1+6d+a1+7d=3a1+18d=3（a1+6d）=3×3=9故選B【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式列得s13=39，化簡(jiǎn)得到一個(gè)關(guān)系式，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式表示出所求的式子，整體代入可得值。【題文】6. 下列說法正確的是 A. 命題“x0R，x02x01<0”的否定是：“xR，x2x1>0”

5、;B. “x=1”是“x25x6=0”的必要不充分條件;C. 命題“若x2=1，則x=1”的否命題是：若x2=1，則x1;D. 命題“若x=y，則sin x=sin y”的逆否命題為真命題.【知識(shí)點(diǎn)】命題及其關(guān)系、充分條件、必要條件 A2【答案解析】D命題“存在xR，使得x2+x+10”的否定是：“對(duì)任意xR，均有x2+x+10”，故排除A；“x2-5x-6=0”“x=-1或x=6”，“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要條件，排除 B 命題“若x2=1，則x=1”的否命題為“若x21，則x1”，故排除C；命題“若x=y，則sinx=siny”為真命題，故其逆否命題為真命題，D正確；

6、x1？是否y=1-x輸出y結(jié)束y=x2輸入x開始【思路點(diǎn)撥】命題的否命題需即否定題設(shè)，又否定結(jié)論，故排除C；原命題和其逆否命題互為等價(jià)命題，同真假，故只需判斷原命題的真假即可；特稱命題的否定是全稱命題，排除A；解方程x2-5x-6=0，即可發(fā)現(xiàn)此結(jié)論為充分不必要條件，排除 B【題文】7. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸出值為4時(shí)，輸入的值為A2 B C2或3 D2或3【知識(shí)點(diǎn)】算法與程序框圖L1【答案解析】由題意得1-x=4 或者=4 所以x=-3 或x=2 或-2又因?yàn)閤=-2 不符合所以應(yīng)設(shè)取，故選D【思路點(diǎn)撥】給定輸出結(jié)果必須從兩面考慮 都有可能等于4【題文】8. 函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間

7、是 A. (，) B. (，) C. (，1) D. (1，2) 【知識(shí)點(diǎn)】 函數(shù)與方程 B9【答案解析】C因?yàn)?×0.5-1+log20.5=log20.50，2×1-1+log21=10，又在（0.5，1）上函數(shù)y=2x-1+log2x的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，所以函數(shù)y=2x-1+log2x在區(qū)間（0.5，1）上存在零點(diǎn)故選C【思路點(diǎn)撥】判斷函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào)，當(dāng)它們異號(hào)時(shí)存在零點(diǎn)【題文】9. 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，若的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且外接圓的面積為，則 A. 2 B. 4 C.6 D. 8【知識(shí)點(diǎn)】拋物線及其幾何

8、性質(zhì) H7【答案解析】BOFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，OFM的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑，圓面積為9，圓的半徑為3，又圓心在OF的垂直平分線上，|OF|= ，+ =3p=4故選：B【思路點(diǎn)撥】根據(jù)OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，可得OFM的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑，由此可求p的值【題文】10. 已知一個(gè)棱長為的正方體，被一個(gè)平面截后所得幾何體的三視圖如圖所示，則該截面的面積為A. B. 3 C. 4 D. 【知識(shí)點(diǎn)】 空間幾何體的三視圖和直觀圖 G2【答案解析】 由三視圖知幾何體為正方體切去一個(gè)棱臺(tái)，且切去棱臺(tái)的下底面直角三角形的直角邊長為1，其直觀圖如圖：截面

9、為等腰梯形，且兩底邊長分別為，2 ，腰長為，梯形的高為，截面面積S= 故選A【思路點(diǎn)撥】由三視圖知幾何體為正方體切去一個(gè)棱臺(tái)，畫出其直觀圖，判斷截面為等腰梯形，求出底邊長、腰長，再求出梯形的高，代入公式計(jì)算可得答案【題文】11. 已知函數(shù)， 若對(duì)于任意,不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與最值 B3【答案解析B 對(duì)于f（x），當(dāng)x1時(shí)，y=-x2+x(x )2+ ，在（-，遞增，在（，1上遞減，故此時(shí)ymax=f（）= ；當(dāng)x1時(shí)，y=log0.5x是減函數(shù)，此時(shí)ylog0.51=0，；綜上原函數(shù)的最大值為，故不等式f（x）-t+1恒成立，只需-t

10、+1即可，解得t1或t3故選B【思路點(diǎn)撥】 這是一個(gè)不等式恒成立問題，只需t+1f(x)max即可，再求分段函數(shù)的最大值，解出關(guān)于t的不等式即為所求【題文】12. 在中，角、所對(duì)的邊分別為、，且邊上的高為，則 的最大值是 A. 8 B. 6 C. D. 4【知識(shí)點(diǎn)】解三角形C8【答案解析】4 ,，這個(gè)形式很容易聯(lián)想到余弦定理：cosA= 而條件中的“高”容易聯(lián)想到面積，aa=bcbcsinA，即a2=2 bcsinA，將代入得：b2+c2=2bc（cosA+ sinA），=2（cosA+ sinA）=4sin（A+ ），當(dāng)A= 時(shí)取得最大值4，故選D【思路點(diǎn)撥】利用三角形的面積公式、余弦定理，

11、化簡(jiǎn)，再利用輔助角公式，即可求得結(jié)論第卷 主觀卷 共90分二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在答題紙的相應(yīng)位置上)【題文】13. 若實(shí)數(shù)滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值是 【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題 E5【答案解析】3 由約束條件作出可行域如圖由z=x+y，得y=-x+z由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過B（1，2）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=x+y有最大值z(mì)=1+2=3故答案為：3【思路點(diǎn)撥】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，由圖得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案【題文】14. 已知是夾角為的單位向量，向量，若，則實(shí)數(shù) 【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用 F3【答案解

12、析】 ，是夾角為120°的單位向量，向量= ， = =t +(1-t) =tcos +1-t=1- t=0解得t= 故答案為：【思路點(diǎn)撥】由已知得，由此能求出實(shí)數(shù)t【題文】15. 三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，其中為等邊三角形，,則該球的體積是 【知識(shí)點(diǎn)】棱柱與棱錐 G7【答案解析】 由題意畫出幾何體的圖形如圖，把A、B、C、P擴(kuò)展為三棱柱，上下底面中心連線的中點(diǎn)與A的距離為球的半徑，PA=2AB=2a，OE=a，ABC是正三角形，AB=a，AE= = AO= =, 故答案為：【思路點(diǎn)撥】由題意把A、B、C、P擴(kuò)展為三棱柱如圖，求出上下底面中心連線的中點(diǎn)與A的距離為球的半徑，然后求

13、出球的體積【題文】16. 已知函數(shù)，將的圖像向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上至少含有個(gè)零點(diǎn)，則的最小值為 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖象與性質(zhì) C4【答案解析】 函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2 sin2x =sin2x- cos2x=2sin（2x- ），y=f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）=2sin2（x+ ）- +1=2sin2x+1的圖象，由題意可得，g（x）在a，b上至少含有1012個(gè)零點(diǎn)令g（x）=0，得sin2x=- ，可得2x=2k+ ，或2x=2k+ ，kz求得x=k+ ，或x=k+ 函數(shù)g（x）在每個(gè)周期上恰有兩個(gè)

14、零點(diǎn)，若y=g（x）在0，b上至少含有1012個(gè)零點(diǎn)，則b不小于第1012個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可，故b的最小值為 505+=，故b-a的最小值為-=，故答案為：.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)圖象平移的公式，得出函數(shù)g（x）的解析式為g（x）=2sin2x+1由此解g（x）=0得sin2x=- ，利用正弦函數(shù)的圖象解出x，可見g（x）在每個(gè)周期上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，若g（x）在0，b上至少含有10個(gè)零點(diǎn)，則b大于或等于g（x）在原點(diǎn)右側(cè)的第10個(gè)零點(diǎn)，由此即可算出b的最小值，可得b-a的最小值三、解答題(本大題6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，并把解答寫在答卷紙的相應(yīng)位置上) 【題文】17

15、（本小題滿分12分）在公差不為零的等差數(shù)列中，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，記. 求數(shù)列的前項(xiàng)和.【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列數(shù)列求和 D2 D4【答案解析】（1）（2）設(shè)的公差為，依題意得，3分解得 ， 5分 即 . 6分 9分故 Tn=. 12分【思路點(diǎn)撥】利用等差等比數(shù)列的性質(zhì)求出通項(xiàng)，然后利用裂項(xiàng)求和法對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和?！绢}文】18（本小題滿分12分）如圖五面體中，四邊形為矩形，,四邊形為梯形,且,.（1）求證：； （2）求此五面體的體積. 【知識(shí)點(diǎn)】空間中的垂直關(guān)系 多面體 G5 G8【答案解析】（1）略（2）（1）證明：連，過作，垂足為， 2分 又，BC=4，AB

16、=4，BM=AN=4， ，=， 4分， 6分（2）連接CN， , 8分又，所以平面平面，且平面， ， 9分 11分此幾何體的體積 12分【思路點(diǎn)撥】利用線線垂直證明線面垂直，分成兩部分求體積。【題文】19.（本小題滿分12分）患三高疾病不患三高疾病合計(jì)男630女合計(jì)36近幾年出現(xiàn)各種食品問題，食品添加劑會(huì)引起血脂增高、血壓增高、血糖增高等疾病為了解三高疾病是否與性別有關(guān)，醫(yī)院隨機(jī)對(duì)入院的60人進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如下的列聯(lián)表：（1）請(qǐng)將如圖的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；若用分層抽樣的方法在患三高疾病的人群中抽人，其中女性抽多少人？（2）為了研究三高疾病是否與性別有關(guān)，請(qǐng)計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量，并說明你有多大的把握

17、認(rèn)為三高疾病與性別有關(guān)？ 下面的臨界值表供參考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式，其中）【知識(shí)點(diǎn)】隨機(jī)抽樣 變量的相關(guān)性與統(tǒng)計(jì)案例 I1 I4【答案解析】（1）3 （2）有的把握認(rèn)為是否患三高疾病與性別有關(guān)系患三高疾病不患三高疾病合計(jì)男24630女121830合計(jì)3624603分在患三高疾病人群中抽人，則抽取比例為女性應(yīng)該抽取人. 6分（2） 8分 ， 10分那么，我們有的把握認(rèn)為是否患三高疾病與性別有關(guān)系12分【思路點(diǎn)撥】利用比例關(guān)系確定抽樣人數(shù)，利用給的公式確定相關(guān)性【題文】2

18、0（本小題滿分12分）已知函數(shù)，其中為常數(shù)，且.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間； （2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求的值. 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12【答案解析】（1）（2） () 2分（1）因?yàn)榍€在點(diǎn)（1，）處的切線與直線垂直，所以，即解得 4分當(dāng)時(shí)，。令，解得所以函數(shù)的遞減區(qū)間為： 6分(2)當(dāng)時(shí)，在（1，3）上恒成立，這時(shí)在1，3上為增函數(shù) 令 ，得（舍去） 7分當(dāng)時(shí)，由得，對(duì)于有在上為減函數(shù)，對(duì)于有在上為增函數(shù)，令，得 9分當(dāng)時(shí)，在（1，3）上恒成立，這時(shí)在上為減函數(shù)， . 令 得 （舍去） 綜上， 12分【思路點(diǎn)撥】求導(dǎo)數(shù)確定斜率求出方程確定單調(diào)區(qū)間，遇到

19、參數(shù)分類討論，確定單調(diào)性。利用單調(diào)性確定最值去確定a?！绢}文】21.（本小題滿分12分）已知橢圓，離心率為 ，兩焦點(diǎn)分別為、，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的周長為.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作圓的切線交橢圓于兩點(diǎn),求弦長的最大值.【知識(shí)點(diǎn)】拋物線及其幾何性質(zhì) 直線與圓錐曲線 H7 H8【答案解析】（1）（2）2（1）由題得：，所以，。 3分又，所以即橢圓的方程為. 4分（2）由題意知，.當(dāng)時(shí)，切線l的方程，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為此時(shí) ; 當(dāng)m=1時(shí)，同理可得 5分當(dāng)時(shí)，設(shè)切線的方程為由設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則 又由l與圓 得所以 9分因?yàn)?所以且當(dāng)時(shí)，|AB|=2，由于當(dāng)時(shí)，所以|AB|的最大值為2. 12分【思路點(diǎn)撥】根據(jù)橢圓見a b c 關(guān)系求出方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系直線橢圓聯(lián)立即可.【題文】22. (本小題滿分10分)選修4-1：幾何證明選講PABCDE22題圖O 如圖，內(nèi)接于直徑為的圓，